Çift Katlı İntegraller 5

Şimdiye kadar yaptığımız çift katlı integrallerde, x ve y'nin sınırları sabitti. Şimdi x ve y'nin sınırları değişkenli olduğu zaman ne yapacağımızı görelim. Diyelim ki, yine bir yüzeyimiz var. Şimdi bu yüzeyi, figürsel olarak çiziyorum. Aslında, sorumuz z ile ilgili, baştan beri yaptığımız sorularda olduğu gibi. Burada integral almaktan ziyade, bu soruları nasıl görsellememiz ve yorumlamamız gerektiğini size göstermeye çalışıyorum. Çift katlı integral sorularındaki en zor şey, sınırları bulmaktır. Bunu bulduktan sonra integrali almak gayet kolaydır. Tek değişkenli integralden daha zor değildir. Şimdi, yüzeyimizin denklemi, z eşittir x y kare. Eksenleri çizeyim. Bu, x ekseni. Bu, z ekseni. Bu da, y ekseni. x,y ve z. Birkaç video önce, bu grafiğin neye benzediğini görmüştünüz. Grafik programını çalıştırmıştım ve grafiği döndürmüştük. Şimdi bunu tam tamına çizmiyorum; herhangi bir yüzeymiş gibi çiziyorum. Çünkü, burada amacım integral limitlerini belirlemek. Yüzeyi çizmeden önce hemen sınırı çizeyim. Bu soruyu ilk çözdüğümüzde, x 0'dan 2'ye, y 0'dan 1'e gider demiştik. Sonra da bu tanım kümesi üzerinden hacmi bulmuştuk. Şimdi başka bir şey yapalım. x, 0'dan 1'e gidiyor, diyelim. Ve diyelim ki, yüzeyin altında bulacağımız hacim, sabit y değerleri yerine değişkenli y sınırları arasında. Burada çizdiğim her şey x y düzlemi üzerinde. Ve, bu eğriyi iki şekilde değerlendirebiliriz: y'nin x cinsinden bir fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz y eşittir x kare. Veya x eşittir karekök y, diyebiliriz. Birinci çeyrek düzlemde olduğumuz için artı eksi yazmamıza gerek yok. Şimdi bu alan üzerinden hacmi bulacağız. Burayı tarayalım ki, tam olarak neyi bulacağımızı saptayalım. Bu alanın üzerinde hacmi hesaplıyoruz. Yani, bu sınırlandırılmış tanım kümemiz. Eğer x 0'dan 1'e giderse, bu noktanın koordinatları nedir? 1'e, 1, değil mi? 1 eşittir 1 kare; 1 eşittir, karekök Yani, bu noktada y, 1'e eşit. Şimdi, bu yüzeyle ilgili hacmi size anlatmak için, temsili bir grafik çiziyorum. Eğer bu herhangi bir yüzey ise, burası üstü. Bu doğru z yönünde düşey bir doğru. Aslında, bunu eğri olarak da çizebilirdim. O zaman şu arkadaki eğriyi, bir duvar gibi düşünebilirim. Duvarın şu yanını boyayayım da, neye benzediğini daha iyi görün. Sanıyorum, anladınız. Şunu biraz koyultalım; bu iş, birçok açıdan matematikten çok bir sanat çalışmasına benziyor. Evet, sınır şu şekilde. Üst kısım düz değil, bir eğri yüzey de olabilir. Eğri bir yüzey olduğunu düşünelim. Örneğimizdeki yüzeyin, z eşittir x y kare olduğunu biliyoruz. Şimdi, bunun altındaki hacmi bulmaya çalışıyoruz. Ve nasıl bulacağız? Düşünelim. Size biraz önce verdiğim fikri kullanabiliriz. Bir d a alırız, şu küçük kareyi bu küçük alan eşittir d x çarpı d y. Ondan sonra, bu alanları her seferinde f fonksiyonu ile çarpmam lazım. En son olarak da bu çarpımları toplayacağım. Şimdi, ilk toplamı x veya y yönünde alabiliriz. Toplamı