Dikdörtgen olmayan bölgelerde çift katlı integraller

Arka plan

• Çift katlı integraller

Neye ulaşıyoruz

• Eğer $xy$x, y düzleminin dikdörtgen olmayan bir bölgesinde integral almak istiyorsanız, içteki integralin sınırlarının her birisini dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olarak ifade etmelisiniz.

  $\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}$

  veya alternatif olarak,

  $\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}$

Dikdörtgen olmayan bölgelerle problem

• Bir integral kullanarak alan dilimleri için bir formül bulun.
• Bu sonsuz çok dilimlerin alanlarını toplayarak hacmi elde etmek için ikinci bir integral kullanın.

Bir disk üzerinde integral alma

Toplam hacim: $\qquad \begin{aligned} \int_{-1}^1 (6- 2x^2) \sqrt{1-x^2} \,dx = \dfrac{11\pi}{4} \approx 8,6394 \end{aligned}$

Diğer yolla dilimleyin: Köpek balığı kuyruğu

Alt sınır: $x =$x, equals

Üst sınır: $x =$x, equals

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{y^2}^{y+2} (x+2y) \,dx \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{y^2}^{y+2} (x+2y) \,dx \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^2 (x+2y) \,dy \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^2 (x+2y) \,dy \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Sabit $y$y değerli bir dilimin alanı:

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^4 \dots \,dy \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_0^4 \dots \,dy \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^2 \dots \,dy \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^2 \dots \,dy \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Hacim:

Kontrol et

[Cevap]

Özet

• Bölgenizi, değişkenlerden bir tanesini sabit tutmayla eşleşen dilimler boyunca keserek başlayın. Örneğin, $x$x'i bir sabit değerde tutmak bölgenizin düşey bir şeridini verecektir.
• Bu şeritlerin sınırlarını, diğer değişkenin bir fonksiyonu olarak nasıl ifade edeceğinizi bulun. Örneğin, düşey bir şeridin üstü ve altı $x$x'in bir fonksiyonu olarak ifade edilecektir.
• Çift katlı integralinizi oluşturduğunuzda, içteki integral bu şeritlerin biri boyunca integral almaya karşılık gelecektir ve sınırların her birisi dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olacaktır. Eğer içteki integral sabit $x$x değerlerine karşılık geliyorsa, çift katlı integral bir bütün olarak böyle gözükebilir:
  $\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Bu $y$'nin bir foksiyonudur}}dx \end{aligned}$
  Buna alternatif olarak, eğer yatay sabit $y$y değerli dilimlerle başladıysanız, çift katlı integral böyle gözükebilir:
  $\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Bu $x$'in bir foksiyonudur}}dy \end{aligned}$