Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çift Katlı İntegraller 2
z=xy^2'nin altındaki hacmi bulma. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.
Video açıklaması
Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki
alanı bulmayı az çok anlamışsınızdır.Umarım çok
anlamışsınızdır. Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için
hesaplamalar yapalım. Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y
cinsinden bir fonksiyon z eşittir x y kare. Üç boyutlu uzayda bir yüzey. Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi
bulmak istiyorum. x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyük eşittir
0 ve küçük eşittir 2. Ve y büyük eşittir 0 ve küçük eşittir 1. Şimdi neye benzediğine bir bakalım ve iyice
görselleyelim. Grafiğini buraya çizdim, istersek
döndürebiliriz.Bu, z eşittir x y kare. Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor. Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak
yorumlayabilirsiniz. Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.Hacmi
daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum. Döndüreyim şöyle. Bu yüzeyin altındaki kısım. Böyle bir sığınağa benziyor sanki .Biraz daha
çevirelim. İşte burası iki yüzeyin arasındaki hacim.Bu hacmi
bulacağız. Nasıl bulacağımıza karar verelim. Grafiğin daha basit bir versiyonunu çiziyorum.
Şimdilik işimi görsün, yeter. Eksenleri çizeyim. x ekseni, y ekseni ve z ekseni x, y, z. x, 0'dan 2'ye gidiyor.Diyelim ki, burası 2. y, 0'dan 1'e gidiyor. x y düzlemindeki bu
dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz. Yüzeyi de elimden geldiğince güzel bir şekilde
çizeyim. Başka bir renkle çizeyim. Resme bakarak çizeceğim.Şurası şöyle bir şeye
benziyor.Sonra düz bir çizgisi var. Aşağıya doğru gidiyor. Evet daha iyi çizebilseydim gölgelendirme de
yapabilirdim.İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil. Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünecek. Bu
nokta bunun üstünde bulunuyor. Burası alt sol köşe, siz de görebiliyorsunuz.Şöyle
yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun. Yüzeyin üstü. Burası da yüzeyin alt kısmı.Bu alttaki hacmi
bulacağız. Esas yüzeyi size göstereyim. İşte, buranın altındaki hacim. Buranın altındaki
hacim Anladığınızı düşünüyorum. Peki, nasıl
hesaplayacağız ? Son örnekte şöyle demiştik: Rasgele bir y
seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı
bulalım. Soruyu çözerken tabi bu kadar detaylı
düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı
önemli olan. Şimdi burada gelişigüzel bir y seçelim. Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye
yani sabit y'ye göre bir f x olarak alabiliriz. Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini
buluruz. Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri. y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon
eşittir z eşittir 25 x olacak. Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak
kolaylaşacak. Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir
fonksiyon olarak yazacağız. Sabitmiş gibi
davranacağız. Ve başlıyoruz.d x'imiz var ve bu, x yönündeki
değişim değilmi? Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak. Yükseklik z, x ve y cinsinden bir
fonksiyon.İntegrali kurabiliriz. tHer dikdörtgenin alanı xy kare olacak. xy kare çarpı en, yani d x. Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak
istiyorsak, bu dilimin alanını bulmak istiyorsak x
ekseni boyunca integral alacağız. x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız. x
eşittir 0'dan 2'ye. Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını
bulmak istemiyoruz tabiki, eğrinin tamamının
alanını bulmak istiyoruz. O zaman şöyle yaparız. Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu
ifadeydi, deriz. Biraz derinlik vermek istersem ne olur?Bu alan
ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle
değil mi? Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini
oluşturmuş oluruz. Gözünüzde canlandırmanın zor olabileceğini
tahmin ediyorum.Grafiği geri getireyim. Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve
biraz derinlik kazandırdık. dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin
altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün
dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin
sonsuz toplamını alırız. Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar
integral alacağız. Eğer bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk
videoyu tekrar izleyin faydası olur.Orada biraz
daha kolay bir yüzey göstermiştim. Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız? Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru
gideceğiz. Kısmi türev almanın tam tersi gibi
düşünebilirsiniz. Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir
sabit gibi düşünüyoruz 5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz.Yani, bu,
integrali değiştirmez. Peki, xy karenin terstürevi nedir? xy karenin terstürevi x'in terstürevi, x kare bölü
2'dir y kare sabit, öyle değil mi? Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye
gerek yok. Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız. Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili
kısmı var.Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e
integral alacağız. Bunun değeri nedir? 2 koyarız.Buraya 2 koyarsak, 2 kare 2' nin karesi
bölü 2 buluruz ki bu da 4 bölü 2 demek. Yani, 2 y kare. Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare.Bu, 0 olacak.Yani
eksi 0. Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de
dıştaki integrali hesaplayacağız. 0, 1 dy. Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta.İçteki
integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor
musunuz? Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya
çalışıyorduk.Yüzeyin alanını değil, yüzeyin
altındaki alanı. Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir
eğri olarak düşünebiliriz Ve biz de o eğrinin
altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk. Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya
çıkmıştı. Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz
y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz. y'nin değerine göre, alan da değişecek. Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir
fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral
alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral. 2y karenin terstürevi nedir? 2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp. Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız. 1 küp çarpı 2 bölü 3. Bu, 2 bölü 3'e eşit. Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3.Bu da 0 eder... Yani, cevap 2 bölü 3. Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3
metreküp diyecektik. Aynen böyle. Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz.Burada yeni
bir beceri yok. Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor. Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor.