If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Kutupsal koordinatlarda çift katlı integraller

Eğer kutupsal koordinatlar kullanılarak tanımlanmış olan bir iki değişkenli fonksiyonunuz varsa, bunun çift katlı integralini nasıl hesaplarsınız?

Neye ulaşıyoruz

  • Bir çift katlı integrali alırken,
    \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
    f fonksiyonunu ve start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bölgesinin sınırlarını left parenthesis, r, comma, theta, right parenthesis kutupsal koordinatlarında ifade etmek isterseniz, d, A minik alanını açmanın yolu
    start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r
    (r değişkeninin bu ifadenin bir parçası olduğu gerçeğine dikkat edin)
  • Bu kuralın ötesinde, bu çift katlı integraller integrallerin sınırlarının R bölgesini uygun olarak kodlamasıyla ilgilidir.
  • Fonksiyonunuzun veya bölgenizin bir tür döndürme simetrisi olduğu zaman, kutupsal koordinatlarla integral alma kullanışlıdır. Örneğin, bir diskte integral alma, veya x, squared, plus, y, squared ifadesini içeren fonksiyonlar için kutupsal koordinatlar çok uygundur.

Örnek 1: Kutupsal koordinatlarda küçük alanlar

r ve theta kutupsal koordinatları kullanılarak tanımlanmış olan çok değişkenli bir fonksiyonumuz olduğunu varsayın,
f, left parenthesis, r, comma, theta, right parenthesis, equals, r, squared
Diyelim ki, bu fonksiyonun çift katlı integralini aşağıda belirtilen bölgede alıyorsunuz:
r, is less than or equal to, 2
Bu, merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 2 olan bir disktir.
Soyut olarak yazıldığında, bu çift katlı integral böyle gözükebilir:
r2r2dA\begin{aligned} \iint_{r\le 2} r^2\,\redE{dA} \end{aligned}
Bunu paraboloidin (parabolün üç boyuttaki benzeri) altındaki hacim olarak yorumlayabiliriz, aşağıda gösterildiği gibi:
Soru, o start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 terimiyle ne yapacağımızdır.
Uyarı!: start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 yerine d, theta, d, r koymayı düşünebilirsiniz, zira kartezyen koordinatlarda bunu d, x, d, y ile değiştiririz. Ancak, bu doğru değildir!
Bir çift katlı integralin ne yaptığını hatırlayın: integral aldığımız bölgeyi pek çok küçük bölgeye böler ve start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 bu parçalardan her birisinin alanını temsil eder. Örneğin, yarıçapı 2 olan diskimizi bölmek böyle gözükür:
Düşey ve yatay çizgiler kullanmak yerine, neden bu örümcek ağı şeklinde ayırmayı seçtim? Kutupsal koordinatlarda olduğumuzdan, kenarlar sabit bir r değeri veya sabit bir theta değerini temsil ederse, minik parçaları düşünmesi en kolay olur.
Bu gruplardan sadece bir tanesine odaklanalım:
Bu küçük parçanın eğri bir şekli olsa da, gitgide küçülen kesitler alırsak, bir dikdörtgen olarak görebiliriz. Bu "dikdörtgen"in bir kenarı d, r, r-koordinatında minik bir değişim, olarak düşünülebilir.
Bu uzunluğu tanımlamak için bir d, r diferansiyeli kullanmak, aslında belirli bir parçayı ele aldığımızı değil, bunun yerine büyüklüğü 0'a yaklaşırken neler olduğuyla ilgilendiğimizi vurgular.
Ancak diğer kenarın uzunluğu nedir?
d, theta, açıdaki minik bir değişim, değil çünkü radyan uzunluk birimi değildir. Radyanı biraz yay uzunluğuna dönüştürmek için r ile çarpmamız gerekir.
Böylece, bu minik parçayı bir dikdörtgen olarak düşünürsek, ve d, r ve d, theta 0'a yaklaşırsa, temelde bu bir dikdörtgen olur, alanı
start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, equals, left parenthesis, r, d, theta, right parenthesis, left parenthesis, d, r, right parenthesis
Bunu orijinal integralimize koyduğumuzda, bunu elde ederiz:
r2r2dA=r2r2(rdθ)(dr)=r2r3dθdr\begin{aligned} \iint_{r\le 2} r^2\,\redE{dA} = \iint_{r\le 2} r^2\,(r\,d\theta)(dr) = \iint_{r\le 2} r^3\,d\theta\,dr \end{aligned}
Bu örnekteki bölgeye sınır koymak nispeten kolaydır, çünkü çemberler kutupsal koordinatlar için doğal olarak uygundur. d, theta'yı d, r'nin önüne yazdığımız için, içteki integral theta cinsinden yazılmıştır. İçteki integralin sınırları theta'nın tüm aralığını yansıtır, 0 ile 2, pi arasında. Dıştaki integral r'ye göredir, bu da 0 ile 2 arasında değerler alır.
Kavram kontrolü: Bu çift katlı integralin değerini bulun
0202πr3dθdr=\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^{2\pi} r^3\,d\theta\,dr = \end{aligned}

