If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç boyutta akı örneği

Üç boyutta akının ne olduğunu öğrendikten sonra, burada bir örnekle alıştırma yapma şansını bulacaksınız.

Adımlar

Bir önceki makalede, akan bir sıvının akısının bu yüzeyden birim zamanda geçen sıvının bir ölçümü olduğundan bahsetmiştim. Bu sıvı akışı bir start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 vektör alanıyla ifade edilirse, ve start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyi ifade ederse, akı aşağıdaki yüzey integraliyle hesaplanır:
SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f vektör değerli fonksiyonu, start color #bc2612, S, end color #bc2612'ye birim normal vektörü verir. Kapalı yüzeyler için, genelde dışarı bakan birim normal vektörü tercih edersiniz.
Pratikte, bu integrali çözmek için gereken çok fazladır.
  • Adım 1: İntegrali start color #bc2612, S, end color #bc2612 cinsinden bir parametrizasyon olarak, herhangi bir yüzey integrali için yaptığınız gibi, yeniden yazın.
  • Adım 2: Birim normal vektör start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f için olan ifadeyi yerine koyalım. Birim normal vektörü hesaplamadan bunu yapmak en iyisidir, çünkü bunun bir kısmı yüzey integralinin bir terimiyle sadeleşir.
  • Adım 3: İntegralin içindeki terimleri sadeleştirin.
  • Adım 4: Çift katlı integralin değerini bulun.

Problem

Aşağıdaki denklemle tanımlanan paraboloid grafiğini düşünün:
z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
start color #bc2612, S, end color #bc2612 bu paraboloidin x, y-düzlemi üstünde duran kısmı olsun:
Vay canına, bu kastettiğimden çok daha fazla bir nükleer savaş başlığına benzedi. Ah iyi, en azından hangi yüzeyden bahsettiğimiz belli.
Akı integralleri için, bu yüzeyin yönlendirilmesi de belirtmeliyiz. Dışa doğru normal vektörlerle yöneltelim, yani start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top ve start bold text, k, end bold text, with, hat, on top'nin paraboloidin altındaki bölgeden dışarı çıktığını düşünelim.
Şimdi, üç boyutlu uzayda akan bir sıvı olduğunu hayal edin. Diyelim ki, bu sıvı aşağıdaki fonksiyonla tanımlanan vektör alanı boyunca akıyor:
F(x,y,z)=[xyxzyz]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] \end{aligned}
Önemli soru: start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyinden akan sıvının akısı nedir?

Adım 1: Parametrizasyon kullanarak akı integralini yeniden yazın

Şu anda, start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyi z'de bir kısıtlamaya tabi bir grafik olarak tanımlanmıştır.
Grafik: z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
Kısıtlama: z, is greater than or equal to, 0
Yüzey integrallerini hesaplamak için, bu yüzeyi parametrik olarak tanımlamamız gerekir. Neyse ki, bu dönüşüm zor değildir. Temelde bir parametrenin x görevini, ve diğer parametrenin y rolünü oynamasını istersiniz:
v(t,s)=[ts4t2s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
Bu fonksiyonu yazdıktan sonra, start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyimizle eşleşen t, s düzlemi bölgesini belirtmeniz gerekir. Bu, z, is greater than or equal to, 0 kısıtlamasını t ve s ile ilgili bir kısıtlamaya çevirmenizi gerektirir.
Kavram kontrolü: t ve s için, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis 'nin z bileşeninin 0'a eşit veya büyük olmasını sağlayacak kısıtlama nedir? Cevabınızı bir eşitsizlik olarak yazın.

Bu bölge yarıçapı 2 olan bir disk olduğundan, bunu D, start subscript, 2, end subscript olarak adlandıralım.
Daha sonrasında, bunu t ve s sınırları olarak tamamen açacağız, ama integralin içindekilerle uğraşırken sembolik bir gösterim kullanmak işe yarar.
Akı yüzey integralini parametre uzayında çift katlı integral olarak yazarsak, şunu elde ederiz:
SFn^dΣ=D2Du¨z parametre uzayındaçift katlı integral ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣F(v(t,s))n^(v(t,s))  vt×vsdAdΣ\begin{aligned} &\quad \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} \\\\ &= \underbrace{ \iint_{D_2} }_{\substack{ \text{Düz parametre uzayında}\\ \text{çift katlı integral} }} \!\!\!\!\!\!\! \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t, s)) \; \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA }_{\redE{d\Sigma}} \end{aligned}
Parametre uzayındaki gift katlı integrale geçiş tanıdık gelmiyorsa, yüzey integralleriyle ilgili makaleyi, veya yüzey alanı ile ilgili makaleyi tekrar etmeyi deneyin.

