Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 13: Akı (Flux) 3D (Makaleler)

Üç boyutta akı

Google Classroom

Bir vektör alanındaki yüzey alanı olarak da bilinen üç boyutlu akı, bir sıvının bir yüzeyden ne kadar aktığını ölçer.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama benzetme için yararlıdır:

İki boyutlu akı

Neye ulaşıyoruz

Üç boyutlu uzayda akan bir sıvınız, ve bu uzayda duran bir yüzey varsa, bu yüzeydeki akı sıvının aktığı hızın ölçümüdür.
Akı aşağıdaki yüzey integrali ile hesaplanabilir:
$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍
burada
- $S$ ‍, akıyı ölçtüğümüz alanı belirtir.
- $F (x, y, z)$ ‍ bir sıvı akışını temsil ettiği düşünülen, üç boyutlu bir vektör alanıdır.
- $\hat{n} (x, y, z)$ ‍, $S$ ‍'deki her noktada bir birim normal vektör veren bir fonksiyondur.
- $d Σ$ ‍, $S$ ‍ yüzeyindeki küçük bir alan birimi olarak düşünülebilir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bir kütlede sıvı kütlesini değiştirme

F (x, y, z)

vektör değerli fonksiyonuyla temsil edilen üç boyutlu bir vektör alanını düşünün.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Vektör alanlarıyla yapmayı sevdiğimiz gibi, bunun üç boyutlu bir sıvı akışını tanımladığını gözünüzde canlandırın. Bu konuda, kısa bir an için akışın neye benzediğini hayal etmek faydalıdır. Belki sıvı parçacıklarının her bir vektörün kuyruğundan ucuna çok kısa bir

Δ t

zamanında hareket ettiğini hayal edin.

Şimdi yüzeyinden sıvı geçen üç boyutlu bir kütleyi düşünün.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu kütlenin yüzeyini

S

olarak adlandıralım.

Önemli soru: $F (x, y, z)$ ‍ olarak tanımlanan vektör alanı boyunca aktıkça bu kütleden çıkan/giren sıvı ne kadardır?

Kesin irmak gerekirse, bunu kitleye giren/çıkan kütle cinsinden fade edebiliriz. Basitlik açısından (hepimiz basitliği severiz, öyle değil mi), sıvının yoğunluğunun

1 kg / m^{3}

olduğunu varsayıyoruz. Anahtar sorumuzu daha ölçülebilir bir şekilde ifade ederiz:

Daha zor fade etme: Kitlenin içinde kütle değişim hızının zamana göre fonksiyonu nedir? Her bir sıvı parçacığının hızının $F (x, y, z)$ ‍ vektörüyle verildiğini varsayın, burada $(x, y, z)$ ‍ parçacığın koordinatlarıdır. Ayrıca, sıvının yüzey boyunca $1 kg / m^{3}$ ‍ düz yoğunluğu olduğunu varsayın.

Yüzeyin her minik parçasından akma

Bu problemi çözmenin özü şöyledir:

Adım 1: $S$ ‍ yüzeyini birçok mini parçaya ayırın.
Adım 2: Her bir parçada ne kadar sıvı çıktığını/girdiğini görün.
Adım 3: Bu miktarların hepsini bir yüzey integraliyle toplayın.

Adım 1: Yüzeyi ayırın

Prensip olarak, her bir parçayı sonsuz küçüklükte olarak düşünmeniz gerekir. Sonuçta, integrallerde bunu yapmayı severiz. Yüzeylerle kullandığımız yaygın bir gösterim ise, bu parçaların birinin sonsuz küçüklükteki alanını "

d Σ

" olarak ifade etmektir.

Ayrıca, her bir parça çok küçük olduğundan, ve

S

yüzeyini düzgün olarak düşündüğümüz için, bu parçaları düz olarak düşünebilirsiniz.

Adım 2: Her parçadaki sıvı akışını ölçün

Bu parçaların her biri gerçekten minik olduğundan, içinden geçen tüm sıvı, aynı hız ve yönde hareket edecektir. Özellikle, bu parçada herhangi bir

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

noktası seçerseniz, bundan geçen sıvı parçacıklarının hız vektörü

\approx F (x_{0}, y_{0}, z_{0})

olur.

Buna göre, üzerinden kısa bir

Δ t

zamanında geçen sıvı, bir tür prizma oluşturur:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu parçacıkların her biri için yer değiştirme vektörü, hız çarpı zamanda değişim olur:

$\underset{Prizmanın eğik ayrıtını tanımlayan vektör}{\underset{⏟}{F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t}}$ ‍

Şimdi

\hat{n}

minik alan parçamıza birim normal vektörü temsil etsin:

Kavram kontrolü:

Δ t

zamanında küçük parçadan çıkan sıvı hacmi nedir? (Küçük parçanın alanı

d Σ

'dır).