Örnek 2: Bir çiçeğin integralini alma

İki değişkenli bir f fonksiyonunu kutupsal koordinatlarda şöyle tanımlayın
f, left parenthesis, r, comma, theta, right parenthesis, equals, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis
R aşağıdaki gibi tanımlanmış olan çiçek şeklindeki bölge olsun.
r, is less than or equal to, cosine, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis
Çift katlı integrali bulun
RfdA\begin{aligned} \iint_R f\,dA \end{aligned}
Adım 1: Aşağıdakilerden hangisi, soyut olarak yazılan çift katlı integralde f, d, A'nın yerine koymanın doğru yolunu temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Adım 2: Şimdi R'nin r, is less than or equal to, cosine, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis olduğu bölge olduğu gerçeğini kodlamalıyız. Bunların hangisi çift katlı integralde sınır koymanın doğru yoludur?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Adım 3: Bu integrali çözün.
02π0cos(2θ)r2sin(θ)drdθ=\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Örnek 3: Çan eğrisi

Matematikteki en favori sonuçlarımdan birisi için hazır mısınız? Bu, gerçekten çok zekice.
soru: ex2dx\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \end{aligned} integrali nedir?
Bu tek katlı integrali doğrudan hesaplamak, neredeyse imkansız denecek kadar zor. Ters türevi bulmayı deneyin!
Bu integral bir çan eğrisinin altındaki alanı sormaktadır; bu alan olasılık ve istatistik için son derece önemlidir!
"Bunun kutupsal koordinatlarda çift katlı integralle ne alakası var?"
Meraklı arkadaşım, sen duyuyorum, kulağa ilgisiz geliyor, öyle değil mi? İşte burada birisi süper zekileşti.
Bu problemin birden çok boyutlu benzerini çözmenin daha kolay olması sizi şaşırtabilir. Yani, x, y-düzlemi boyunca üç boyutlu çan eğrisinin altındaki hacmi bulmak.
xy-du¨zlemie(x2+y2)dA\begin{aligned} \iint_{xy\text{-düzlemi}} e^{-(x^2 + y^2)} \,dA \end{aligned}
Eğer her şeyi kartezyen koordinatlarda tutarsak, bu orijinal tek katlı integrali çözmek kadar zordur.
e(x2+y2)dxdy\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2 + y^2)} \,dx\,dy \end{aligned}
Bununla birlikte, kutupsal koordinatları dönüştürdüğümüzde sihirli bir şey olur.
Kavram kontrolü: Bu çift katlı integrali kutupsal koordinatlarını kullanarak ifade edin.
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

İçteki integral theta cinsinden olduğundan, içinde r olan her şeyi dışarı alabiliriz, bu durumda bu fonksiyonun tamamı olur:
002πer2rdθdr=0er2r02πdθBu 2π ederdr=0(er2r)(2π)dr=2π0er2rdr\begin{aligned} &\quad \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r \,d\theta \,dr \\\\ &= \int_0^\infty e^{-r^2} r \underbrace{ \int_0^{2\pi} \,d\theta }_{\text{Bu $2\pi$ eder}}\,dr \\\\ &= \int_0^\infty \left(e^{-r^2} r \right)(2\pi) \, dr \\\\ &= 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr \end{aligned}
Kavram kontrolü: u yerine koyma yöntemini veya ters zincir kuralını kullanarak e, start superscript, minus, r, squared, end superscript, r'nin ters türevini bulun.
er2rdr=\begin{aligned} \int e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}

Dikkat ederseniz, terstürev bulma nedeniniz, d, A, equals, r, d, theta, d, r nedeniyle ortaya çıkan r terimidir.
Kavram kontrolü: Bu ters türevi kullanarak, üç boyutlu bir çan eğrisinin altındaki hacmi hesaplayan integrali çözmeyi tamamlayın.
2π0er2rdr=\begin{aligned} 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}

Bu güzel bir cevap, değil mi? Daha da iyi oluyor, bu çok boyutlu sonucu orijinal tek integrali çözmek için kullanabilirsiniz. Nasıl yapabileceğinizi görüyor musunuz?

Özet

  • Kutupsal koordinatlarda çift katlı integrallere ilişkin olarak hatırlamanız gereken tek şey budur:
    d, A, equals, r, d, r, d, theta
    Bunun ötesinde, zor kısım sınırlarla uğraşmak, ve elde ettiğiniz integralleri çözmenin zorluğudur. Ama bu zorluklar kartezyen çift katlı integraller için de geçerlidir.
  • Bunun öğrenmeye değer olmasının nedeni, çan eğrisi örneğinde olduğu gibi, bazen kutupsal koordinatlarla ifade ettiğimizde, çift katlı integrallerin daha kolaylaşmasıdır.