Adım 2: Birim normal vektör ifadesini girin

Önceki bir makalede, bir yüzeye birim normal vektörü start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis parametrizasyonuna göre bulabileceğinizi anlatmıştım. Temelde, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis'nin kısmi türevlerinin vektör çarpımını normalize edersiniz (söylemesi amma uzun sürdü):
vt×vsvt×vs\begin{aligned} \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \end{aligned}
Şimdi, kısmi türevlerin vektör çarpımlarının büyüklüğünü hesaplamayı sevenlere sesleniyorum, bir anlığına durun. Bunu akı integraline koyduğumuzda, büyüklük terimi sadeleşir:
D2F(v(t,s))n^(v(t,s))vt×vsdA=D2F(v(t,s))(vt×vsvt×vs)vt×vsdA=D2F(v(t,s))(vt×vsvt×vs)vt×vsdA=D2F(v(t,s))(vt×vs)dA\begin{aligned} &\quad \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t, s)) \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \right)} \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{\cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| }} \right)} \cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}

Adım 3: İntegrali açın

Çapraz çarpım terimini bularak başlayalım:
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction
Referans olması için, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis'yi şu şekilde tanımladım:
v(t,s)=[ts4t2s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
Şimdi her kısmi türevi hesaplayın ve bunların çapraz çarpımını bulun.
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Kavram kontrolü: Az önce start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction için bulduğunuz ifade, dışarı bakan mı yoksa içeri bakan mı normal vektör verir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Sonra, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis terimini sadece t ve s cinsinden yazın. Referans olması için, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ve start bold text, v, end bold text, with, vector, on top şöyle tanımlanmıştır:
F(x,y,z)=[xyxzyz]v(t,s)=[ts4t2s2]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] & & \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Şahane! Şimdi integralimiz için gereken bütün parçalara sahibiz.
D2F(v(t,s))(vt×vs)dA\begin{aligned} \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}
Önceki iki cevabın iç çarpımını alarak, bu integralin içini sadece t ve s parametrelerinin cinsinden yazın. Cevabınızı elinizden geldiğinde sadeleştirirseniz, bir sonraki bölümdeki integral hesaplanmasında yardımcı olur.
\iint, start subscript, D, start subscript, 2, end subscript, end subscript
d, A

Adım 4: İntegrali hesaplayın

Şu ana radar, çift katlı integralin altında minik bir D, start subscript, 2, end subscript yazarak, integral aldığımız t, s-düzlemindeki bölgenin yarıçapı 2 olan bir disk olduğunu belirtiyoruz. Şimdi integrali hesaplamaya başladığımızda, bunu t ve s parametreleri için somut sınırlar şeklinde ifade etmemiz gerektiğini görebiliriz.
Bunu yapmak için, D, start subscript, 2, end subscript'nin bir resmini çizin, ve düşey şeritler halinde kestiğinizi düşünün:
t değeri minus, 2'den 2'ye değişir. s'nin aralığı t değerine bağlıdır, bunu Pisagor teoremini kullanarak bulabilirsiniz.
Şemadan, s'nin minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root'den plus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root'ye değiştiğini görüyorsunuz. Bu sınırları çift katlı integralimize uyguladığımızda, bunu elde ediyoruz:
024t2+4t2s(2t2+(2t+1)(4t2s2))dsdt\begin{aligned} \int_0^2 \int_{-\sqrt{4-t^2}}^{+\sqrt{4-t^2}} s\Big(2t^2+(2t+1)(4-t^2-s^2)\Big) \,ds \,dt \end{aligned}
Buradan sonra, bu problemi bitirebileceğiniz birkaç yol var
  1. Acı vererek: Bu çift katlı integrali tamamen elle hesaplayın (ah!).
  2. Pragmatik olarak: Bunu bir hesap makinesine veya Wolfram Alpha gibi bir bilgisayar cebir aracına koyun.
  3. Zekice: İntegralin içindeki ifadenin s'ye göre tek bir fonksiyon olduğunun farkına varabilirsiniz. s'yi dağıtın, ve terimlerin her birinde ya s ya da s, cubed olduğunu farkedin. Buna göre, iç integralde minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root ile 0 arasındaki kısım 0 ile square root of, 4, minus, t, squared, end square root arasındaki kısımla sadeleşir. Böylece, integralin tamamı 0 olur.

Özet

Bir akı integralinin ömri bunun gibi gözükerek başlar:
SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Bunu çözmek için aşağıdaki dört adım izlenmelidir:
  • Adım 1: Yüzeyi parametrize edin, ve bu yüzey integralini parametre uzayında çift katlı bir integrale çevirin.
  • Adım 2: Birim normal vektör formulünü uygulayın.
  • Adım 3: İntegralin içindeki ifadeyi sadeleştirin, bu ifadede iki vektör değerli kısmi türevi, bir vektör çarpımını, ve bir iç çarpımı içerir.
  • Adım 4: Çift katlı integralin değerini bulun (pratikte, buradan sonrasını bir bilgisayar halledebilir).