Çift Katlı İntegraller 4

Bence bir problemi farklı yöntemler kullanarak çözebilmek gerçekten çok önemli bu yüzden de size farklı bir yöntem daha göstereceğim. Bazılarınız ilk olarak bu yöntemi öğrenmiş olabilirsiniz Ama ilk videoda kullandığım yöntem, böyle soruları çözerken aklıma Benim aklıma ilk gelen. Ama bazen, şimdi göstereceğim yöntemle çözmek çok daha yararlı olur ya da hiç fark görmeyebilirsiniz ve aynı şeyi yapıyoruz diyebilirsiniz. Neyse bu videoda çizimlerimi kaydırabilecek şekilde çözmeyi deneyeceğim. Diyelim ki 3 boyutlu ortamda bir yüzeyimiz var. Bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon. Bana burada bir koordinat verirseniz, ben de o noktada yüzeyin ne kadar yüksek olduğunu söyleyebilirim. Bu yüzeyin altındaki hacmi bulmaya çalışacağız. Başlayalım. Yüzeyin altındaki küçük bir sütunun hacmini kolayca bulabiliriz. Değil mi? Yani, noktalı çizgilerin arasındaki hacmin tamamını bulmaya çalışacağız. Görebiliyorsunuz sanırım. Değil mi? Artık tecrübeniz olduğu için gözünüzde canlandırmanız daha kolay oluyordur. Diyelim ki, burada küçük bir alan var. Buraya d A adını verelim. Bakalım bunu çizebilecek miyiz? Diyelim ki burada küçük bir alanımız var, x y düzleminde küçük bir kare. Nereden baktığınıza bağlı olarak uzunluk d x ve genişlik de d y'dir. Değil mi? Çünkü, burada y'de küçük bir değişim ve şurada da x'te küçük bir değişim bulunuyor. Ve bu küçük karenin alanı da dx çarpı dy olacak. Bu küçük alan ile yüzeyin arasındaki cismin hacmini bulmak istiyorsak bu alan ile fonksiyonu çarparız. Öyle değil mi? Çünkü, bu noktadaki yükseklik, yaklaşık olarak fonksiyon değerine eşit olacak. Bu bir kestirim olacak ve sonra da sonsuz toplam alacağız. Umarım nereye ulaşmak istediğimi şuan anlamışsınızdır. Neyse ben yine de işlemlerle devam edeyim. En azından size göstereceğim şu küçük sütunu çizeyim. Bir ucu burası Diğer ucu da burası. Burası ön ucu, burası da diğer ucu. Yani böyle bir şeklimiz var. Küçük bir sütun öyle değil mi? Yüzeyin üstü ile kesişiyor. Bu sütunun hacmini bulmak zor değil. Bu d A adını verdiğimiz alanı alacağız. Böyle de yazılabilir. dA. Küçük bir alan. Bu alan ile sütunun yüksekliğini çarpacağız. Yükseklik de, o noktadaki fonksiyon değeridir. Yani f x y. d A'yı d x çarpı d y veya d y çarpı d x olarak da yazabiliriz. Tüm değişik şekillerde yazacağım. f x y çarpı d x çarpı d y olarak da yazabiliriz. Çarpımın değişme özelliği nedeniyle, f x y çarpı d y çarpı d x olarak da yazabiliriz. Bunların hepsi denktir. Hepsi bu alan ile yüzeyin arasındaki sütunun hacmini veriyor. Eğer yüzeyin tamamının hacmini bulmak istersek, birkaç farklı şey yapabiliriz. Alt ve üst x limitleri arasındaki hacimleri toplayabiliriz. Böylece, ince bir tabaka çıkar. İnce bir tabaka elde ettik. Arka taraftaki d y nedeniyle, zaten biraz derinliğimizde var. Böylece alt x'ten üst x'e giden, d y'ye yönünde gidip geri dönen bir şeklin hacmini bulmuş oluruz. Bütün d x'leri toplamak istersek peki nasıl bir ifade kullanıcaz? İlk önce x'e göre topladığımıza göre, bu ifadeyi kullanmak doğru olur, değil mi? Aslında buraya yazabiliriz ama kafa karıştırabilir. x'e göre toplam alsak da burada önce d y yazılmış. Aslında yanlış değil, ama x'e göre mi y'ye göre mi toplam aldığımız konusunda bir belirsizlik yaratabilir. Ama burada problem çıkmaz. şimdi bütün dx'leri