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍
(B şıkkı)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍

[Cevap]

Dikkat ederseniz, sıvının yoğunluğunu

1

olarak varsaydığımız için, bu ifade aynı zamanda minik parçadan çıkan sıvı kütlesini verir. Zamandaki

Δ t

değişimine bölerseniz, minik alan parçasından kütlenin geçme hızını elde edebilirsiniz:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Birim zamanda kütle akışı \end{array}$ ‍

Not: Yönelim önemlidir

Dikkat ederseniz, tees yöndeki birim normal vektörü seçseydik, bu

(F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ)

ifadesinin işareti ters dönerdi.

Kapalı yüzeylerde, kural dışarı doğru birim normal vektör seçmektir. Bunun anlamı, akış hızının ifadesi, sıvı minik parçadan dışarı çıkarken pozitif olur, ama sıvı bölgeye giriyorsa, negatif olur.

Adım 3: Hepsini bir integralle toplayın

Hedef, sıvının yüzeyin tamamından akma hızını ölçmektir:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

(Not, bu animasyonda sıvının tamamı yüzeyden dışarı çıkmaktadır. Genelde, bu bölgeye bazı noktalarda girebilir).

Bu daha fazla küresel akış hızını bulmak için, kütlenin her bir minik

S

parçasından aktığı hızı toplayın. Yüzeyd minik alan parçalarıyla ilgili miktarları topladığımız için, uygun araç bir yüzey integralidir. Bir önceki bölümdeki sonucu alın:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Küçük parçada akış hızı \end{array}$ ‍

Şimdi bunu bir yüzey integraline koyun:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Dikkat ederseniz, bu integralin içinde iki fonksiyon bulunur:

Bir sıvı parçacığının bir noktadaki süratini veren $F (x, y, z)$ ‍.
$\hat{n} (x, y, z)$ ‍, bu yüzeydeki rastgele bir noktada dışa doğru yönlü birim normal vektörü verir.

Bu vektör değerli fonksiyonların her ikisi ve bunların iç çarpımı bir skaler değerli fonksiyondur.

Bunu

R

'deki sıvı kütlesinin negatif türevi olarak da yazabilirsiniz; negatif olur çünkü sıvı bölgeden ayrıldığında yüzey integrali pozitif olur.

$\underset{Sıvının R ’den çıktığı hız}{\underset{⏟}{- \frac{d (R ’deki sıvı kütle)}{d t}}} = \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

Bir sonraki makalede, bu integrallerden bikini hesapladığınız bir örneği takip edebilirsiniz. Bu, birim normal vektör için bir ifade bulmayı, integrali bir

S

parametrizasyonu cinsinden çerçevelemeyi, vb. içerir.

Akı

Ne kadar sıvının bir yüzeyde aktığının bu ölçüsüne akı diyoruz. Üstteki örnekte, bu bir bölgenin sınırı olan kapalı bir yüzey bağlamında çerçevelenmişti, burada akı aynı zamanda bu bölgede değişen kütlenin bir ölçüsüydü. Prensipte ise, akı kapalı veya değil, herhangi bir yüzey için hesaplayabileceğiniz bir şeydir.

Fizikte birçok şey, sadece sıvı değil, bir tür akış olarak düşünülebilir. Isı, ve bir anlamda kuvvetler de uzayda akarlar. Böylece, ısı, veya elektromanyetizma ile ilgili bir problemde bir yüzeyde akı bulurken kendinizi bulabilirsiniz.

Özet

Üç boyutlu bir sıvı akışı verildiğinde, bir yüzeyden akısını hesaplama mantığı şöyle olur:

Yüzeyi birçok küçük parçaya kestiğinizi hayal edin, her bir parça düz olacak şekilde küçük olmalıdır.
Her bir parçadan ne kadar sıvı aktığını o parçanın alanı, $d Σ$ ‍, parçanın birim normal vektörü, $\hat{n}$ ‍, o bölgedeki sıvı hızı, $F$ ‍, cinsinden hesaplayın.
Akının tamamını elde etmek için, bu akış hızlarını bir yüzey integraliyle "toplayın".
$\begin{array}{r} \underset{Flux through S}{\underset{⏟}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}} \end{array}$ ‍
Ters yöne doğru birim normal vektörler seçerek yüzeyinizin yönelimini değiştirirseniz, bu integralin işareti ters çevrilir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.