If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç boyutta akı

Bir vektör alanındaki yüzey alanı olarak da bilinen üç boyutlu akı, bir sıvının bir yüzeyden ne kadar aktığını ölçer.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama benzetme için yararlıdır:

Neye ulaşıyoruz

  • Üç boyutlu uzayda akan bir sıvınız, ve bu uzayda duran bir yüzey varsa, bu yüzeydeki akı sıvının aktığı hızın ölçümüdür.
  • Akı aşağıdaki yüzey integrali ile hesaplanabilir:
    SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
    burada
    • start color #bc2612, S, end color #bc2612, akıyı ölçtüğümüz alanı belirtir.
    • start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 bir sıvı akışını temsil ettiği düşünülen, üç boyutlu bir vektör alanıdır.
    • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f, start color #bc2612, S, end color #bc2612'deki her noktada bir birim normal vektör veren bir fonksiyondur.
    • start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyindeki küçük bir alan birimi olarak düşünülebilir.
Khan Akademi video wrapper

Bir kütlede sıvı kütlesini değiştirme

start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 vektör değerli fonksiyonuyla temsil edilen üç boyutlu bir vektör alanını düşünün.
Khan Akademi video wrapper
Vektör alanlarıyla yapmayı sevdiğimiz gibi, bunun üç boyutlu bir sıvı akışını tanımladığını gözünüzde canlandırın. Bu konuda, kısa bir an için akışın neye benzediğini hayal etmek faydalıdır. Belki sıvı parçacıklarının her bir vektörün kuyruğundan ucuna çok kısa bir delta, t zamanında hareket ettiğini hayal edin.
Şimdi yüzeyinden sıvı geçen üç boyutlu bir kütleyi düşünün.
Khan Akademi video wrapper
Bu kütlenin yüzeyini start color #bc2612, S, end color #bc2612 olarak adlandıralım.
Önemli soru: start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 olarak tanımlanan vektör alanı boyunca aktıkça bu kütleden çıkan/giren sıvı ne kadardır?
Kesin irmak gerekirse, bunu kitleye giren/çıkan kütle cinsinden fade edebiliriz. Basitlik açısından (hepimiz basitliği severiz, öyle değil mi), sıvının yoğunluğunun 1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed olduğunu varsayıyoruz. Anahtar sorumuzu daha ölçülebilir bir şekilde ifade ederiz:
Daha zor fade etme: Kitlenin içinde kütle değişim hızının zamana göre fonksiyonu nedir? Her bir sıvı parçacığının hızının start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 vektörüyle verildiğini varsayın, burada left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis parçacığın koordinatlarıdır. Ayrıca, sıvının yüzey boyunca 1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed düz yoğunluğu olduğunu varsayın.

Yüzeyin her minik parçasından akma

Bu problemi çözmenin özü şöyledir:
  • Adım 1: S yüzeyini birçok mini parçaya ayırın.
  • Adım 2: Her bir parçada ne kadar sıvı çıktığını/girdiğini görün.
  • Adım 3: Bu miktarların hepsini bir yüzey integraliyle toplayın.

Adım 1: Yüzeyi ayırın

Prensip olarak, her bir parçayı sonsuz küçüklükte olarak düşünmeniz gerekir. Sonuçta, integrallerde bunu yapmayı severiz. Yüzeylerle kullandığımız yaygın bir gösterim ise, bu parçaların birinin sonsuz küçüklükteki alanını "d, \Sigma" olarak ifade etmektir.
Ayrıca, her bir parça çok küçük olduğundan, ve S yüzeyini düzgün olarak düşündüğümüz için, bu parçaları düz olarak düşünebilirsiniz.

Adım 2: Her parçadaki sıvı akışını ölçün

Bu parçaların her biri gerçekten minik olduğundan, içinden geçen tüm sıvı, aynı hız ve yönde hareket edecektir. Özellikle, bu parçada herhangi bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası seçerseniz, bundan geçen sıvı parçacıklarının hız vektörü approximately equals, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis olur.
Buna göre, üzerinden kısa bir delta, t zamanında geçen sıvı, bir tür prizma oluşturur:
Khan Akademi video wrapper
Bu parçacıkların her biri için yer değiştirme vektörü, hız çarpı zamanda değişim olur:
start underbrace, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, delta, t, end underbrace, start subscript, start text, P, r, i, z, m, a, n, ı, n, space, e, g, with, \u, on top, i, k, space, a, y, r, ı, t, ı, n, ı, space, t, a, n, ı, m, l, a, y, a, n, space, v, e, k, t, o, with, \", on top, r, end text, end subscript
Şimdi start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f minik alan parçamıza birim normal vektörü temsil etsin:
Kavram kontrolü: delta, t zamanında küçük parçadan çıkan sıvı hacmi nedir? (Küçük parçanın alanı d, \Sigma'dır).
1 cevap seçin:

