Stokes Teoremi İçin Koşullar

Stokes teoremini biraz öğrendiğimize göre, hangi durumlarda kullanabileceğimize değinmek gerek Son derece genel bir teorem olduğunu göreceksiniz. Ama yüzey tipleri ve bu yüzeylerin sınırlarını göz önünde bulundurmak gerekiyor. Stokes teoremi için parçalı yüzeyler gerekiyor. Parçalı düzgün yüzeyler örneğin buradaki düzey düzgün ama parçalı düzgün değil. Çok fiyakalı bir terim gibi görünüyor, ama düzgün teriminin anlamı sadece türevlerin sürekli olmasıdır. Yüzeylerden bahsettiğimize göre, kısmi türevler her yönde sürekli demektir. Bunlar sürekli türevler. Kavramsal olarak yüzey üzerinde bir yön belirlediğinizde, o yöndeki eğim yavaşça değişir oradan oraya atlamaz. Şu yönü seçtiğinizde, eğim yavaşça değişiyor. Yani sürekli bir türevimiz var. Peki, parçalı ne demek? Parçalı olması Stokes teoremini birden fazla yüzeyde kullanmamızı sağlar. Diyelim ki, şuna benzer bir yüzeyimiz var. Fincana benziyor. Bu, fincanın üstü olsun. Üstünün açık olmadığını varsayalım, burası fincanın arkası burası yanı şurası da altı olsun. Şeffaf olsaydı, içini görebilirdik. Böyle yüzeyler düzgün değil çünkü ayrıtları var. Örneğin bu yönde gidersek, alt kısımda bu yönde giderken ayrıta geldiğimizde bir anda eğim çok değişir, yani bir sıçrama yapar. Yani bu ayrıt boyunca eğim sürekli değildir. Eğim sıçrar ve yukarı doğru gitmeye başlarız. Yani bu yüzey düzgün değildir. Ama parçalı yüzeyler bu konuda bize bir çıkış sağlar. Yüzeyleri düzgün parçalara ayırdıkça problem yok demektir. Böylece bu fincanı parçalayabiliriz. Yüzey integrali alırken böyle yapıyorduk. Alt kısmı ayrı alırız, burası düzgün bir yüzeydir. Türevi süreklidir. Yanal kısım da düzgün bir yüzeydir analiz dersinde rastlayacağınız yüzeylerin çoğu parçalı düzgündür. Yüzey kısmını konuştuk. Görsellemesi zor olsa da, fraktala benzeyen dikenli yüzeyleri gözümde canlandırıyorum. Şimdi yüzey kısmını konuştuk Stokes Teoremini uygulamak için bir de sınırı düşünmemiz gerekiyor. Ve sınır da burada. Sınır basit, yani kendini kesmeyen, kapalı parçalı düzgün bir eğri olmak zorunda. Bu, basit bir sınır değil, kendini kesiyorsa, basit sınırlara ayırabilirsiniz. Şöyle bir şey ise, basit bir sınırdır. Yani bu, basit bir sınır ayrıca kapalı olmak zorunda yani eğri başladığı noktaya dönmeli. Stokes Teoremini kullanmamız için parçalı düzgün bir iz, doğru veya eğriden bahsediyoruz, yani türevi sürekli parçalara ayırabiliriz. Çizdiğim şekliyle burada şurada ve orada eğim yavaşça değişiyor. İz üzerinde hareket ettikçe, yavaşça değişiyor. Düzgün olmayan bir iz şöyle görünebilir.Şöyle olabilir. Ve düzgün olmayan kısımlar bu keskin kenarlardır burada düzgün değil şurada da düzgün değil ve şurada da düzgün değil. Basit kapalı olması lazım ve bu basit kapalı. Düzgün değil, ama parçalı düzgün. O zaman parçalara ayırabiliriz. Bu doğru şu doğru o doğru ve bu doğru olarak düzgün parçalara ayırabiliriz. Çizgi integrali hesaplarken böyle yapmıştık. Çizgi integralini bulmakta kullandığımız düzgün doğru parçalarına ayırmıştık. Eğer yüzeyiniz parçalı düzgün ise ve sınırınız basit kapalı parçalı düzgün ise, teoremi kullanabilirsiniz.