If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Dikdörtgen olmayan bölgelerde çift katlı integraller

Çift katlı integralleri güçleştiren, dikdörtgen formlu olmayan bölgelerin sınırlarını bulmaktır. Burada bunun ne anlama geldiğini açıklayacak ve birkaç problem çözerek alıştırma yapacağız.

Neye ulaşıyoruz

Dikdörtgen olmayan bir bölge örneği
  • Eğer x, y düzleminin dikdörtgen olmayan bir bölgesinde integral almak istiyorsanız, içteki integralin sınırlarının her birisini dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olarak ifade etmelisiniz.
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)Bu y’nin bir foksiyonudurdy\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}
    veya alternatif olarak,
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)Bu x’in bir foksiyonudurdx\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}

Dikdörtgen olmayan bölgelerle problem

Şu fonksiyonu düşünün
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared
Grafiği şuna benzer:
Khan Akademi video wrapper
Bu grafiğin bir kısmının altındaki hacmi bulacağız. Bir önceki makalenin aksine, bu hacim x, y-düzleminde dikdörtgensel bir bölgenin üstünde bulunmaz. Bunun yerine, tabanı bir üçgen olan bir hacim arıyoruz. Spesifik olarak, aşağıda resmi olan üçgenin.
Bu bir ikizkenar üçgendir, üçgenin kısa kenarlarından birisi x ekseninde left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis ve left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktalarını birleştirir, diğer kısa kenar ise left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis ve left parenthesis, 2, comma, 2, right parenthesis noktalarını birleştirir. Bu üçgenin üstündeki ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared grafiğinin altındaki hacim böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
Bu, bir önceki makalede gsöterdiğim iki katlı integrali tanıtan problemle benzerlik gösterir. Ve gerçekten de, bunu çözmenin yolu benzerdir.
  • Bir integral kullanarak alan dilimleri için bir formül bulun.
  • Bu sonsuz çok dilimlerin alanlarını toplayarak hacmi elde etmek için ikinci bir integral kullanın.
Şimdi zor kısım sınırlardır. Örneğin, bu hacmin sabit x değerlerini temsil eden dilimlerini düşünün. Aşağıdaki animasyon, x-değeri 0 ila 2 arasında değiştikçe, bu dilimlerin neye benzediğini gösterir.
Khan Akademi video wrapper
Bu dilimlerden birinin yüksekliği, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared grafiğinin tabanın üstündeki yüksekliğine göre değişir. Ama dilimin tabanının uzunluğu da değişir. Örneğin, x, equals, 0, comma, 5 olduğunda, tabandaki y değeri 0 ile 0, comma, 5 arasında değişebilir, aşağıdaki düşey kırmızı şeritte olduğu gibi.
Alternatif olarak, x, equals, 1, comma, 5 olduğunda y değeri 0 ile 1, comma, 5 arasında değişir:
Buna göre, bu sabit-x-değerli dilimlerde birini bulmak için bir integral kurduğumuzda, üst sınır x cinsinden yazılır.
0xf(x,y)dy=0xxy2dy\begin{aligned} \int_0^\blueE{x} f(x, y) \, dy = \int_0^\blueE{x} xy^2 \, dy \end{aligned}
Hesaplamalarımızı düşünürseniz, sınırların birini x cinsinden yazmak gayet iyidir. Sonunda, x cinsinden bir ifade elde edeceğiz. Devam edin ve integrali kendiniz bulun:
0xxy2dy=\begin{aligned} \int_0^x xy^2 \, dy = \end{aligned}

Burada, yeni bir şey yoktur. Biraz derinlik vermek için bu değeri d, x ile çarpın, ve böylece sonsuz küçüklükte bir hacim yapın. Sonra, x'e göre integral aldığımızda, sınırlar sabittir, x, equals, 0 ve x, equals, 2, çünkü üçgenimizin tabanı x-ekseninde burada bulunur.
02x43dx=(x5(5)(3))02=25150515=3215\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x^4}{3} \, dx &= \left(\dfrac{x^5}{(5)(3)} \right)_0^2 \\\\ &= \dfrac{2^5}{15} - \dfrac{0^5}{15} \\\\ &= \dfrac{32}{15} \end{aligned}
Bu nedenle, toplam hacim start fraction, 32, divided by, 15, end fraction, approximately equals, 2, comma, 13'tür.

