Çift Katlı İntegraller 3

Son videoda, xy kare olan bu yüzey ile x y düzlemi arasındaki hacmi 0 2 arası x değerleri ve 0 1 arası y değerleri için bulmuştuk. Bu hacmi önce x'e göre integral alarak bulmuştuk. Herhangi bir y seçip eğrinin altındaki alanı bulalım dedik. Yani ilk olarak x'e göre, sonra y'ye göre integral aldık. Ama diğer sırayı da kullanabilirdik. Ve şimdi de diğer yöntemi yani diğer sıralamayı kullanacağız ve doğru cevabı bulduğumuza emin olacağız. Hatırlıyorsanız, önce x'e, sonra y'ye göre integral aldığımız zaman cevap 2 bölü 3 çıkmıştı. Şimdi de diğer sırayla integral almayı deneyelim ve bakalım Cevap ne çıkıyor. Problemi iki farklı şekilde çözüp cevabın aynı çıkması Sizi cevabın doğruluğu konusunda daha iyi ikna edecektir. Şimdi grafiği yeniden çizeyim. Daha iyi anlaşılsın. x ekseni y ekseni ve z ekseni. x, y, z. Bu benim xy düzlemim. y, 0'dan 1'e x, 0'dan 2'ye gidiyor. Bu x eşittir 1, bu 2. Ve bu y eşittir 1. Ve grafiğimiz. Bakalım nasıl çizeceğiz. Grafik aşağı yukarı böyle bir şey olacak. Bu tarafı şöyle ve sonra aşağıya doğru dümdüz iniyor. Ve, grafiğin altındaki hacmi bulacağız. Burası yüzeyin üst kısmı. Biz, bu yüzeyin altındaki hacmi bulacağız. Yüzeyin altını çizersek , daha koyu bir renk kullanayım. Şöyle görünecek. Burası da yüzeyin alt kısmı. Hatta biraz gölgelendireyim ki, yüzeyin altı olduğu daha iyi anlaşılsın. Evet, umarım benzemiştir. Şimdi, asıl grafiğe bir bakalım. Köşesinden tutup çevirdiğim bir sayfaya benziyor ve bu renkli alan da bulacağımız hacim. Şimdi bunu nasıl yapacağımıza bir bakalım. Önceki videoda ilk olarak x'e göre integral aldık dimi. Şimdi de ilk olarak y'ye göre integral alalım. İlk olarak x'i sabit tutacağız yani. x sabit olursa bir x değeri seçelim. Mesela şu x'i alalım. Belirli bir x için, mesela x 1 olursa, z yalnızca y kare olur öyle değil mi? Böylece alttaki alanı bulmak daha kolay olur çünkü x sabit olmadığı halde sabit gibi düşünebiliriz. sabitmiş gibi farzedebiliriz. Yani, örneğin, herhangi bir x değerinde şöyle bir eğrimiz olur, değil mi? İlk önce bu eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışabiliriz. Peki, bunu nasıl bulacağız? Dediğim gibi, buradaki fonksiyonu z eşittir xy kare olarak düşünebilirsiniz Ama x'i sabit tutuyoruz. Yani sabit olduğunu düşünüyoruz. Alanı bulmak için bir dy y değişimi, alıp yükseklikle yani x y kareyle çarparız. O zaman, xy kare ile dy'yi çarpıyoruz ve bütün bu alanı bulmak istiyorsak y eşittir 0'dan y eşittir 1'e integral alıyoruz. Tamamdır. Alanı bulduktan sonra bütün yüzeyin altındaki hacmi bulmak istiyorsak; alanla dx'i çarpıp derinlik elde ederiz. Şimdi, güzel bir renk seçelim, şöyle yeşil olsun. Burası dx. Eğer alanla dx'i çarparsak derinlik elde edeceğiz. Şimdi, daha koyu bir renk kullanayım ki kontrast oluşsun şurada. Şimdi, gördüğünüz gibi eğrinin altındaki alan ile dx'i çarptığımız zaman Bir derinlik ve hacim oluştu. Yani, çarpı dx. Sol üst köşedeki tanım kümesinin kısıtlaması çerçevesinde de xy düzlemi ve yüzey arasındaki hacmi bulmak istiyorsak x eşittir 0'dan 2'ye integral alırız. Peki, şimdi gelin bunu bir düşünelim. Şu alan, x cinsinden bir fonksiyon olmalı. x'i sabit tuttuk ancak seçtiğiniz x'e göre bu alan değişecek. Yani, bu içteki integrali y'ye göre alırsak, x cinsinden bir fonksiyon elde ederiz. Sonra, bütününü hesaplayınca da hacmi buluruz. Başlıyoruz. İlk önce iç integrali hesaplayalım. x sabit tutulacak. y karenin terstürevi nedir? y küp bölü 3. x sabit, değil mi? Bunu 1 ve 0'a göre hesaplayacağız. İntegralin dış kısmında hala x d x var. Bu neye eşit bir bakalım. y eşittir 1'i hesaplayınca 1'in küpü, yani 1. Yani x bölü 3. y 0 olduğunda, bunun tamamı 0 oluyor. Yani, bu mor ifade x bölü 3'e eşit. Ama hala elimizde 0 2 aralığındaki x cinsinden dış integral var. Seçilen x değerine göre, bu alan x bölü 3'tür. Eğer x, 1 ise alan da 1 bölü 3 olur. Şimdi de hacmi bulmak için, bütün yüzeyin altının integralini alacağız. Bütün yüzeyin altının integralini alacağız. Dediğim gibi integrali aldığımız zaman x cinsinden bir fonksiyon çıkıyor. Şimdi devam edelim. Bu bildiğimiz standart integral. x'in terstürevi nedir? x kare bölü 2. Burada 1 bölü 3 olduğu için, x kare bölü 2 çarpı 3. Yani, x kare bölü 6. Ve bunun 2 ve 0 için değerlerini bulacağız. 2'nin karesi bölü 6 eşittir 4 bölü 6. Eksi 0 bölü 6, kısaca 0. Ne oldu? Eşittir 4 bölü 6 oldu. Peki 4 bölü 6 nedir? Sadeleştirirsek 2 bölü 3. Yani, yüzeyin altındaki hacim 2 bölü 3'tür. Ve eğer önceki videoyu izlediyseniz ilk x'e sonra da y'ye göre integral aldığımız zaman çıkan sonuç ile aynı sonucu bulduk. Şahane... Bir sonraki videoda görüşmek dileğiyle.