If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Hacim dışında çift katlı integraller

Çift katlı integrallerde üç boyutlu grafiklerin altındaki hacmini bulmaktan fazlasını yaparız. Burada başka kullanımları, çifte integrallerin daha genel gösterimini kapsarız, ve çift katlı integralin "hissini" açıklarız.

Neye ulaşıyoruz

  • İki boyutlu bir bölgeyi sonsuz küçüklükteki küçük alanlara bölmek, her birini bir değerle çarpmak, ve sonra onları toplamak istediğinizde, çift katlı integral kullanırsınız.
  • Bir çift katlı integral için genel gösterim şöyledir:
    RfdA\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}
    burada
    • start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığınız bölgedir.
    • start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 "minik bir alan parçası"nı belirtir, bunun anlamı genelde d, x, d, y veya d, y, d, x olur, başka bir koordinat sistemi kullanılmadığı sürece.
    • f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur.

Örnek 1: Bir plakanın kütlesi

3 metre genişliğinde ve 2 metre yüksekliğinde bir metal plaka düşünün. Hedefimiz, yoğunluğuna bağlı olarak bu plakanın kütlesini bulmaktır, ancak yoğunluk plakanın tamamında sabit değildir.
Bu değişken yoğunluğu bir fonksiyonla tanımlayabilmek için, plakayı x, y düzlemine yerleştirerek başlayalım:
Plakanın sol alt köşesi başlangıç noktasındadır ve uzun kenarı x ekseni üstündedir.
Bu plakanın start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, squared cinsinden yoğunluğunun, aşağıdaki fonksiyonla ifade edildiğini düşünelim:
sigma, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, sine, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y
(sigma, iki boyutlu yoğunluk için kullanılan bir değişken adıdır). Yoğunluk birim alan başına kütledir, dolayısıyla bunu bireysel noktaları girdi olarak alan bir fonksiyonu kullanarak tanımlamak garip gözükebilir. left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis gibi tek bir noktanın yoğunluğunun sigma, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis olması ne anlama gelir? Eğer tercih ederseniz, bu fonksiyonu her noktanın etrafındaki küçük bölgenin içindeki yoğunluğu veriyor olarak yorumlayabilirsiniz.
Plakanın kütlesini bulmak için, bunu her birisi bir dikdörtgen olan çok sayıda küçük parçaya böldüğünüzü ve sonra bunların kütlelerini topladığınızı düşünebilirsiniz.
Bu dikdörtgenlerin her birisinin çok küçük bir genişliği d, x, ve çok küçük bir yüksekliği, d, y, olduğunu düşünün.
Belirli bir dikdörtgeni düşünün, belki de left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis noktasını kapsayanı. Bu dikdörtgen gerçekten küçük olduğundan, içindeki yoğunluk sigma, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis'ye eşit olacak. Bir şeyleri ne kadar küçük keserseniz, ve dikdörtgenler ne kadar küçük olursa, her bir dikdörtgenin yoğunluğunun sabit olmasına o kadar yakınız.
Bu, bunun gibi her dikdörtgenin kütlesini bulabileceğimiz anlamını taşır. Örneğin,
σ(1,2)densitydxdytiny area=(sin(π)+1)(2)dxdy=2dxdy\begin{aligned} \underbrace{ \sigma(1, 2) }_{\text{density}} \,\underbrace{ dx\,dy }_{\text{tiny area}} = (\sin(\pi)+1)(2)\,dx\,dy = 2\,dx\,dy \end{aligned}
Plakanın toplam kütlesini elde etmek için, bu küçük kütlelerin hepsini birleştiriririz. İki boyutlu bir bölgede integral alıyor olduğumuz için, çift katlı integral kullanırız. Dikkat: integrallerinizin sırası, her dikdörtgenin küçük alanını d, x, d, y veya d, y, d, x olarak ifade etmenize bağlıdır.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki çift katlı integrallerden hangisi 3 metre genişliğinde ve 2 metre yüksekliğindeki metal düzlemimizin hacmini temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: sigma, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, sine, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y fonksiyonunu kullanarak bu çift katlı integralin değerini bulun. (Eğer bunu nasıl yapacağınızdan emin değilseniz, çift katlı integrallere giriş makalesini tekrar gözden geçirebilirsiniz.)
0203(sin(πx)+1)ydxdy=\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 (\sin(\pi x) + 1)y \,dx\,dy = \end{aligned} =