Bir disk üzerinde integral alma

Şimdi biraz daha zor bir şey deneyelim: birim diskle sınırlanan bir grafiğin altındaki hacmi bulma. x, y-düzlemindeki birim disk, şu left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktalarıdır
x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 1
Örneğin, grafiğin altındaki hacim,
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, plus, y, minus, x, squared
birim diskle sınırlanan şuna benzer
Khan Akademi video wrapper
Bir kez daha, bu hacmin sabit x değerlerine karşılık gelen dilimlerini düşünün.
Khan Akademi video wrapper
Bu dilimlerden her birisinin tabanının x, y düzleminde nasıl gözüktüğünü düşünün. Her dilim, birim diskteki bir düşey şeritle eşleşir.
Pisagor teoremini kullanarak, bu şeritin üstünü ve altına belirleyen y değerlerini, şeritin temsil ettiği x-değeri cinsinden bir fonksiyon olarak bulabiliriz.
Şimdi bu sabit-x-değeri dilimlerinden birinin alanını bulmak için f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin y'ye göre integralini alabiliriz. Yine, bunun dikdörtgensel bölgeden farklı olduğu yer, bu sınırların x'e göre fonksiyonlar olmasıdır.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki integrallerden hangisi aradığımız hacmin sabit x değerli bir diliminin alanını temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Üstünde çalışın: Bu daha önceki örneklerden daha ağır bir hesaplamadır, ancak eğer buna hazır olduğunuzu düşünüyorsanız, x'in bir fonksiyonu olarak sabit-x-değerli dilimin alanı için bir formül elde etmek için bu integrali hesaplayın.
Sabit x değerli bir dilimin alanı:

Birim diskteki x-değerleri x, equals, minus, 1 ile x, equals, 1 arasında değişir, o zaman aradığımız hacmi bulmak için, bulduğunuz ifadenin x'e göre minus, 1 ile 1 arasında integralini alın. Önceki gibi, bunu pek çok kağıt inceliğinde hacimleri toplamak gibi düşünebilirsiniz.
Bu zor bir integraldir, ama pragmatik olarak, herhangi bir bilgisayar cebir sistemi veya Wolfram Alpha gibi sayısal integral aracıyla çözebiliriz.
Toplam hacim: 11(62x2)1x2dx=11π48,6394\qquad \begin{aligned} \int_{-1}^1 (6- 2x^2) \sqrt{1-x^2} \,dx = \dfrac{11\pi}{4} \approx 8,6394 \end{aligned}

Diğer yolla dilimleyin: Köpek balığı kuyruğu

Bazen sabit-y değeri dilimlerini düşünmek daha kolaydır, bu da x, y-düzlemindeki bölgenizi yatay şeritlerle kesmeyi gerektirir. Örneğin, x, y-düzleminde aşağıdaki özellikleri sağlayan bölgeyi düşünün:
  • x, is greater than or equal to, y, squared
  • x, is less than or equal to, y, plus, 2
  • y, is greater than or equal to, 0
Bu bölge bir köpek balığının sırt yüzgeci gibi görünmektedir:
Bölgenin sağ üst köşesi, x, equals, y, squared eğrisinin x, equals, y, plus, 2 doğrusuyla buluştuğu yerdedir. Bu nokta left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis'dir.
Ayak izi bu bölge olan, ve yüksekliği nispeten basit bir çok değişkenli fonksiyonla belirlenen bir cismin hacmini bulalım:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y
Hacim böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
Bu sefer, bu hacmin sabit y-değeri dilimlerini kestiğinizi hayal edin. Bu, köpekbalığı bölgesinde yatay bir çizginin üstündeki alanı verir, aşağıda kırmızıyla gösterilen gibi.
Kavram kontrolü: Eğer bu yatay şeritlerden bir tanesi bir y değerine karşılık geliyorsa, bu şeridin x değerindeki sınırlar nelerdir? Yani, y'nin bir fonksiyonu olarak bu doğrunun sol ve sağ bitim noktalarının x koordinatları nelerdir?
Alt sınır: x, equals
Üst sınır: x, equals

Kavram kontrolü: Aşağıdaki integrallerden hangisi bu şeritlerden birisinin üstündeki ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y grafiğinin altındaki bir dilimin alanını y'nin bir fonksiyonu olarak temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Hacmimizin sabit y değerli dilimlerinin alanını bulmak için bu integrali çözün.
Sabit y değerli bir dilimin alanı:

Kavram kontrolü: Toplam hacmi elde etmek için y'nin bu fonksiyonunun integralini alırken hangi sınırları kullanmalıyız?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Bitirelim: Bu bölümün başında tanımlanan bölgenin hacmini bulmak için bu integrali çözün. (Hesap makinesi kullanabilirsiniz).
Hacim:

Özet

Dikdörtgen olmayan bir bölgede çift katlı integral almanız gerektiğinde, bu adımları izleyin.
  • Bölgenizi, değişkenlerden bir tanesini sabit tutmayla eşleşen dilimler boyunca keserek başlayın. Örneğin, x'i bir sabit değerde tutmak bölgenizin düşey bir şeridini verecektir.
  • Bu şeritlerin sınırlarını, diğer değişkenin bir fonksiyonu olarak nasıl ifade edeceğinizi bulun. Örneğin, düşey bir şeridin üstü ve altı x'in bir fonksiyonu olarak ifade edilecektir.
  • Çift katlı integralinizi oluşturduğunuzda, içteki integral bu şeritlerin biri boyunca integral almaya karşılık gelecektir ve sınırların her birisi dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olacaktır. Eğer içteki integral sabit x değerlerine karşılık geliyorsa, çift katlı integral bir bütün olarak böyle gözükebilir:
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)Bu y’nin bir foksiyonudurdx\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}
    Buna alternatif olarak, eğer yatay sabit y değerli dilimlerle başladıysanız, çift katlı integral böyle gözükebilir:
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)Bu x’in bir foksiyonudurdy\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}