If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç boyutta akı örneği

Üç boyutta akının ne olduğunu öğrendikten sonra, burada bir örnekle alıştırma yapma şansını bulacaksınız.

Adımlar

Bir önceki makalede, akan bir sıvının akısının bu yüzeyden birim zamanda geçen sıvının bir ölçümü olduğundan bahsetmiştim. Bu sıvı akışı bir F(x,y,z) vektör alanıyla ifade edilirse, ve S yüzeyi ifade ederse, akı aşağıdaki yüzey integraliyle hesaplanır:
SFn^dΣ
n^(x,y,z) vektör değerli fonksiyonu, S'ye birim normal vektörü verir. Kapalı yüzeyler için, genelde dışarı bakan birim normal vektörü tercih edersiniz.
Pratikte, bu integrali çözmek için gereken çok fazladır.
  • Adım 1: İntegrali S cinsinden bir parametrizasyon olarak, herhangi bir yüzey integrali için yaptığınız gibi, yeniden yazın.
  • Adım 2: Birim normal vektör n^(x,y,z) için olan ifadeyi yerine koyalım. Birim normal vektörü hesaplamadan bunu yapmak en iyisidir, çünkü bunun bir kısmı yüzey integralinin bir terimiyle sadeleşir.
  • Adım 3: İntegralin içindeki terimleri sadeleştirin.
  • Adım 4: Çift katlı integralin değerini bulun.

Problem

Aşağıdaki denklemle tanımlanan paraboloid grafiğini düşünün:
z=4x2y2
S bu paraboloidin xy-düzlemi üstünde duran kısmı olsun:
Vay canına, bu kastettiğimden çok daha fazla bir nükleer savaş başlığına benzedi. Ah iyi, en azından hangi yüzeyden bahsettiğimiz belli.
Akı integralleri için, bu yüzeyin yönlendirilmesi de belirtmeliyiz. Dışa doğru normal vektörlerle yöneltelim, yani i^, j^ ve k^'nin paraboloidin altındaki bölgeden dışarı çıktığını düşünelim.
Şimdi, üç boyutlu uzayda akan bir sıvı olduğunu hayal edin. Diyelim ki, bu sıvı aşağıdaki fonksiyonla tanımlanan vektör alanı boyunca akıyor:
F(x,y,z)=[xyxzyz]
Önemli soru: S yüzeyinden akan sıvının akısı nedir?

Adım 1: Parametrizasyon kullanarak akı integralini yeniden yazın

Şu anda, S yüzeyi z'de bir kısıtlamaya tabi bir grafik olarak tanımlanmıştır.
Grafik: z=4x2y2
Kısıtlama: z0
Yüzey integrallerini hesaplamak için, bu yüzeyi parametrik olarak tanımlamamız gerekir. Neyse ki, bu dönüşüm zor değildir. Temelde bir parametrenin x görevini, ve diğer parametrenin y rolünü oynamasını istersiniz:
v(t,s)=[ts4t2s2]
Bu fonksiyonu yazdıktan sonra, S yüzeyimizle eşleşen ts düzlemi bölgesini belirtmeniz gerekir. Bu, z0 kısıtlamasını t ve s ile ilgili bir kısıtlamaya çevirmenizi gerektirir.
Kavram kontrolü: t ve s için, v(t,s) 'nin z bileşeninin 0'a eşit veya büyük olmasını sağlayacak kısıtlama nedir? Cevabınızı bir eşitsizlik olarak yazın.

Bu bölge yarıçapı 2 olan bir disk olduğundan, bunu D2 olarak adlandıralım.
Daha sonrasında, bunu t ve s sınırları olarak tamamen açacağız, ama integralin içindekilerle uğraşırken sembolik bir gösterim kullanmak işe yarar.
Akı yüzey integralini parametre uzayında çift katlı integral olarak yazarsak, şunu elde ederiz:
SFn^dΣ=D2Düz parametre uzayındaçift katlı integralF(v(t,s))n^(v(t,s))|vt×vs|dAdΣ
Parametre uzayındaki gift katlı integrale geçiş tanıdık gelmiyorsa, yüzey integralleriyle ilgili makaleyi, veya yüzey alanı ile ilgili makaleyi tekrar etmeyi deneyin.

