If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Stokes Teoremi Örneği 1

Çizgi integrali çözerken Stokes Teoremini kullanmaya başlama. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Bu videoda Stokes teoremini uygulayacağız. Burada küçük bir diyagramımız var. Burada da, C adını verdiğimiz iz. C, y artı z eşittir 2 düzlemiyle, evet şu, aşağı doğru eğimli olan düzlemden bahsediyorum, Evet, bu düzlemle bir silindirin kesişimi. Aslında silindir dememeliyim, çünkü x kare artı y kare eşittir 1, bir direk gibidir, Aşağı ve yukarı doğru sonsuza giden bir direk. Bu silindiri, y artı z eşittir 2 düzlemiyle kesiyoruz, ve kesiştikleri yerde de, C izi ortaya çıkıyor. Burada birde, bu şekilde tanımlanmış bir vektör alanı var. Bu iz üzerinde, bu yönde, F dr’nin çizgi integralini hesaplamamız isteniyor. Evet, bu çizgi integralini daha önce yaptığımız gibi, hemen bulabiliriz! Zaten, aynı sonucu bulduğumuzu göstermek için, bir daha yapacağım. Ama bu videoda Stokes teoremini işliyoruz ve bakalım, Stokes teoremini bu durumda uygulayabilecek miyiz? Evet, Stokes teoremi bize bunun, sınırları bu şekilde belirlenmiş parçalı ve düzgün bir yüzeyin, yüzey integraline eşit olduğunu söyler. Bu şekilde sınırlanmış yüzeylerin en basitini yani, C ile sınırlanmış, düzlemin bu bölümünü seçeceğim. Yani S, y artı z eşittir 2 düzleminin, C ile sınırlanmış bölümü olacak. Evet, bu yüzeyin integralini alacağız! Başka yüzeyler de seçebilirdik ama aralarında en kolay olanı bu! Neden? Çünkü burada bazı bilgiler var. Düz ve eğimli bir yüzey olmasına rağmen, üzerinde analitik olarak düşünebileceğimiz, güzel düz bir yüzey! Vektör alanının rotasyonelinin yüzey integrali, vektör diferansiyelini düşünüyorsak, nokta ds, Ya da normal vektörü çarpı yüzeyin küçük bir bölümü olan ds, yani küçük bir yüzey diferansiyeli olan ds olarak yazabiliriz. Yönelim hakkında, daha önce de konuşmuştuk ama, gelin, doğru olduğuna emin olalım. İzi bu yönde kat ediyoruz, eğer çöp adam benzetmesini yeniden kullanacak olursak, bu yönde, kafası yukarıda olacak şekilde yürüyorsa, yüzey solunda kalır. Ve bunun için, normal vektörün yönününde buna birim dik vektör de denir, Diğer benzetmedeyse, eğer bir şişe kapağını bu yöne çevirerek açıyorsanız, şişe kapağı bu yönde yani normal vektörün yönünde hareket eder. Evet! Her şey hazır olduğuna göre, artık integrali alabiliriz! İntegrali almak için, üzeyi parametrelerle ifade etmemiz lazım, bu da çok zor değil. Daha önceki videolardan hatırlayabilirsiniz. Aynı zamanda, F’in rotasyonelini de hesaplamalıyız. Bunları yaptıktan sonrada geriye, bu iki katlı integrali almak kalıyor ve tüm bunları sonraki videolara bırakıyorum.