Çizgi İntegralleri ve Vektör Alanları

Fiziğin temel kavramlarından biri iştir. ve işi ilk öğrendiğinizde sadece kuvvet çarpı uzaklıkmış dersiniz ama vektörleri öğrendiğinizde, kuvvetin her zaman yer değiştirmeyle aynı yönde olmadığını anlarsınız. O zaman işin, yer değiştirme yönündeki kuvvet bileşeni olduğunu öğrenirsiniz. Yer değiştirme, uzaklığın yön katılmış halidir diyebiliriz. Yani yer değiştirme miktarı veya uzaklık da diyebilirsiniz. Şimdi bunun klasik örneği. Bir diyelim ki buz küpünüz veya bir bloğunuz var diyelim. Buz daha iyi, çünkü sürtünmeyi azaltıcak. Şimdi bu buz küpü bir donmuş gölün üzerinde duruyor olabilir bir yerde. Belki, bu buz küpünü belli bir açıyla çekiyorsunuz. Mesela şöyle bir açı diyelim. Buradaki kuvvet. Yani şu kuvvet vektörüdür diyelim. Kuvvet vektörünün büyüklüğü de 10 newton olsun. Kuvvet vektörünün yönü de yönü de yatayla 60 derece olsun. Bu yönde çekiyorum. Ve yerini değiştirdiğimi varsayalım. Evet şimdi bunu 5 metre hareket ettirdiğinizi varsayıyoruz. Bu yer değiştirme vektörünün uzunluğunun 5 metre olduğunu söylüyoruz. İşin tanımı gereği 10 newton kuvvetle 5 metre hareket ettiriyorum diyemeyiz. 10 newtonla 5 metreyi çarpamayız. Yer değiştirme vektörüyle aynı yöndeki bileşenin uzunluğunu bulmanız lazım. Bu vektörün uzunluğunun 10 olduğunu düşünürsek, ki bu toplam kuvvet yer değiştirme vektörüyle aynı yöndeki bileşenin uzunluğunu bulmam gerekiyor. Basit bir trigonometrik hesapla, 10 çarpı kosinüs 60 derece diyoruz. 60 derecenin kosinüsü 1 bölü 2, yani bu 5'e eşit. Bu durumda yer değiştirme vektörü yönündeki kuvvet bileşeni, 5 newton. Buna göre işi hesaplayabiliriz. İş eşittir 5 newton çarpı çarpım işlemi için nokta kullanıcam burada. Vektör çarpımıyla karıştırmanızı istemiyorum. Çarpı 5 metre sonuç 25 newton metre veya yapılan işin kısaca 25 jul olduğunu söyleyebiliriz. Bu temel fizik tekrarı oldu. Ama burada ne yaptığımızı tekrar bir düşünelim. İş neydi? Kuvvet yani 5 newton çarpı. Kuvvet vektörünün uzunluğu çarpı bu açının kosinüsü. Buna teta diyelim. Çarpı açının kosinüsü. Bu, kuvvetin yer değiştirme yönündeki miktarı. İki vektörün arasındaki açının kosinüsü çarpı yer değiştirme vektörünün uzunluğu Bunu baştan yazmak istersem, yer değiştirmenin uzunluğu çarpı kuvvetin uzunluğu çarpı kosinüs teta diyebilirim. Bu ifade, d ve f vektörlerinin iç çarpımına eşit. Yani, genel olarak sabit bir yer değiştirme ve sabit bir kuvvet için iş hesaplamak istiyorsanız, bu iki vektörün iç çarpımını alıyorsunuz. Eğer iç çarpımı bilmiyorsanız, bu kavram ve bunun anlamı hakkında yaptığım 4-5 tane video var bunları izlemeyi düşünebilirsiniz. Şimdi isterseniz size iç çarpımın mantığını burada da biraz anlatayım. İç çarpımın anlamı şu Bu vektörün şu vektör yönünde ne kadar gittiğini bulmak ve bu iki uzunluğu çarpmak. Burada da bunu yaptık. Yani iş eşittir kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörünün iç çarpımı. Sonuç da skaler bir değer çıkacak. İleride bu konuda örnekler yapacağız. Burada temel fizik tekrarı yapmış olduk. Şimdi aynı kavramla ilgili daha karmaşık bir örnek yapalım. Vektör alanını tanımlayalım. Diyelim ki, f adında bir vektör alanımız var. Bunun anlamını birazdan konuşacağız. Bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon. x ve y cinsinden skaler bir fonksiyon çarpı