toplayalım. x'e göre toplam alacağız. Normalde sadece sayıları yazardım, ama şimdi alt sınır a ve üst sınır b yazacağım. Derinliği olan bir tabaka gözünüzde canlanıyordur, diye ümit ediyorum. İşte bu bize bu tabakanın hacmini verecek. Tabaka x eksenine paralel öyle değil mi? Bu tabakayı şuraya da çizmeye çalışacağım. Ve bu tabakayı bulduktan sonra integralini alırız d y'leri toplarız, değil mi? Çünkü bu genişlik hala d y. Buradaki bütün d y'lerin toplamını alıp tüm cismin hacmini bulabiliriz. Bu toplamı aldıktan sonra, buranın da toplamını alabiliriz. y'nin alt sınırı olan c'den üst sınırı olan d'ye kadar bu toplamı alırız. Bunu hesapladığımız zaman da bu cismin hacmini ya da yüzeyin altındaki hacmi bulucaz. Diğer şekilde de yapabilirdik. Biliyorum, biraz karışık geliyor ama söylediklerimi umarım anlıyorsunuzdur. İlk baştaki d A'yı kullanalım. d x'leri toplamak yerine, önce d y'leri toplayalım. İlk olarak y doğrultusunda toplayacağız. Yani, y eksenine paralel bir tabaka elde edeceğiz. Tabakanın üst tarafı yaklaşık olarak böyle bir şey olacak. d y'lerin toplamını buluyorsak, y'ye göre y'ye göre integral alırız. Yani, alt sınır y eşittir c. üst sınır y'de eşittir d olur. Böylece tabakanın derinliği d x olur ve sonra da bu d x'lerin toplamını alırız. Bu tabakayı oluşturduktan sonra, x'lerin toplamını almak istersem x'in alt sınırı olan a'dan üst sınırı olan b'ye bu sonsuz incelikteki sütunların veya tabakaların sonsuz toplamını alabilirim. Ve bu şekilde de cismin hacmini bulmuş olurum. Burada size integrali iki değişik sırada alabileceğimi göstermiş oldum. Bu küçük kareye d A da diyebiliriz bu notasyonu bir kısaltma olarak özellikle fizik kitaplarında görürsünüz. x y düzlemi tanım kümemiz ve biz bu tanım kümesi üzerinde bu integrali alıyoruz. Çift katlı integral aldığımızda, buranın tanım kümesinin iki boyutlu olduğunu belirtmiş oluyoruz. Ve f x y çarpı d A'nın integralini alıyoruz. Size bu notasyonu göstermemin sebebi, fizik kitaplarında hep rastlanan bir ifade şekli olmasıdır. Böyle kısaltmaların iyi bir şey olmadığını düşünüyorum. Belki daha pratik bir gösterim ama hesaplamasını bilmediğim bir şeye rastladığımda daha çok kafam karışır. Fizik kitabında göreceğiniz şekliyle bu ifadeyi size göstermek istedim. Yani bu şununla ve bununla aynı şey. d A, d x çarpı d y veya d y çarpı d x olarak da yazılabilir. Bu çift katlı integrali hesaplamak, bu karelerin toplamını almakla aynı şey. Biz çok organize bir çözüm yolu bulduk, öyle değil mi? Önce x yönünde gittik, sonra da y yönünde toplam aldık ve tüm hacmi bulduk. İşlemleri diğer sırayla da yapabilirdik. Çift katlı integral aldığımızda, iki boyutlu bir tanım kümesi üzerinden hesaplama yaptığımız için d A'ları nasıl toplayacağımız konusunda belirsizlik yaşayabiliriz. Fizik kitaplarında özellikle böyle bırakırlar, çünkü Kartezyen koordinatları x ve y, kullanmak da şart değil. Kutupsal koordinat kullanılabilir farklı bir sürü yöntem uygulanabilir. Size, yüzeyin altındaki hacmi başka bir şekilde düşünebileceğinizi göstermek istedim. Ve bunlar, fizik kitabında göreceğiniz ifadeyle aynı. Bazen tanım kümesini bile tanımlamazlar, sadece yüzey üzerinden sorarlar. Bu integralleri daha sonra yapacağız. Buradaki yüzey kolaydı, düz bir düzlemdi. Bazen eğri de olabilir. Evet neyse çok uzattık , bir sonraki videoda görüşmek dileğiyle.