Stokes teoremi ve analizin temel teoremi

Hem Green teoremi, hem de Stokes teoremi, analizin temel teoreminin yüksek boyutlu versiyonlarıdır, nasıl böyle olduğuna bakın!

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Başka çok değişeknli analiz sonuçlarının yanısıra, hem Green teoremi, hem de Stokes teoremi, analizin temel teoremini daha yüksek boyutlu benzerleridir.

Analizin temel teoremi için hızlı bir tekrar

Analizin temel teoremini hatırlıyor musunuz?

Söylediği budur:

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) = f (b) - f (a)$ ‍

Başka bir deyişle, bir fonksiyonun sayı doğrusunun

[a, b]

bölgesinde türevinin integralini alırsanız, bu fonksiyonun kendisinin bu bölgenin sınırında, yani

a

b

sayılarında değerini bulup, aradaki farkı almakla aynı şeydir.

Green teoremi

Green teoremi temel teoreme tamamen benzer, ancak iki boyutta, olarak görülebilir.

$\iint_{R} 2 boyutlu rotasyonel F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Tek değişkenli bir $f$ ‍ fonksiyonunun türevini almak yerine, iki değişkenli vektör değerli bir $F (x, y)$ ‍ fonksiyonunun $2d-rotasyonelini$ ‍ içerir.
Bunun sayı doğrusunun $[a, b]$ ‍ bölgesinde integralini almak yerine, $x y$ ‍ düzleminin $R$ ‍ bölgesinde çift katlı integralini alın.
Tek boyutlu aralığın $[a, b]$ ‍ sınırı, sadece $a$ ‍ ve $b$ ‍ noktalarıdır. $R$ ‍ iki boyutlu olduğundan, sınırı $C$ ‍ eğrisidir.
$f$ ‍'nin iki sınır noktasında $a$ ‍ ve $b$ ‍ değerini bulup farkını almak yerine, $F$ ‍'nin saat yönünün tersine yönelmiş $C$ ‍ sınırı boyunca çizgi integralini alın.

Buradaki temel fikir, bir şeyin bir bölgede "türevinin" integralini alırsanız, bu değer sadece bölgenin sınırındaki şeyin değerine bağlı olur. Aradaki tek fark, türevin ilgili kavramı,

2d-rotasyonel

dir, ve bir bölgenin sınırı nokta ikilisi yerine bir eğrinin tamamını içerir.

Stoke teoremi

Stokes teoremi bunu üçüncü boyuta taşır.

x y

-düzleminde düz bir

R

bölgesini düşünmek yerine, uzayda yaşayan bir

S

yüzeyini düşünüyoruz. Bu sefer,

C

yüzeyin sınırını temsil etsin.

$\begin{array}{r} \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ = \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

Tek değişkenli bir $f$ ‍ fonksiyonu veya iki boyutlu bir vektör alanından ziyade, $F (x, y, z)$ ‍ üç boyutlu bir vektör alanıdır.
$f^{'} (x)$ ‍ türevini, veya $2d-rotasyoneli$ ‍ almak yerine, $F$ ‍'nin üç boyutlu rotasyonelini alın.
$[a, b]$ ‍ aralığında tek integral, veya iki boyutlu bir bölgede çift katlı integral almak yerine, $S$ ‍'nin üç boyutta yüzey integralini alın. Bir vektör alanının yüzey integralini alma, o vektör alanının birim normal vektörlerle iç çarpımını almayı içerir.
Sağ tarafta, $f (b) - f (a)$ ‍, yani $f$ ‍'nin $[a, b]$ ‍ aralığınını sınırındaki değerlerini bulup farkı almak yerine, $F$ ‍ fonksiyonumuzun $S$ ‍ yüzeyinin sınırı $C$ ‍ boyunca çizgi integralini alırız, aynı Green teoreminde yaptığımız gibi.

Genelleştirmeler

Biraz sonra ele alacağımız diverjans teoremi, bu olgunun farklı bir versiyonudur. Bu teorem, üç boyutlu hacimdeki üç boyutlu vektör alanının diverjansının üç katlı integralini, o hacmin sınırındaki bu vektör alanının yüzey integraliyle ilişkilendirir.

Çizgi integrallerinin temel teoremi aynı genel prensibe aittir, bir fonksiyonun gradyanının çizgi integralini bu fonksiyonun sınırlarındaki değerlerle ilişkilendirir.

Genelde, evrenin bir bölgede bir fonksiyonun "türevinin" integralini alırsanız, ve integral/türev/bölge/fonksiyon türü çok boyutluysa, bu fonksiyonun bu bölgenin sınırında değerine bağlı bir şey elde edersiniz. Bu, matematikteki en güzel şeylerden biridir.

Genelleştirilmiş Stoke teoremi

Merak ediyorsanız, temel matematikte bu teoremleri (ve fazlasını) çok kompakt bir formülde yakalayan daha derin bir teorem bulunur. Buna genelleştirilmiş Stokes teoremi denir. Bunu tanımlama dili biraz tekniktir, "diferansiyel formlar" ve "manifoldlar" fikirlerini içerir, onun için burada bunlara girmeyeceğim. Ama, üstteki tüm örnekleri anlarsanız, bu birleştirici teoremin altındaki mantığı ve güzelliği anlıyor olursunuz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.