Kutupsal koordinatlarda çift katlı integraller

Arka plan

• Kutupsal koordinatlar (video)
• Hacmin ötesinde çift katlı integraller

Neye ulaşıyoruz

• Bir çift katlı integrali alırken,
  $\displaystyle \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA}$\iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
  $f$f fonksiyonunu ve $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 bölgesinin sınırlarını $(r, \theta)$left parenthesis, r, comma, theta, right parenthesis kutupsal koordinatlarında ifade etmek isterseniz, $dA$d, A minik alanını açmanın yolu

  $\redE{dA} = r\,d\theta\,dr$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r

  ($r$r değişkeninin bu ifadenin bir parçası olduğu gerçeğine dikkat edin)
• Bu kuralın ötesinde, bu çift katlı integraller integrallerin sınırlarının $R$R bölgesini uygun olarak kodlamasıyla ilgilidir.
• Fonksiyonunuzun veya bölgenizin bir tür döndürme simetrisi olduğu zaman, kutupsal koordinatlarla integral alma kullanışlıdır. Örneğin, bir diskte integral alma, veya $x^2 + y^2$x, squared, plus, y, squared ifadesini içeren fonksiyonlar için kutupsal koordinatlar çok uygundur.

Örnek 1: Kutupsal koordinatlarda küçük alanlar

Uyarı!: $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 yerine $d\theta\,dr$d, theta, d, r koymayı düşünebilirsiniz, zira kartezyen koordinatlarda bunu $dx\,dy$d, x, d, y ile değiştiririz. Ancak, bu doğru değildir!

$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^{2\pi} r^3\,d\theta\,dr = \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Örnek 2: Bir çiçeğin integralini alma

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \iint_R r\sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \iint_R r\sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta = \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Örnek 3: Çan eğrisi

soru: $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \end{aligned}$ integrali nedir?

"Bunun kutupsal koordinatlarda çift katlı integralle ne alakası var?"

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

$\begin{aligned} \int e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

$\begin{aligned} 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Özet

• Kutupsal koordinatlarda çift katlı integrallere ilişkin olarak hatırlamanız gereken tek şey budur:

  $dA = r\,dr\,d\theta$d, A, equals, r, d, r, d, theta

  Bunun ötesinde, zor kısım sınırlarla uğraşmak, ve elde ettiğiniz integralleri çözmenin zorluğudur. Ama bu zorluklar kartezyen çift katlı integraller için de geçerlidir.
• Bunun öğrenmeye değer olmasının nedeni, çan eğrisi örneğinde olduğu gibi, bazen kutupsal koordinatlarla ifade ettiğimizde, çift katlı integrallerin daha kolaylaşmasıdır.