i birim vektörü veya yatay birim vektörü artı bir başka x y cinsinden fonksiyon, çarpı düşey birim vektörü. Böyle bir şey neye benzer? Bu bir vektör alanı. Bu, iki boyutlu bir uzayda bir vektör alanı. x y düzlemindeyiz. R 2 de diyebiliriz. Ama neyse şimdi işin matematiğinde çok girmek istemiyorum. Şimdi bunun anlamı nedir dedik. x y düzlemini bir çizelim. Bu y ekseni, bu da x ekseni. Sadece ilk çeyrek düzlemi çiziyorum ama iki yönde eksi tarafa da, isterseniz, gidebilirsiniz. Peki bunun mantığı nasıl işliyor? Şöyle. Düzlemde herhangi bir x y değeri için bazı sayılar elde edeceğiz bazı sayılar çıkacak öyle değil mi? Buraya x ve y'yi koyunca bir değer elde edersiniz. Ve şuraya x ve y koyunca da bir değer yine çıkar. i ve j birim vektörlerinin bir bileşimini birleşimini bulursunuz. Yani sonuçta bir vektör çıkar. Yani bu fonksiyon x y düzlemindeki her nokta için bir vektör tanımlar. x y düzleminde şu noktayı alırsak ve bu fonksiyona koyarsak bir şey çarpı i artı başka bir şey çarpı j çıkar. Bu ikisini topladığımda, şöyle bir vektör çıkar. Bunu her nokta için yapabiliriz. Şimdi Rastgele noktalar alıyorum. Belki bu noktadaki vektör şöyle bir şey. Bu noktada ise, şöyle bir vektör var. Şuradaki vektör de mesela böyle olabilir. Şu yukarıdaki vektör de böyle olabilir. Gelişigüzel noktalar seçtik. Skaler fonksiyonların tanımlı olduğu x y koordinatlarında, vektörler elde edicez. Vektör alanı denilmesinin sebebi, belki de, bu zaten. Her noktada bir kuvvet tanımlandığı için olabilir. Bunu yapmaya şimdi devam edip tüm boşlukları doldurabilirim. Sanıyorum bunun ne demek olduğunu anladınız. x y düzlemindeki her noktaya bir vektör atanıyor. Bunun adı vektör alanı aslında her türlü alanı tanımlamakta kullanabilirsiniz. Yerçekimi alanı da olabilir. Elektriksel alan olabilir, manyetik alan olabilir. Yani bu, bu alandaki bir parçacığın üzerindeki kuvveti ifade ediyor. Bunun tanımladığı şey, tam olarak bu. Diyelim ki, x y düzleminde hareket eden bir parçacığımız var. Şuradan başladığını düşünelim. Şimdi bu parçacığın üzerine etki eden bu çılgın kuvvetler sebebiyle parçacık her zaman alanın onu hareket ettirmek istediği yönde gitmeyebilir. Şöyle bir iz üzerinde gittiğini varsayalım. Bu iz veya eğri) bir konum vektör değerli fonksiyonla tanımlanmış olsun. Bu r t fonksiyonu eşittir x t çarpı i artı y t çarpı j birim vektörü. Bunun sonlu bir iz olması için t'nin büyük eşit a veya küçük eşit b olması gerekiyor. Bu kuvvetlerin etkisiyle parçacığın bu iz boyunca hareket ettiğini düşünelim şimdi. Parçacık şuradayken vektör alanı şöyle bir kuvvetle parçacığı etkiliyor olabilir. Ama parçacık bir yol üzerinde olduğu için belki bu yönde hareket ediyor. Parçacık şurada olduğunda ise, belki vektör alanı böyle ama parçacık buraya doğru hareket ediyor. Bu videoda temel bir soruyu cevaplamak için hazırlık yaptım. Bu alanın parçacık üzerinde yaptığı iş nedir? Bunu cevaplayabilmek için şimdi biraz zumlayalım. İzin küçük bir kısmına odaklanalım. İzin küçük bir kısmındaki işi bulmaya çalışalım. Çünkü alan sürekli yön değiştiriyor. Parçacık da tabi yön değiştiriyor. Şimdi şuradayım diyelim ve izin üstünde azıcık hareket edelim. Sonsuz küçüklükte bir d r kadar hareket ediyorum değil mi? Bir diferansiyel vektörüm var sonsuz küçüklükte bir yer değiştirme. Bu yer