Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 6: Kutupsal Koordinatlar

Çift katlı integraller

Çift katlı integraller iki boyutlu bir alan boyunca integral almanın bir yoludur. Başka şeylerin yanısıra, bir yüzeyin altındaki hacmi hesaplamanızı sağlar.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Khan Akademi video wrapper

Video metni

İki değişkenli f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonu verildiğinde, bunun grafiğiyle x, y düzleminin dikdörtgen bir bölgesi arasındaki hacmi bir integralin integralini alarak bulabilirsiniz,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}$
Bu bir çift katlı integral olarak adlandırılır.
İntegral alma sırasını değiştirerek aynı hacmi hesaplarsınız:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}$
Hesaplama farklı gözükmekle birlikte, aynı sonucu verecektir.

Bir yüzeyin altındaki hacim

Şu fonksiyonu düşünün

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

Grafiği buna benzer:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Şimdi, x, y düzlemindeki aşağıdaki şekilde tanımlanmış olan dikdörtgeni düşünün.

0, is less than, x, is less than, 2

minus, pi, is less than, y, is less than, pi

Bu dikdörtgenin üstünde vef, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinin altındaki hacim nedir?

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bir eğrinin altındaki alana ilişkin hızlı tekrarlama

Tek değişkenli analizden, integrallerin bir eğrinin altındaki alanı hesaplamamızı sağladığını biliyoruz. Örneğin, y, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 grafiğinin x, equals, minus, 3 ve x, equals, 3 değerleri arasındaki alanı budur:

$\begin{aligned} \int_{-3}^{3} \left( \dfrac{1}{4} x^2 + 1 \right) \, dx \end{aligned}$

Bunu düşünmenin güzel bir yolu, belirli bölgede eğrinin altındaki sonsuz sayıda sonsuz incelikteki dikdörtgenlerin alanlarını topladığımızı gözümüzde canlandırmaktır:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 fonksiyonunun değerini her dikdörtgenin yüksekliği olarak, d, x'i sonsuz küçük genişlik olarak ve integral'i çok sayıda sonsuz küçük şey fikrini hayata geçiren bir toplama makinesi olarak düşünebilirsiniz. Daha soyut şekilde yazıldığında, bu şöyle gözükür:

$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} g(x)\,dx \end{aligned}$

Alanı hacmin altında süpürme

Hacim problemimiz için, buna benzer bir şey yapabiliriz. Stratejimiz böyle olacaktır:

Hacmi iki boyutlu alanları olan dilimlere bölün
Bu dilimlerin alanlarını hesaplayın
Hacmin tamamını elde edebilmek için bunların hepsini birleştirin.

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinin altındaki hacmin iki boyutlu dilimlerini düşünün. Özellikle, y'nin sabit bir değerini temsil eden dilimlerin hepsini alın:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu dilimlerden sadece bir tanesini (örneğin y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction'yi temsil eden gibi) düşünün. Bu dilimin alanı, bu integralle verilmiştir:

$\begin{aligned} \int_0^2 f\left(x, \dfrac{\pi}{2}\right)\,dx &= \int_0^2 \left(x + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 1 \right)\,dx \end{aligned}$

Daha soyut şekilde yazıldığında, verilen bir y değeri için, bu dilimin alanı şöyledir:

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x, y)\,dx \end{aligned}$

Dikkate ederseniz, bu d, x'in de belirttiği gibi, x'e göre bir integraldir, yani integrale göre, "y" sembolü bir sabiti temsil eder.

Bu integrali gerçekleştirdiğinizde, y'nin bir ifadesi olacaktır.

Kendiniz deneyin: Bu sabit y değerli dilimlerin alanını hesaplamak için integral alın:

$\begin{aligned} \int_0^2 (x+\sin(y)+1)\,dx = \end{aligned}$

[Cevap]

Bu ifadeye y için bir değer koyduğunuzda, örneğin y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction gibi, bu y değerini temsil eden hacmimizin bir diliminin alanını elde edersiniz.

Şimdi eğer bu dilimlerden birisinin alanını y yönünde küçük bir değişiklik olan d, y ile çarparsak, hacmin küçük bir dilimini elde ederiz. Örneğin, 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis bir dilimin alanını temsil ediyor olabilir, ancak left parenthesis, 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, d, y bu dilimin sonsuz küçük hacmini temsil eder.