Küçük alanlar hakkında düşünme

Khan Akademi video wrapper
Çift katlı integralleri ilk kez anlattığımda, bir grafiğin altındaki hacmi hesaplamaktan bahsetmiştim. Bu hesaplamadaki düşünce süreci şöyleydi:
  • Önce, hacmi sonsuz çok dilime kesin. Her dilim değişkenlerden birisi için bir sabit değeri temsil eder, örneğin x, equals, 0, comma, 78.
  • Bu dilimlerin her birinin alanını bulun. (İçteki integral bunu yapmaktadır).
  • Her bir dilime biraz derinlik vererek her bir dilimi minik bir hacim yapın. Matematiksel olarak, bunun anlamı her bir dilimi, dilime dik olan minik bir adım hangisini temsil ediyorsa, ya d, x, ya da d, y ile çarpmak demektir.
  • Bu sonsuz küçüklükte hacimlerin integralini alın, ve cismin tamamının hacmini bulun. (Dıştaki integral bunu yapmaktadır).
Buna karşılık, önceki bölümden tabakanın kütlesini bulma örneği farklı bir görünüm ve hisse sahiptir. Minik alanları düşünmekle başlarız, sonra her birini bir sabitle (yoğunluk) çarparız ve bunları birden toplamayı deneyiz.
Bu iki bakış açısı denktir. İş hesaplamaya geldiğinde, hiçbir şey farklı olmayacaktır. Daima bir integrali diğerinin içine koyacaksınız ve önce içteki integrali sonra diğer integrali hesaplayacaksınız.
Yine de, görselleştirme ve kavramsal anlayış açısından, çift katlı bir integrali minik alanlar açısından çerçevelemek, doğrusal bir integrali başka bir integralin içinde yakalamaktan farklıdır. Örneğin, bir grafik altında hacmi x, y-düzlemindeki bölgenizi minik alanlara ayırarak hesaplamayı düşünürseniz, bu minik alanların üstündeki ince sütunları toplamayı gözünüzde canlandırabilirsiniz.
Khan Akademi video wrapper

Çift katlı integraller için genel gösterim

Küçük alanlara ilişkin bir çift katlı integral söz konusu olduğunda, bu genelde soyut şekilde böyle yazılır:
RfdA\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}
  • start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığımız bölgeyi temsil eder. Bunu böyle yazmanın nedeni, bir şeyleri kurarken, veya genelde çift katlı integrallerle mantık yürütürken, bazı şeyleri not alırken, bölgenizin özel (ve potansiyel olarak karmaşık) tanımına takılmak istemezsiniz.
    İntegrali hesaplama zamanı geldiğinde, bu \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript'nin yerine bir çift limitli hesaplanabilen integraller koyarız. start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bir dikdörtgen olduğunda, bu sınırlar sabit sayı olur:
    integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, dots
    Daha genel olarak, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 x, y-düzleminde bazı eğriler cinsinden tanımlandığında, içteki integralin sınırları dış değişken cinsinden fonksiyonlar olarak ifade edilir:
    integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end superscript, dots
    (Bu fikirle alıştırma yapmak için son makale ye bakın.)
  • d, x'in sıradan bir integralde minik bir alanı temsil etmesi gibi, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 minik bir alanı temsil eder.
    start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bölgesini birçok minik parçaya ayırmayı gözünüzde canlandıracaksınız, ve bu terim bu parçalardan birinin alanını temsil eder. Çift katlı integrali hesaplamaya başladığınızda, bunu d, x, d, y, veya d, y, d, x ile değiştireceksiniz. Başka koordinat sistemlerinde start color #bc2612, d, A, end color #bc2612'yı ayırmanın farklı yolları vardır, ama bunu bir sonraki makaleye bırakıyorum.
  • f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur. Bölgenizi birçok minik parçaya ayırırsanız, her bir parça toplamak istediğiniz bir değeri temsil eder. Belki bu değer minik bir kütledir, veya bir grafiğin altındaki ince bir sütunun minik hacmidir. Umarım, bu minik miktarı minik bir parçanın alanı çarpı bir şey olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, bir parçanın kütlesi yoğunluk çarpı alandır; ve bir parçanın üstündeki bir sütunun hacmi sütunun yüksekliği çarpı alandır.
    Bu örneklerde, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis yoğunluk, veya yüksekliği temsil eder. Genelde, minik bir parçanın alanı, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, ile çarpılması gereken şeydir, ve genelde bu minik parçanın left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis-koordinatlarıyla ifade edilen konumuna bağlıdır.
    "Toplamak istediğim şeyi, bir şey çarpı d, A olarak ifade edemezsem?"
    O zaman, bu durumda, arkadaşım, çift katlı integraller senin için iyi bir araç değildir. Bunun ortaya çıktığı örnekleri şimdi düşünemesem de...
Bu soyut gösterimin iki yararı bulunmaktadır:
  • Basitlik: Bir şeyi kurmaya başladığınızda, veya kurgulama detaylarına girmeden belirli bir çift katlı integrali belirtmek isterseniz, hızlı bir şekilde yazabilmek iyi olur. Ayrıca, çok değişkenli analizde ortaya çıkan teoremleri ve araçların çoğu bu gösterimde soyut olarak ifade edilir.
  • Genelleme: İntegralinizi \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 şeklinde yazmak, hesaplamaya başladığınızda size seçenekler verir. Örneğin, bir sonraki makalede, kutupsal koordinatlarda çift katlı integral yapacağız, bu durumda, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612'yı açmanız ve bu iki integral üstüne sınır koymanız kartezyen koordinatlarından farklı olacak.

