Çift Katlı İntegraller 2

Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki alanı bulmayı az çok anlamışsınızdır.Umarım çok anlamışsınızdır. Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için hesaplamalar yapalım. Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon z eşittir x y kare. Üç boyutlu uzayda bir yüzey. Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi bulmak istiyorum. x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyük eşittir 0 ve küçük eşittir 2. Ve y büyük eşittir 0 ve küçük eşittir 1. Şimdi neye benzediğine bir bakalım ve iyice görselleyelim. Grafiğini buraya çizdim, istersek döndürebiliriz.Bu, z eşittir x y kare. Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor. Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak yorumlayabilirsiniz. Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.Hacmi daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum. Döndüreyim şöyle. Bu yüzeyin altındaki kısım. Böyle bir sığınağa benziyor sanki .Biraz daha çevirelim. İşte burası iki yüzeyin arasındaki hacim.Bu hacmi bulacağız. Nasıl bulacağımıza karar verelim. Grafiğin daha basit bir versiyonunu çiziyorum. Şimdilik işimi görsün, yeter. Eksenleri çizeyim. x ekseni, y ekseni ve z ekseni x, y, z. x, 0'dan 2'ye gidiyor.Diyelim ki, burası 2. y, 0'dan 1'e gidiyor. x y düzlemindeki bu dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz. Yüzeyi de elimden geldiğince güzel bir şekilde çizeyim. Başka bir renkle çizeyim. Resme bakarak çizeceğim.Şurası şöyle bir şeye benziyor.Sonra düz bir çizgisi var. Aşağıya doğru gidiyor. Evet daha iyi çizebilseydim gölgelendirme de yapabilirdim.İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil. Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünecek. Bu nokta bunun üstünde bulunuyor. Burası alt sol köşe, siz de görebiliyorsunuz.Şöyle yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun. Yüzeyin üstü. Burası da yüzeyin alt kısmı.Bu alttaki hacmi bulacağız. Esas yüzeyi size göstereyim. İşte, buranın altındaki hacim. Buranın altındaki hacim Anladığınızı düşünüyorum. Peki, nasıl hesaplayacağız ? Son örnekte şöyle demiştik: Rasgele bir y seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı bulalım. Soruyu çözerken tabi bu kadar detaylı düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı önemli olan. Şimdi burada gelişigüzel bir y seçelim. Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye yani sabit y'ye göre bir f x olarak alabiliriz. Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini buluruz. Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri. y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon eşittir z eşittir 25 x olacak. Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak kolaylaşacak. Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir fonksiyon olarak yazacağız. Sabitmiş gibi davranacağız. Ve başlıyoruz.d x'imiz var ve bu, x yönündeki değişim değilmi? Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak. Yükseklik z, x ve y cinsinden bir fonksiyon.İntegrali kurabiliriz. tHer dikdörtgenin alanı xy kare olacak. xy kare çarpı en, yani d x. Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak istiyorsak, bu dilimin alanını bulmak istiyorsak x ekseni boyunca integral alacağız. x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız. x eşittir 0'dan 2'ye. Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını bulmak istemiyoruz tabiki, eğrinin tamamının alanını bulmak istiyoruz. O zaman şöyle yaparız. Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu ifadeydi, deriz. Biraz derinlik vermek istersem ne olur?Bu alan ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle değil mi? Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini oluşturmuş oluruz. Gözünüzde canlandırmanın zor olabileceğini tahmin ediyorum.Grafiği geri getireyim. Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve biraz derinlik kazandırdık. dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin sonsuz toplamını alırız. Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar integral alacağız. Eğer bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk videoyu tekrar izleyin faydası olur.Orada biraz daha kolay bir yüzey göstermiştim. Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız? Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru gideceğiz. Kısmi türev almanın tam tersi gibi düşünebilirsiniz. Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir sabit gibi düşünüyoruz 5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz.Yani, bu, integrali değiştirmez. Peki, xy karenin terstürevi nedir? xy karenin terstürevi x'in terstürevi, x kare bölü 2'dir y kare sabit, öyle değil mi? Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye gerek yok. Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız. Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili kısmı var.Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e integral alacağız. Bunun değeri nedir? 2 koyarız.Buraya 2 koyarsak, 2 kare 2' nin karesi bölü 2 buluruz ki bu da 4 bölü 2 demek. Yani, 2 y kare. Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare.Bu, 0 olacak.Yani eksi 0. Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de dıştaki integrali hesaplayacağız. 0, 1 dy. Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta.İçteki integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor musunuz? Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya çalışıyorduk.Yüzeyin alanını değil, yüzeyin altındaki alanı. Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir eğri olarak düşünebiliriz Ve biz de o eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk. Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya çıkmıştı. Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz. y'nin değerine göre, alan da değişecek. Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral. 2y karenin terstürevi nedir? 2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp. Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız. 1 küp çarpı 2 bölü 3. Bu, 2 bölü 3'e eşit. Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3.Bu da 0 eder... Yani, cevap 2 bölü 3. Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3 metreküp diyecektik. Aynen böyle. Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz.Burada yeni bir beceri yok. Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor. Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor.