Çift Katlı İntegraller 1

Şimdiye kadar bir eğrinin altındaki alanı bulmak için integralleri kullandık. Bu konuyu iyice içinize sindirmiş olmanıza rağmen şimdi iyice sindirmek için tekrarlayalım. Eğer ihtiyaç duyuyorsanız belirli İntegral, bazı integral videolarını tekrar gözden geçirmek isteyebilirsiniz. Bir fonksiyonum olsa bu x evet y düzlemi ,bu da x aksı buda y aksı ve bir fonksiyonum var evet. Mesela, y eşittir herhangi bir fonksiyon x.. Bana bir x verin,bende size bir y vericeğim. Diyelim ki, x eşittir a ve x eşittir b arasındaki eğrinin altındaki alanını bulmak istiyorum.Altında kalan alanı bulmak istiyorum.Burası bulmak istediğim alan. Şöyle yapıyorum.Alanı birkaç sütuna bölüyorum ya da birkaç dikdörtgene. Bir tane dikdörtgen çizeyim.Bunu yapmanın farklı yolları da var ama bu sadece bir tekrar Bu dikdörtgenlerin bir tanesi.Evet, dikdörtgenin alanı taban çarpı yüksekliktir, değil mi? Dikdörtgenleri çok ince çizeceğiz ve sonsuz sayıdaki dikdörtgenleri toplayacağız.Bu yüzden son derece küçük olmaları lazım. Şimdi, bu dikdörtgenin tabanına d x diyelim. Ve böylece bu dikdörtgenin yüksekliği f x olacak değil mi?. Başka isim de verebilirsiniz ama sadece f x de diyebiliriz, değil mi? Tamam bu dikdörtgenin yüksekliğidir. Ve tüm bu dikdörtgenlerin toplamını almak isterseniz sadece birkaç tane dikdörtgen olacaktır. Bir orada, bir orada.O zaman alanı buluruz, ama sonsuz sayıda dikdörtgen varsa ve çok incelirse,bu eğrinin altındaki alanı bulabiliriz. İşte belirli integralin arkasındaki sezgi budur.Bunu şöyle yazarız bu belirli integral. X eşittir a dan x eşittir b ye kadarki alanda bulunan tüm dikdörtgenlerin toplamını alacağız. Ve topladığımız tüm bu alanlarda yüksekliği f x ve eni de x. Bu da f x ile d x'in çarpımına eşit olacak. Bu da eğrinin altındaki alana eşittir. F x , y eşittir f x , x eşittir a'dan x eşittir b'ye kadar. Ve kısa bir tekrar yapmış olduk. Umarım şimdi yüzeyin altındaki hacmi bulmak için bu yöntemi nasıl ilerlettiğimizi göreceksiniz. Öncelikle, yüzey nedir? Üç boyutlu olarak düşünürsek,yüzey, x ve y nin bir fonksiyonu şeklinde olacaktır. Yani yüzeyi şöyle yazabiliriz; Y, x in bir fonksiyonudur yazmak yerine, z, x ve y nin bir fonksiyonudur şeklinde bir yüzey yazabiliriz. Yani, tanım kümesi olarak düşünebilirsiniz. Değil mi? Tanım kümesi, bir fonksiyonun içine koyabileceğiniz değerlerin setidir evet. Değerler setidir. Sizin bildiklerinize göre tanım kümesi sadece x ekseni ya da x yönündeki reel sayılar çizgisiydi. Şimdi, tanım kümesi xy düzlemi. Herhangi bir x ve herhangi bir y verebiliriz, şuan sadece reel sayılarla ilgileniyoruz, çok da teoriye girmek istemiyorum. Sonra, başka bir sayı daha çıkacak ve grafiğini çizersek, yüksekliğimiz olucak. Ve böylece bu, bir yüzeyin yüksekliği olur. Şimdi size yüzeyin neye benzediğini göstereyim, belki hatırlamazsınız diye. Bu yüzeyin altındaki hacmi bulacağız aslında. İşte, bu bir yüzeydir. Fonksiyonunu hemen söyleyeceğim, zaten bakması zor bir şekil değildir. Gördüğünüz gibi bükülmüş bir kağıt parçasına benziyor.İlk haline çevireyim. Bu x yönü, bu da y yönü. Yükseklik de xy düzleminde nerede olduğumuzu gösteren bir fonksiyondur. Şimdi, böyle bir yüzeyin altındaki hacmi nasıl buluruz? Buradaki, öğrendiğimizden biraz daha zor görünüyor. Şuraya bir soyut yüzey çizeceğim.Eksenler çizeyim.Bu benim x eksenim.Bu y eksenim.Bu da benim z eksenim. Bu videoları bu arada önceden planlamıyorum, o yüzden , ben de ne çizeceğimi merak ediyorum.Evet neyse tamam. Bu x, bu da y, bu da z. Ve diyelim ki bir yüzeyim var. Hemen bir şey çizeceğim.Ne olduğunu bilmiyorum.Bir yüzey. Bu bizim yüzeyimiz. z eşittir x ve y nin fonksiyonu, f'e ,x,y.. Örneğin, xy düzleminde bir koordinat veriyorsunuz.Mesela, burası. Koordinatı fonksiyona