Başka bir integrali, bu sefer y'ye göre kullanırsak, bu minik hacim dilimlerini toplayarak eğrinin altındaki toplam hacmi elde edebiliriz:

\begin{aligned} \overbrace{ \int_{-\pi}^{\pi}\left( \underbrace{ \int_0^2 f(x, y)dx }_{\text{Bir dilimin alanı}} \right)dy }^{\text{Volume under $f(x, y)$}} \end{aligned}

Kendiniz deneyin! Yukarıda integral, start subscript, 0, end subscript, squared, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, x için bulduğunuz ifadeyi yerine koyduğunuzda ve ikinci integrali çözdüğünüzde ne elde edersiniz?

$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_0^2(x+\sin(y)+1) dx \right)dy = \end{aligned}$

[Cevap]

Yönde iki seçenek

Bulmaya çalıştığımız hacmi farklı bir şekilde de bölebilirsiniz. Sabit y değerleri yerine, sabit x değerlerini temsil eden dilimler alın, ve hacim dilimlerin toplayın.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Kavram kontrolü: Aşağıdaki integrallerden hangisi sabit x değerli bir dilimin alanını temsil eder?

[Cevap]

Şimdi bu alanlardan her birisini x yönünde küçük bir değişiklik olan d, x ile çarptığımızı düşünün; bu, dilime diktir. Bu sonsuz küçük bir hacim verir. x 0'dan 2'ye değişirken bu sonsuz küçük hacimlerin hepsini toplayarak, yüzeyin altındaki hacmi elde ederiz.

Kavram kontrolü: Aşağıdaki çift katlı integrallerden hangisi bu fonksiyonun grafiğinin altındaki hacmi temsil eder?

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

bu bölgede

0, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 2 and minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\blueE{dx} \right) \, \redE{dy} \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\redE{dy} \right) \, \blueE{dx} \end{aligned}$

[Cevap]

Bunu kendiniz deneyin!: Yüzeyin altındaki hacmi hesaplamak için çift katlı integrali uygulayın. (Elbette, bir önceki bölümde hacmi buldunuz, ama iki bir şekilde hesaplandığını görmek de çok güzeldir).

$\begin{aligned} \int_0^2\left( \int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1) dy \right) dx = \end{aligned}$

[Cevap]

Şükürler olsun ki, bu hesaplama bir önceki bölüde bulduğumuzla aynı hacmi verir. Eğer aynı hacmi vermeseydi, mantık hatası yaptığımızı anlardık.

Kısaca, integral alma sırası önemli değildir. Bir açıdan, bu açık görünebilir, çünkü iki şekilde de aynı hacmi hesaplıyoruz. Ancak, bunlar iki gerçekten farklı hesaplamadır, onun için eşit olmaları gerçeği çok faydalı bir matematiksel hile olur.

Örneğin, olasılık teorisindeki birkaç ispat, iki miktarın birbirine eşit olduğunu göstermek için aynı çift katlı integrali farklı sırada hesaplar.

[Aslında, sıralama bazen önemlidir]

Başka bir örnek

Şu fonksiyonu düşünün

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1

Bu fonksiyonun grafiğinin altındaki hacim nedir

minus, 1, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 1

minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

Bu hacim, böyle gözükür:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Kavram kontrolü: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1'in altındaki bu hacmi y, equals, 1'i temsil eden düzlem boyunca kestiğinizi varsayın. Bu dilimin alanını aşağıdaki integrallerden hangisi temsil eder?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(1)x^2 + 1 \big)\, dx \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \big(\cos(y)(1)^2 + 1 \big)\, dy \end{aligned}$

[Cevap]

Alıştırma: Bu integrali sadece y, equals, 1 için değil, daha genel olarak y değeri için hesapladığınızda ne elde edersiniz?

$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(y)x^2 + 1 \big)\, dx = \end{aligned}$

[Cevap]

Ekstra çalışma: Bulduğunuz ifade, sabit y-değerini temsil eden hacmi temsil eden dilimlerin alanını temsil eder. Bu ifadeyi kullanarak, yüzeyin altındaki alanı bulmak için bir integral kurun, ve bu integrali çözün.

Nihai hacim:

\quad

[Cevap]

Özet

İki değişkenli f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonu verildiğinde, bunun grafiğiyle x, y düzleminin dikdörtgen bir bölgesi arasındaki hacmi bir integralin integralini alarak bulabilirsiniz,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}$
Bu bir çift katlı integral olarak adlandırılır.
İntegral alma sırasını değiştirerek aynı hacmi hesaplarsınız:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}$
Hesaplama farklı gözükmekle birlikte, aynı sonucu verecektir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.