Hacim dışında çift katlı integraller

Arka plan

• Dikdörtgen olmayan bölgelerde çift katlı integraller

Neye ulaşıyoruz

• İki boyutlu bir bölgeyi sonsuz küçüklükteki küçük alanlara bölmek, her birini bir değerle çarpmak, ve sonra onları toplamak istediğinizde, çift katlı integral kullanırsınız.
• Bir çift katlı integral için genel gösterim şöyledir:

  $\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}$

  burada
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığınız bölgedir.
  • $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 "minik bir alan parçası"nı belirtir, bunun anlamı genelde $dx\,dy$d, x, d, y veya $dy\,dx$d, y, d, x olur, başka bir koordinat sistemi kullanılmadığı sürece.
  • $f(x, y)$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur.

Örnek 1: Bir plakanın kütlesi

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^3 \int_0^2 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_0^3 \int_0^2 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 (\sin(\pi x) + 1)y \,dx\,dy = \end{aligned}$ =

Kontrol et

[Cevap]

Küçük alanlar hakkında düşünme

• Önce, hacmi sonsuz çok dilime kesin. Her dilim değişkenlerden birisi için bir sabit değeri temsil eder, örneğin $x = 0,78$x, equals, 0, comma, 78.
• Bu dilimlerin her birinin alanını bulun. (İçteki integral bunu yapmaktadır).
• Her bir dilime biraz derinlik vererek her bir dilimi minik bir hacim yapın. Matematiksel olarak, bunun anlamı her bir dilimi, dilime dik olan minik bir adım hangisini temsil ediyorsa, ya $dx$d, x, ya da $dy$d, y ile çarpmak demektir.
• Bu sonsuz küçüklükte hacimlerin integralini alın, ve cismin tamamının hacmini bulun. (Dıştaki integral bunu yapmaktadır).

Çift katlı integraller için genel gösterim

• $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığımız bölgeyi temsil eder. Bunu böyle yazmanın nedeni, bir şeyleri kurarken, veya genelde çift katlı integrallerle mantık yürütürken, bazı şeyleri not alırken, bölgenizin özel (ve potansiyel olarak karmaşık) tanımına takılmak istemezsiniz.
  İntegrali hesaplama zamanı geldiğinde, bu $\displaystyle \iint_\blueE{R}$\iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript'nin yerine bir çift limitli hesaplanabilen integraller koyarız. $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bir dikdörtgen olduğunda, bu sınırlar sabit sayı olur:

  $\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} \dots$integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, dots

  Daha genel olarak, $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 $xy$x, y-düzleminde bazı eğriler cinsinden tanımlandığında, içteki integralin sınırları dış değişken cinsinden fonksiyonlar olarak ifade edilir:

  $\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} \dots$integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end superscript, dots

  (Bu fikirle alıştırma yapmak için son makale ye bakın.)
• $dx$d, x'in sıradan bir integralde minik bir alanı temsil etmesi gibi, $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 minik bir alanı temsil eder.
  $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bölgesini birçok minik parçaya ayırmayı gözünüzde canlandıracaksınız, ve bu terim bu parçalardan birinin alanını temsil eder. Çift katlı integrali hesaplamaya başladığınızda, bunu $dx\,dy$d, x, d, y, veya $dy\,dx$d, y, d, x ile değiştireceksiniz. Başka koordinat sistemlerinde $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612'yı ayırmanın farklı yolları vardır, ama bunu bir sonraki makaleye bırakıyorum.
• $f(x, y)$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur. Bölgenizi birçok minik parçaya ayırırsanız, her bir parça toplamak istediğiniz bir değeri temsil eder. Belki bu değer minik bir kütledir, veya bir grafiğin altındaki ince bir sütunun minik hacmidir. Umarım, bu minik miktarı minik bir parçanın alanı çarpı bir şey olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, bir parçanın kütlesi yoğunluk çarpı alandır; ve bir parçanın üstündeki bir sütunun hacmi sütunun yüksekliği çarpı alandır.
  Bu örneklerde, $f(x, y)$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis yoğunluk, veya yüksekliği temsil eder. Genelde, minik bir parçanın alanı, $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, ile çarpılması gereken şeydir, ve genelde bu minik parçanın $(x, y)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis-koordinatlarıyla ifade edilen konumuna bağlıdır.

  "Toplamak istediğim şeyi, bir şey çarpı $dA$d, A olarak ifade edemezsem?"

  O zaman, bu durumda, arkadaşım, çift katlı integraller senin için iyi bir araç değildir. Bunun ortaya çıktığı örnekleri şimdi düşünemesem de...

• Basitlik: Bir şeyi kurmaya başladığınızda, veya kurgulama detaylarına girmeden belirli bir çift katlı integrali belirtmek isterseniz, hızlı bir şekilde yazabilmek iyi olur. Ayrıca, çok değişkenli analizde ortaya çıkan teoremleri ve araçların çoğu bu gösterimde soyut olarak ifade edilir.
• Genelleme: İntegralinizi $\displaystyle \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA}$\iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 şeklinde yazmak, hesaplamaya başladığınızda size seçenekler verir. Örneğin, bir sonraki makalede, kutupsal koordinatlarda çift katlı integral yapacağız, bu durumda, $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612'yı açmanız ve bu iki integral üstüne sınır koymanız kartezyen koordinatlarından farklı olacak.

Örnek 2: Kütle merkezi

Özet

• İki boyutlu bir bölgeyi sonsuz küçüklükteki küçük alanlara bölmek, her birini bir değerle çarpmak, ve sonra onları toplamak istediğinizde, çift katlı integral kullanırsınız.
• Bir çift katlı integral için genel gösterim şöyledir:

  $\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}$

  burada
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığınız bölgedir.
  • $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 "minik bir alan parçası"nı belirtir, bunun anlamı genelde $dx\,dy$d, x, d, y veya $dy\,dx$d, y, d, x olur, başka bir koordinat sistemi kullanılmadığı sürece.
  • $f(x, y)$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur.
• Bu noktadan sonra, çift katlı integraller çok değişkenli analizin birçok yeni konusuyla bağlantılı olur. Ve hemen hemen tüm durumlarda, bir doğru boyunca bir şeyin integralini alıp sonra dik yönde yeniden integral almadan ziyade, belirli bir bölgenin her "minik alanı"nda neler olduğunu düşünmek faydalı olur.