Dikdörtgen olmayan bölgelerde çift katlı integraller

Arka plan

• Çift katlı integraller

Neye ulaşıyoruz

• Eğer $xy$‍ düzleminin dikdörtgen olmayan bir bölgesinde integral almak istiyorsanız, içteki integralin sınırlarının her birisini dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olarak ifade etmelisiniz.

  $\begin{array}{r}{\int }_{y_1}^{y_2}\stackrel{\text{Bu }y\text{’nin bir foksiyonudur}}{\overbrace{({\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx)}}dy\end{array}$‍

  veya alternatif olarak,

  $\begin{array}{r}{\int }_{x_1}^{x_2}\stackrel{\text{Bu }x\text{’in bir foksiyonudur}}{\overbrace{({\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy)}}dx\end{array}$‍

Dikdörtgen olmayan bölgelerle problem

• Bir integral kullanarak alan dilimleri için bir formül bulun.
• Bu sonsuz çok dilimlerin alanlarını toplayarak hacmi elde etmek için ikinci bir integral kullanın.

Bir disk üzerinde integral alma

Toplam hacim: $\begin{array}{r}{\int }_{-1}^1(6-2x^2)\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{11\pi }{4}}\approx 8,6394\end{array}$‍

Diğer yolla dilimleyin: Köpek balığı kuyruğu

Alt sınır: $x=$‍

Üst sınır: $x=$‍

Kontrol et

Cevap

Alt sınır: $x=y^2$‍

Üst sınır: $x=y+2$‍

Bunlar doğrudan yukarıda verilen bölgenin tanımından geldi.

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{array}{r}{\int }_{y^2}^{y+2}(x+2y)dx\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}{\int }_{y^2}^{y+2}(x+2y)dx\end{array}$‍
• (B şıkkı)  

  $\begin{array}{r}{\int }_0^2(x+2y)dy\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}{\int }_0^2(x+2y)dy\end{array}$‍

Kontrol et

Cevap

İlk seçenek doğrudur.

$\begin{array}{r}{\int }_{y^2}^{y+2}(x+2y)dx\end{array}$‍

İntegral "$dx$‍" ile belirtildiği üzere, yatay yönde hareket eder. Son soruda bulunan değerlerle sınırlandırılmıştır, bu da köpek balığının yüzgeç kısmında kaldığını belirtir.

Sabit $y$‍ değerli bir dilimin alanı:

Kontrol et

Cevap

$\begin{array}{rl}{\int }_{y^2}^{y+2}(x+2y)dx& ={({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2yx)}_{x=y^2}^{x=y+2}\\ \\ & =({\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{2}}+2y(y+2))-({\displaystyle \frac{(y^2{)}^2}{2}}+2y(y^2))\\ \\ & =\underset{1/2\text{ çarpanını ayırın}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{y^2+4y+4}{2}}+2y^2+4y-{\displaystyle \frac{y^4}{2}}-2y^3}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(y^2+4y+4+4y^2+8y-y^4-4y^3)\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-y^4-4y^3+5y^2+12y+4)\\ \end{array}$‍

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{array}{r}{\int }_0^4\dots dy\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}{\int }_0^4\dots dy\end{array}$‍
• (B şıkkı)  

  $\begin{array}{r}{\int }_0^2\dots dy\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}{\int }_0^2\dots dy\end{array}$‍

Kontrol et

Cevap

Köpek balığı yüzgeci bölgemizin resmine baktığımızda, $y$‍ $0$‍ ile $2$‍ arasında değişmektedir

Buna göre, ikinci seçenek doğrudur. İstenen hacmimizi veren integral böyle gözükür:

$\begin{array}{r}{\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{2}}(-y^4-4y^3+5y^2+12y+4)dy\end{array}$‍

Hacim:

Kontrol et

Cevap

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{2}}(-y^4-4y^3+5y^2+12y+4)dy\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{(-{\displaystyle \frac{y^5}{5}}-y^4+5{\displaystyle \frac{y^3}{3}}+6y^2+4y)}_0^2\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{(2{)}^5}{5}}-(2{)}^4+5{\displaystyle \frac{(2{)}^3}{3}}+6(2{)}^2+4(2))\\ & -{\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{(0{)}^5}{5}}-(0{)}^4+5{\displaystyle \frac{(0{)}^3}{3}}+6(0{)}^2+4(0))\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{32}{5}}-16+5{\displaystyle \frac{8}{3}}+24+8)\\ \\ & =\dots (\text{hesap makinesi})\dots \\ \\ & ={\displaystyle \frac{172}{15}}\end{array}$‍

Özet

• Bölgenizi, değişkenlerden bir tanesini sabit tutmayla eşleşen dilimler boyunca keserek başlayın. Örneğin, $x$‍'i bir sabit değerde tutmak bölgenizin düşey bir şeridini verecektir.
• Bu şeritlerin sınırlarını, diğer değişkenin bir fonksiyonu olarak nasıl ifade edeceğinizi bulun. Örneğin, düşey bir şeridin üstü ve altı $x$‍'in bir fonksiyonu olarak ifade edilecektir.
• Çift katlı integralinizi oluşturduğunuzda, içteki integral bu şeritlerin biri boyunca integral almaya karşılık gelecektir ve sınırların her birisi dıştaki değişkenin bir fonksiyonu olacaktır. Eğer içteki integral sabit $x$‍ değerlerine karşılık geliyorsa, çift katlı integral bir bütün olarak böyle gözükebilir:
  $\begin{array}{r}{\int }_{x_1}^{x_2}\stackrel{\text{Bu }y\text{’nin bir foksiyonudur}}{\overbrace{({\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy)}}dx\end{array}$‍
  Buna alternatif olarak, eğer yatay sabit $y$‍ değerli dilimlerle başladıysanız, çift katlı integral böyle gözükebilir:
  $\begin{array}{r}{\int }_{y_1}^{y_2}\stackrel{\text{Bu }x\text{’in bir foksiyonudur}}{\overbrace{({\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx)}}dy\end{array}$‍