Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 13: Akı (Flux) 3D (Makaleler)

Bir yüzeyin birim normal vektörü

Bir yüzeye dik veya "normal" olan vektörü nasıl bulacağınızı öğrenin. Üç boyutlu akıyı hesaplamak için bu beceriye ihtiyacınız olacak.

Arka plan

Parametrik yüzeylerin kısmi türevleri
- Özellikle, bir yüzeyi parametrelendiren bir fonksiyonun kısmi türevlerini ve bunların neyi temsil ettiğini iyice bildiğinizden emin olun.
Vektör çarpımı (video)

Neye ulaşıyoruz

Eğer bir yüzey bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis fonksiyonuyla parametrelendirilmişse, bu yüzeye birim vektör aşağıdaki ifadeyle verilir:
$\begin{aligned} \pm \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}$
Bir birim vektör fonksiyonu için daima iki seçeneğiniz vardır. Eğer yüzey kapalıysa (bir küre veya bir simit gibi), bu seçenekler dışa-bakan ve içe-bakan vektörler olarak yorumlanabilir.
Bu, bir sonraki makalede ele alınan üç boyutta akı kavramı için faydalıdır.

Birim normal vektör

Diyelim ki bir S yüzeyiniz var. Eğer S'deki bir noktadaki bir vektör o noktada S'ye dikse, bu bir normal vektör (S'nin o noktadaki normal vektörü) olarak adlandırılır. Daha net şekilde söylemek isterseniz, bunun o noktada S'nin teğet düzlemine dik olduğunu veya S'nin o noktadaki olası teğet vektörlerinin tümüne dik olduğunu söyleyebilirsiniz.

Bir normal vektörün büyüklüğü 1 olduğunda, bu vektör birim normal vektör olarak adlandırılır. Daima, ters yönleri gösteren iki birim normal vektör olacağına dikkat edin:

Neden bunu umursuyoruz? Bir vektör alanında yüzey integrallerini, üç boyutlu akı da diyebiliriz, bulmak için, belirli bir yüzey üzerindeki birim normal vektörler için bir ifade bulmanız gerekecek. Bu çok değişkenli, vektör-değerli bir fonksiyonun şeklini alacak, buradaki girdiler (yüzeyin bulunduğu) üç boyutta yaşarlar, ve çıktılar üç boyutlu vektörlerdir.

Örnek: Birim normal vektörün hesaplanması

Aşağıdaki parametrik fonksiyonla tanımlanmış yüzeyi düşünün:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

minus, 2, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 and minus, 2, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2 olan aralıkta, yüzey böyle gözükür:

Buradan sonrakiler için, bir parametrik yüzeyin iki kısmi türevinin yüzeye teğet, ancak farklı yönlerde vektörler verdiğini bildiğinizi varsayıyorum.

Adım 1: Bir normal vektör bulun (mutlaka birim normal vektör olması gerekmez)

Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis noktasında start bold text, v, end bold text, with, vector, on top parametresiyle tanımlanmış yüzeye dik bir vektör verecektir?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$
(C şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) + \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$

[Cevap]

Bu, iki vektör değerli kısmi türev ve vektör çarpımıyla, gayet zor bir ifadedir. Daha önce yüzey integralleri hesapladıysanız, ifadeyi hesaplamanın ne kadar zor olabileceğini bilirsiniz.

Bir kez daha, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis böyle tanımlanır:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Kavram kontrolü: Şimdi start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün kısmi türevlerinin çapraz çarpımını hesaplayın. Bunu genel bir left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis noktası için yapın, yani cevabınızın her bileşeni t ve s'nin bir fonksiyonu olacaktır. Daha önceki problemde tanımlandığı gibi, bu size yüzeyin normal vektörleri için bir fonksiyon verecektir.

$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) = \end{aligned}$
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Cevap]

Örneğin, eğer left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis koysaydık bunu elde ederdik:

$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2(1) \\ -2(-2) \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Bu, yüzeye start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis noktasında dik olan bir vektördür. Bununla birlikte, büyüklüğünü hesapladığınızda görebileceğiniz gibi, bu bir birim vektör değildir:

square root of, 2, squared, plus, 4, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 4, plus, 16, plus, 1, end square root, equals, square root of, 21, end square root

Adım 2: Bunu bir birim normal vektör yapın

Böylece her start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis noktası için bize normal bir vektör veren

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2t \\ -2s \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}

ifadesini elde ederiz. Bir sonraki adım, bunu bir birim normal vektör için bir ifade elde etmek için biraz değiştirmektir.

Kavram kontrolü: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis noktasında yüzeyimize birim normal vektör nedir?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Cevap]

Kavram kontrolü: Daha genel olarak, rastgele bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis noktasında t ve s'nin bir fonksiyonu olarak, yüzeyimizdeki birim normal vektör nedir?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Cevap]

Yaşasın, bir birim normal vektör elde ettiniz.

Eğer bu ifadeye herhangi bir left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis değeri koyarsanız, büyüklüğü 1 olan ve start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonu ile parametrelendirilmiş yüzeye start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında normal olan bir vektör elde edeceksiniz.

Yönlendirmeyi seçme

Dikkat ederseniz, bir birim normal vektör için fonksiyonunuzu minus, 1 ile çarparsanız, yine birim normal vektör üretir. Sadece bu vektörler ters yönü gösterirler. Yüzeyinizdeki birim normal vektörlerin yön seçimine bu yüzeyin yönelimi denir.

Bunun önemini, üç boyutlu akıyla ilgili bir sonraki makalede göreceksiniz. Kısaca, yüzeyinizi yönlendirmek bir boyutlu bir eğriye yön vermeye benzer.

Yüzeyiniz, küre veya torus gibi, kapalı olduğunda, birim normal vektörler için iki seçenek, dışa doğru ve içe doğru birim normal vektörlerdir.

Özet

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis fonksiyonuyla parametrize edilen bir yüzey verildiğinde, bu yüzeyin dik birim vektörü için bir ifade bulmak için, aşağıdaki adımları atın:
Adım 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis kısmi türevlerinin ikisinin de vektör çarpımını alarak (birim olması zorunlu olmayan) bir normal vektör elde edin:
$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \end{aligned}$
Adım 2: Bu vektör ifadesini büyüklüğüne bölerek birim vektöre dönüştürün:

$\begin{aligned} \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}$

Bu ifadeyi minus, 1 ile çarpabilirsiniz, ve hala size birim normal vektörler verir.
Bu beceriyi öğrenmenin ana nedeni, üç boyutlu akıyı hesaplamaktır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.