Adım 2: Birim normal vektör ifadesini girin

Önceki bir makalede, bir yüzeye birim normal vektörü v(t,s) parametrizasyonuna göre bulabileceğinizi anlatmıştım. Temelde, v(t,s)'nin kısmi türevlerinin vektör çarpımını normalize edersiniz (söylemesi amma uzun sürdü):
vt×vs|vt×vs|
Şimdi, kısmi türevlerin vektör çarpımlarının büyüklüğünü hesaplamayı sevenlere sesleniyorum, bir anlığına durun. Bunu akı integraline koyduğumuzda, büyüklük terimi sadeleşir:
D2F(v(t,s))n^(v(t,s))|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs|vt×vs|)|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs|vt×vs|)|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs)dA

Adım 3: İntegrali açın

Çapraz çarpım terimini bularak başlayalım:
vt×vs
Referans olması için, v(t,s)'yi şu şekilde tanımladım:
v(t,s)=[ts4t2s2]
Şimdi her kısmi türevi hesaplayın ve bunların çapraz çarpımını bulun.
vt=
i^+
j^+
k^

vs=
i^+
j^+
k^

vt×vs=
i^+
j^+
k^

Kavram kontrolü: Az önce vt×vs için bulduğunuz ifade, dışarı bakan mı yoksa içeri bakan mı normal vektör verir?
1 cevap seçin:

Sonra, F(v(t,s)) terimini sadece t ve s cinsinden yazın. Referans olması için, F ve v şöyle tanımlanmıştır:
F(x,y,z)=[xyxzyz]v(t,s)=[ts4t2s2]
F(v(t,s))=
i^+
j^+
k^

Şahane! Şimdi integralimiz için gereken bütün parçalara sahibiz.
D2F(v(t,s))(vt×vs)dA
Önceki iki cevabın iç çarpımını alarak, bu integralin içini sadece t ve s parametrelerinin cinsinden yazın. Cevabınızı elinizden geldiğinde sadeleştirirseniz, bir sonraki bölümdeki integral hesaplanmasında yardımcı olur.
D2
dA

Adım 4: İntegrali hesaplayın

Şu ana radar, çift katlı integralin altında minik bir D2 yazarak, integral aldığımız ts-düzlemindeki bölgenin yarıçapı 2 olan bir disk olduğunu belirtiyoruz. Şimdi integrali hesaplamaya başladığımızda, bunu t ve s parametreleri için somut sınırlar şeklinde ifade etmemiz gerektiğini görebiliriz.
Bunu yapmak için, D2'nin bir resmini çizin, ve düşey şeritler halinde kestiğinizi düşünün:
t değeri 2'den 2'ye değişir. s'nin aralığı t değerine bağlıdır, bunu Pisagor teoremini kullanarak bulabilirsiniz.
Şemadan, s'nin 4t2'den +4t2'ye değiştiğini görüyorsunuz. Bu sınırları çift katlı integralimize uyguladığımızda, bunu elde ediyoruz:
024t2+4t2s(2t2+(2t+1)(4t2s2))dsdt
Buradan sonra, bu problemi bitirebileceğiniz birkaç yol var
  1. Acı vererek: Bu çift katlı integrali tamamen elle hesaplayın (ah!).
  2. Pragmatik olarak: Bunu bir hesap makinesine veya Wolfram Alpha gibi bir bilgisayar cebir aracına koyun.
  3. Zekice: İntegralin içindeki ifadenin s'ye göre tek bir fonksiyon olduğunun farkına varabilirsiniz. s'yi dağıtın, ve terimlerin her birinde ya s ya da s3 olduğunu farkedin. Buna göre, iç integralde 4t2 ile 0 arasındaki kısım 0 ile 4t2 arasındaki kısımla sadeleşir. Böylece, integralin tamamı 0 olur.

Özet

Bir akı integralinin ömri bunun gibi gözükerek başlar:
SFn^dΣ
Bunu çözmek için aşağıdaki dört adım izlenmelidir:
  • Adım 1: Yüzeyi parametrize edin, ve bu yüzey integralini parametre uzayında çift katlı bir integrale çevirin.
  • Adım 2: Birim normal vektör formulünü uygulayın.
  • Adım 3: İntegralin içindeki ifadeyi sadeleştirin, bu ifadede iki vektör değerli kısmi türevi, bir vektör çarpımını, ve bir iç çarpımı içerir.
  • Adım 4: Çift katlı integralin değerini bulun (pratikte, buradan sonrasını bir bilgisayar halledebilir).

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.