Örnek 2: Kütle merkezi

Bir yarım diskin kütle merkezi nedir?
Basit olması için, diskin yarıçapının 1 olduğunu ve çapının y ekseni üstünde olduğunu düşünelim. Ayrıca, diskin her yerinde yoğunluğun yeknesak olduğunu varsayın.
Bu oldukça ilginç bir problem, değil mi? Cevabın left parenthesis, 0, comma, 5, comma, 0, right parenthesis'ın biraz solunda bir şey olduğunu tahmin edebilirsiniz, ancak kesin cevabın ne olacağı belli değil, öyle değil mi?
Yarım diskin düşey simetrisine göre, kütle merkezinin x-ekseninin üstünde olduğunu bilebilirsiniz. Bir anlamda, aradığımız şey, diskteki noktaların "ortalama x-değeridir".
Kavram kontrolü: Eğer bu yarım diski H ile ve bunun alanını vertical bar, H, vertical bar ile gösterirsek, aşağıdaki soyut şekilde yazılmış integrallerden hangisi kütle merkezi H için x değerini temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Yarım disk H alanı nedir?
vertical bar, H, vertical bar, equals

Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi \iint, start subscript, H, end subscript, x, d, A integralini hesaplanabilir bir forma açmak için doğru yolu temsil eder?
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Bitirelim: Bu integrali çözün, ve bunu kullanarak H'nin kütle merkezini bulun.
Kütle merkezinin x koordinatı:

Özet

  • İki boyutlu bir bölgeyi sonsuz küçüklükteki küçük alanlara bölmek, her birini bir değerle çarpmak, ve sonra onları toplamak istediğinizde, çift katlı integral kullanırsınız.
  • Bir çift katlı integral için genel gösterim şöyledir:
    RfdA\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}
    burada
    • start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 integral aldığınız bölgedir.
    • start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 "minik bir alan parçası"nı belirtir, bunun anlamı genelde d, x, d, y veya d, y, d, x olur, başka bir koordinat sistemi kullanılmadığı sürece.
    • f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki değişkenli bir fonksiyondur.
  • Bu noktadan sonra, çift katlı integraller çok değişkenli analizin birçok yeni konusuyla bağlantılı olur. Ve hemen hemen tüm durumlarda, bir doğru boyunca bir şeyin integralini alıp sonra dik yönde yeniden integral almadan ziyade, belirli bir bölgenin her "minik alanı"nda neler olduğunu düşünmek faydalı olur.