yerleştiririz ve bize bir z değeri verir. Buraya çizeriz ve yüzey üzerinde bir nokta olur. Bulmak istediğimiz şey yüzeyin altındaki hacim. Ve sınırları belirlememiz lazım, değil mi? Burada, x eşittir a'dan , x eşittir b'ye kadar dedik.Yani sınırlarımız bu kadar. İlk olarak kare şeklinde bir sınır çizelim, çünkü çok daha basit olacak.Yani diyelim ki, tanım kümesi veya bölge, anım kümesi değil,bölge, Yüzeyin bu bölümündeki x ve y bölgesinin gölgesi burada olacaktır.Evet düzgün bir şekilde çizeceğiz burada. Şimdi, bunun hacmini bulmaya çalışacağız. Diyelim ki, xy düzleminde çizmek istiyoruz, xy düzlemindeki yüzeyin yansıması ya da xy düzleminin yüzeyinin gölgelerini görebilirsiniz. Sınırlar nereler? Tanım kümesinin sınırlarının nerde olduğunu nerdeyse görebilirsiniz.Diyelim ki,şuradaki ,xy düzleminde 0,0. Diyelim ki, y eşittir, bilmiyorum ki ,mesela y eşittir a. Bu şuradaki çizgi.Y eşittir a. Ve bu çizginin de x eşittir b olduğunu düşünelim. Anlamışsınızdır umarım.Bu xy düzlemi.Eğer x sabit olsaydı, böyle bir çizgi olurdu. Ve sabit bir y için de böyle bir çizgi. Evet. Ve aralarındaki alana sahip olurduk değil mi?.Aralarındaki alan. Peki, bu alanın altındaki hacmi nasıl bulabiliriz? Mesela, bu şeridin alanını bulmak istersek. Diyelim ki elimizde aslında diğer türlü yapayım bir saniye. Diyelim ki, sabit bir y var. Ve elimizde bir şerit var. Kafanızı karıştırmak istemiyorum. Sabit bir y olduğunu farz edelim. Sadece sezgiyi yani anlayışını kavramanızı istiyorum bu durumda.Şöyle diyelim.Ne olduğunu bilmiyorum.Rastgele bir y. Herhangi bir sabit y için, sadece bu eğrinin altındaki alanı bulsam? Sadece bu eğrinin altındaki alanı nasıl bulabilirim? Seçtiğim y'nin fonksiyonu olacak, değil mi? Çünkü, eğer burada y seçersem farklı bir alan çıkar. Burada bir y seçersem, yine farklı bir alan çıkar. Şimdi bu problemi yukarıdakiyle benzer olarak düşünebilirim. Daha canlı bir renk seçeyim,görebilmeniz için. Diyelim ki bu dx. Bu x'teki bir değişiklik. Ve yükseklik, elimdeki x ve seçtiğim y'nin bir fonksiyonu olacak. Yani, bu kağıdın alanı ne olur? Bir çeşit sabit y. Bu hacmin içinde bir kağıt,rahatça görebilirsiniz. Her dikdörtgenin yüksekliği için f,x,y, dedik, değil mi? Bu yüksekliktir. Hangi x ve y'yi seçtiğimize bağlı olarak değişir. Sonrada bunun integralini alırsak , x eşittir 0 ile x eşittir b ye kadar birleştirsek..neye benzer? İşte böyle olurdu. X, 0'dan b'ye kadar. Tamamdır. Aslında bu da bize y nin fonksiyonunu verir. Bu da, verilen herhangi bir y ile bu hacimdeki şeridin alanını bilmem için bana bir izlenim verir. Bana bir y verirseniz, o değere karşılık gelecek şeridin alanını söyleyebilirim. Şimdi ne yapabilirim? Verilen şeridin alanını biliyorsam, o şeridin alanıyla dy'yi çarpsam ne olur? Canlı bir renkle yapayım. Dy, y'de çok küçük bir değişiklik. Eğer bu alanla küçük bir dy'yi çarparsam, şeridin hacmini bulmuş olurum.Umarım mantıklı gelmiştir buraya kadar. Alanını aldığım o küçük kesiği üç boyutlu hale getiriyorum şimdi.Yani, bu şeridin hacmi ne olurdu? Şeridin hacmi, fonksiyon y ile dy'nin çarpımı olur ya da bu bütünün dy ile çarpımı. Yani, integral 0'dan b'ye, x y, d x in fonksiyonu olur. Bu bize mavi şeridin alanını verir. Eğer bu bütünü dy ile çarparsam,hacmi bulurum. Biraz derinlik kazanıyor. Bu karaladığım alan şeride derinlik kazandırıyor. Şimdi, derinlik kazanan şeritlerin hepsini toplarsam, yani, aşağıdaki y sınırının 0'dan a'ya kadar integralini alırsam edindiğimiz izlenime gore belki de bu yüzeyin altındaki hacmi bulacağım. Neyse, kafanızı karıştırmıyım.Ama bu yapacaklarımız hakkında bir izlenim. Ve bence siz de hacimleri hesaplamanın çok basit olduğunu anlayacaksınız.Özellikle sabit x ve y sınırlarınız varsa. Bunu da bir sonraki videoda yapacağız. Görüşmek üzere.