Dikkat ederseniz, sıvının yoğunluğunu 1 olarak varsaydığımız için, bu ifade aynı zamanda minik parçadan çıkan sıvı kütlesini verir. Zamandaki delta, t değişimine bölerseniz, minik alan parçasından kütlenin geçme hızını elde edebilirsiniz:
(F(x0,y0,z0)n^)(dΣ)Birim zamanda ku¨tle akışı\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(d\Sigma\big) \quad \leftarrow \text{Birim zamanda kütle akışı} \end{aligned}

Not: Yönelim önemlidir

Dikkat ederseniz, tees yöndeki birim normal vektörü seçseydik, bu left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, left parenthesis, d, \Sigma, right parenthesis ifadesinin işareti ters dönerdi.
Kapalı yüzeylerde, kural dışarı doğru birim normal vektör seçmektir. Bunun anlamı, akış hızının ifadesi, sıvı minik parçadan dışarı çıkarken pozitif olur, ama sıvı bölgeye giriyorsa, negatif olur.

Adım 3: Hepsini bir integralle toplayın

Hedef, sıvının yüzeyin tamamından akma hızını ölçmektir:
Khan Akademi video wrapper
(Not, bu animasyonda sıvının tamamı yüzeyden dışarı çıkmaktadır. Genelde, bu bölgeye bazı noktalarda girebilir).
Bu daha fazla küresel akış hızını bulmak için, kütlenin her bir minik start color #bc2612, S, end color #bc2612 parçasından aktığı hızı toplayın. Yüzeyd minik alan parçalarıyla ilgili miktarları topladığımız için, uygun araç bir yüzey integralidir. Bir önceki bölümdeki sonucu alın:
(F(x0,y0,z0)n^)(dΣ)Ku¨çu¨k parçada akış hızı\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(d\Sigma\big) \quad \leftarrow \text{Küçük parçada akış hızı} \end{aligned}
Şimdi bunu bir yüzey integraline koyun:
SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Dikkat ederseniz, bu integralin içinde iki fonksiyon bulunur:
  • Bir sıvı parçacığının bir noktadaki süratini veren start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis.
  • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, bu yüzeydeki rastgele bir noktada dışa doğru yönlü birim normal vektörü verir.
Bu vektör değerli fonksiyonların her ikisi ve bunların iç çarpımı bir skaler değerli fonksiyondur.
Bunu start color #bc2612, R, end color #bc2612'deki sıvı kütlesinin negatif türevi olarak da yazabilirsiniz; negatif olur çünkü sıvı bölgeden ayrıldığında yüzey integrali pozitif olur.
start underbrace, minus, start fraction, d, left parenthesis, start text, start color #bc2612, R, end color #bc2612, apostrophe, d, e, k, i, space, s, ı, v, ı, space, k, u, with, \", on top, t, l, e, end text, right parenthesis, divided by, d, t, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, S, ı, v, ı, n, ı, n, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, apostrophe, d, e, n, space, ç, ı, k, t, ı, g, with, \u, on top, ı, space, h, ı, z, end text, end subscript, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
Bir sonraki makalede, bu integrallerden bikini hesapladığınız bir örneği takip edebilirsiniz. Bu, birim normal vektör için bir ifade bulmayı, integrali bir start color #bc2612, S, end color #bc2612 parametrizasyonu cinsinden çerçevelemeyi, vb. içerir.

Akı

Ne kadar sıvının bir yüzeyde aktığının bu ölçüsüne akı diyoruz. Üstteki örnekte, bu bir bölgenin sınırı olan kapalı bir yüzey bağlamında çerçevelenmişti, burada akı aynı zamanda bu bölgede değişen kütlenin bir ölçüsüydü. Prensipte ise, akı kapalı veya değil, herhangi bir yüzey için hesaplayabileceğiniz bir şeydir.
Fizikte birçok şey, sadece sıvı değil, bir tür akış olarak düşünülebilir. Isı, ve bir anlamda kuvvetler de uzayda akarlar. Böylece, ısı, veya elektromanyetizma ile ilgili bir problemde bir yüzeyde akı bulurken kendinizi bulabilirsiniz.

Özet

Üç boyutlu bir sıvı akışı verildiğinde, bir yüzeyden akısını hesaplama mantığı şöyle olur:
  • Yüzeyi birçok küçük parçaya kestiğinizi hayal edin, her bir parça düz olacak şekilde küçük olmalıdır.
  • Her bir parçadan ne kadar sıvı aktığını o parçanın alanı, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, parçanın birim normal vektörü, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, o bölgedeki sıvı hızı, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, cinsinden hesaplayın.
  • Akının tamamını elde etmek için, bu akış hızlarını bir yüzey integraliyle "toplayın".
    SFn^dΣFlux through S\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Flux through $\redE{S}$}} \end{aligned}
  • Ters yöne doğru birim normal vektörler seçerek yüzeyinizin yönelimini değiştirirseniz, bu integralin işareti ters çevrilir.