almadan önce sınırları anladığınızdan emin olun, çünkü işin zor kısmı bu. x y düzlemimi çizeyim. Şöyle çevireyim. Yalnızca x y düzlemini çiziyorum. Çünkü, burada esas olan, integral limitlerini bulmak. y eşittir x kare eğrisi, şöyle bir şeye benziyor. Bu noktada, y 1'e eşit. Bu y ekseni, bu x ekseni, bu noktada x 1'e eşit. Bu x değil, bu 1. x burada. Neyse, bu dx çarpı dy'yi, yani bu d a 'yı tanım kümesi üzerinde nasıl toplayacağımızı bulmaya çalışıyoruz.. Hadi çizelim. Şimdi görsel olarak temsil etmeye çalışalım, çünkü sorunun zor kısmı bu. Analiz öğretmenlerinin çoğu, integrali kurmanızı ister ve sorunun geri kalanının kolay olduğunu söyler. Sorunun geri kalanı Analiz'in 1. düzeyidir. Şimdi, bu alan şuradaki alanla aynı. Tabanı d x, ve yüksekliği d y. Şimdi, buna tepeden baktığımızı hayal edelim. Bu yüzey, şuralarda bir yerde ve buna üstten bakınca, bu alanı görüyoruz. Diyelim ki x'e göre önce x'e göre integral almak istiyoruz. Bu sütunun üstündeki hacmi istiyorsak, öncelikle, bu alan dx çarpı dy öyle değil mi? O zaman, sütunun üstündeki hacmi yazalım. Fonksiyon değeri yani x y kare çarpı dx çarpı dy olacak. Bu ifade, şu alanın veya sütunun üstündeki hacmi veriyor. Diyelim ki önce x yönünde toplam alıyoruz. Yani, bu d x'leri topluyoruz. yönünde toplam alacağız. Size sorum şu: İntegralimin alt sınırı nedir? O zaman, y'yi sabit tutuyoruz, öyle değil mi? Sol aşağı doğru gidersek, şuradaki eğriye rastlarız. İntegralin alt sınırı, şu eğri. O zaman, x'i y'ye göre bir fonksiyon olarak yazarsam, bu eğrinin denklemi nedir? Bu eğri y eşittir x kare veya x eşittir karekök y. Eğer sabit bir y'ye göre, x cinsinden integral alırsak alt limitimiz x eşittir karekök y. İlginç bir durum, değil mi? Sanıyorum, ilk defa, limitinde değişken olan bir integral görüyorsunuz. Topladığımız satır açısından, üst limit kolay. Üst limitimiz, x eşittir 1. Üst limit, x eşittir x eşittir 1 ve alt limit, x eşittir karekök y. Çünkü arkaya gittikçe, şu eğriye rastlıyoruz. Eğrimiz neydi? x eşittir karekök y. Çünkü hangi y'yi aldığımızı bilmiyoruz. Hacmi bulduktan sonra yani şu dikdörtgenin üzerindeki hacim, dy'leri toplayacağız. Unutmayın ki, şuraya çizdiğim şeyin üstünde hacim var. Yalnızca, xy düzlemindeki kısmı çiziyorum. Şimdi, yazdığım bu ifade, bu dikdörtgenin üstündeki hacmi hesaplatıyor. Eğer cismin tüm hacmini bulmak isterseniz, y ekseni boyunca integralini almanız gerekir. Yani dy'leri toplamamız gerekir. Burada dy var, dx değil. Bu dikdörtgenleri toplamak istersek, y ekseni üzerindeki alt sınırımız nedir? Alt sınırımız, y eşittir 0. Peki, üst sınırımız nedir? y eşittir 1. İşte böyle. Şimdi bu integrali tekrardan yazayım. Çİft katlı integralimin x sınırı x eşittir karekök y'den, x eşittir 1'e gidiyor. İntegralin ifadesi, x y kare dx, dy. y sınırı da 0'dan 1'e gidiyor. Evet, bu arada süremin bittiğini farkettim. Bir sonraki videoda, bunun değerini bulacağız. Ve bu integrali ters yönde alacağız.