Üç boyutta akı

Arka plan

• Vektör alanları
• Yüzey integralleri
• Bir yüzeyin birim normal vektörü

• İki boyutlu akı

Neye ulaşıyoruz

• Üç boyutlu uzayda akan bir sıvınız, ve bu uzayda duran bir yüzey varsa, bu yüzeydeki akı sıvının aktığı hızın ölçümüdür.
• Akı aşağıdaki yüzey integrali ile hesaplanabilir:

  $\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

  burada
  • $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612, akıyı ölçtüğümüz alanı belirtir.
  • $\blueE{F(x, y,z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 bir sıvı akışını temsil ettiği düşünülen, üç boyutlu bir vektör alanıdır.
  • $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y, z)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f, $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612'deki her noktada bir birim normal vektör veren bir fonksiyondur.
  • $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 yüzeyindeki küçük bir alan birimi olarak düşünülebilir.

Bir kütlede sıvı kütlesini değiştirme

Önemli soru: $\blueE{F(x, y, z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 olarak tanımlanan vektör alanı boyunca aktıkça bu kütleden çıkan/giren sıvı ne kadardır?

Daha zor fade etme: Kitlenin içinde kütle değişim hızının zamana göre fonksiyonu nedir? Her bir sıvı parçacığının hızının $\blueE{\textbf{F}(x, y, z)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 vektörüyle verildiğini varsayın, burada $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis parçacığın koordinatlarıdır. Ayrıca, sıvının yüzey boyunca $1 \, \text{kg}/\text{m}^3$1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed düz yoğunluğu olduğunu varsayın.

Yüzeyin her minik parçasından akma

• Adım 1: $S$S yüzeyini birçok mini parçaya ayırın.
• Adım 2: Her bir parçada ne kadar sıvı çıktığını/girdiğini görün.
• Adım 3: Bu miktarların hepsini bir yüzey integraliyle toplayın.

Adım 1: Yüzeyi ayırın

Adım 2: Her parçadaki sıvı akışını ölçün

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)

  A

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$
• (B şıkkı)

  B

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Not: Yönelim önemlidir

Adım 3: Hepsini bir integralle toplayın

• Bir sıvı parçacığının bir noktadaki süratini veren $\blueE{\textbf{F}}(x, y,z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y, z)$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, bu yüzeydeki rastgele bir noktada dışa doğru yönlü birim normal vektörü verir.

Akı

Özet

• Yüzeyi birçok küçük parçaya kestiğinizi hayal edin, her bir parça düz olacak şekilde küçük olmalıdır.
• Her bir parçadan ne kadar sıvı aktığını o parçanın alanı, $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, parçanın birim normal vektörü, $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, o bölgedeki sıvı hızı, $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, cinsinden hesaplayın.
• Akının tamamını elde etmek için, bu akış hızlarını bir yüzey integraliyle "toplayın".

  $\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Flux through $\redE{S}$}} \end{aligned}$

• Ters yöne doğru birim normal vektörler seçerek yüzeyinizin yönelimini değiştirirseniz, bu integralin işareti ters çevrilir.