değiştirme esnasında vektör alanının şöyle etki ettiğini düşünelim. Şöyle bir kuvvet sağladığını düşünelim. Bu noktada parçacığın üzerindeki kuvvet, bu olsun. Uzayda sonsuz küçüklükte bir zaman aralığı. Bu noktadaysa şu sabit kuvvetin var olduğunu söyleyebiliriz. Peki bu kısa dilimde yapılan işi nasıl hesaplayacağız? Kısa iş aralığı nedir diye sorabilirsiniz. Buna d iş veya iş diferansiyeli diyebiliriz. Önceki daha basit problemde kullandığımız mantığı kullanıcaz. Yer değiştirme yönündeki kuvvet miktarı çarpı yer değiştirme miktarı bunu bulucaz. Şuradaki örnekten, bunun ne olduğunu biliyoruz iç çarpım. Kuvvetle ile bu minicik yer değişiminin iç çarpımı. Yani bu kuvvet ile minicik yer değiştirmenin iç çarpımına eşit dedik. Bu şekilde çok küçük bir d r için işi hesaplamış olucaz. Yapmamız gereken ise bütün bu işleri toplamak. Toplam işi bulmak için, tüm f iç çarpım d r'leri toplamamız gerekir. Ve işte burada integral işin içine girdi. Şimdi Bunu iki şekilde düşünebiliriz. d iç çarpım w diyebiliriz ve c veya r eğrisi boyunca d w'nun çizgi integralini alacağımızı belirtebiliriz. Ve bu bize toplam işi verir. İş buna eşit, diyelim. Veya bunu integralin üzerine de yazabilirim. f iç çarpım d r'nin integrali. Bunun şimdi çok soyut olduğunu düşünebilirsiniz. Peki böyle bir şeyi nasıl hesaplıcaz? Burada her şey t parametresi cinsinden ifade edilmiş. Değil mi? Bunu t cinsinden nasıl bulucaz? f'nin r ile iç çarpımı nedir? Şimdi buna bakalım veya f'nin d r ile iç çarpımı nedir? d r'nin neye benzediğini bir hatırlayalım. Hatırlıyorsanız d r d t eşittir x üssü t, istersem d x d t de yazabilirim çarpı i birim vektörü artı y üssü t çarpı j birim vektörü. Sadece d r'yi isteseydim sadece d r'yi isteseydim ispatını yapmamış olmama rağmen iki tarafı diferansiyellerle çarpardım. d r eşittir x üssü t d t çarpı i birim vektörü artı y üssü t çarpı d t çarpı j birim vektörü. Vektör alanının ne olduğunu hatırlayalım. Bu d r. Şuradaki şeydi di mi. İç çarpımın çok acayip bir şey olmadığını görüyoruz. Bu integral neye benzeyecek? Parçacık iz üzerine hareket ederken, alanın parçacık üzerine yaptığı işi bu integral verir. Bu konu herhangi bir ileri fizik dersi çok önemli bir temel. t eşittir a'dan t eşittir b'ye bir integral bulacağımızı söyleyebilirsiniz. a ize başladığımız nokta, t eşittir a'dan t eşittir b'ye giden bir integral. Parçacık hareket ettikçe zaman artıyor diye düşünebilirsiniz. Peki, f iç çarpım d r nedir? İç çarpımın tanımını hatırlıyorsanız, vektörlerin karşılıklı bileşenlerini çarpıp topluyorsunuz. Yani, şu integrali bulucaz t eşittir a'dan t eşittir b'ye p x, x y yerine x t y t yazıyoruz. İkisi de t cinsinden fonksiyonlar ve burası böyle. Çarpı şuradaki şey yani şu bileşen. i bileşenlerini çarpıyoruz. Çarpı x üssü t d t artı q fonksiyonuyla da aynı şeyi yapacağız. Artı q x t y t çarpı d r'nin bileşeni çarpı y bileşeni veya i bileşeni. y üssü t d t. Ve bitirdik. Bitti. Bu size hala soyut gelebilir ama bir sonraki videoda göreceğimiz gibi burada her şey t cinsinden ifade edildiği için, bu, t'ye göre gayet kolay bir integrale dönüştü. d t'leri denklemin dışına alırsak, belki daha normal görünebilir. Yapmamız gereken sadece bu integrali almak. Bir sonraki videoda vektör alanında çizgi integrali almak ile ilgili örnekler yapacağız. Hoşçakalın.