If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğuna giriş

Bir eğrinin uzunluğu, "yay uzunluğu", belirli bir integral kullanılarak bulunabilir.

Yay uzunluğu nedir?

Khan Akademi video wrapper
Genelde uzunluğu bir doğruyla ölçeriz, ancak eğrilerin de uzunlukları vardır. Aşina olunan bir örnek, r yarıçapı için 2, pi, r olan, bir çemberin uzunluğudur. Genel olarak, bir eğrinin uzunluğu yay uzunluğu olarak adlandırılır. Ancak, herhangi bir eğrinin yay uzunluğunu nasıl buluruz? Bunu birlikte bulalım.

Neye ulaşıyoruz

  • Bir eğrinin yay uzunluğunu şu formda bir integralle bulabilirsiniz:
    integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
    Bu integralin limitleri eğriyi nasıl tanımladığınıza bağlıdır.
  • Bu eğri y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonunun grafiğiyse, integraldeki d, y teriminin yerine f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x yazın, sonra d, x'i dışarı alın.

Isınma: Yay uzunluğunu kestirme

Aşağıdaki denklemle tanımlanan parabole bakalım:
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared
Eğrinin x, equals, minus, 2 ile x, equals, 2 arasındaki kısmını düşünün.
Anahtar soru: Bu eğrinin yay uzunluğu nedir?
Sorunun daha net anlaşılması için, eğrinin bir ip parçası olduğunu düşünün. Bu ipi düz hale getirerek bir cetvelle ölçüyorsunuz.
Khan Akademi video wrapper
Eğer tahmin etmeniz gerekseydi, bu eğriyi bazı doğrularla kestirerek başlayabilirdiniz. Bu, şöyle gözükebilirdi:
  • left parenthesis, minus, 2, comma, 4, right parenthesis'ten left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis'e bir doğru
  • left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis'den left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'a bir doğru
  • left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'dan left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis'e bir doğru
  • left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis'den left parenthesis, 2, comma, 4, right parenthesis'e bir doğru
Sıkıcı olsa da, Pisagor teoremini kullanarak her bir doğru parçasının uzunluğunu bulabilir, ve bunları toplayabilirdiniz.
Kavram kontrolü: Doğrunun left parenthesis, minus, 2, comma, 4, right parenthesis'ten left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis'e uzunluğu nedir?
Kareköklü, tam bir cevap girin:

Daha doğru bir kestirim için, eğriyi pek çok küçük doğru kullanarak kestirebilirdiniz:
Tüm uzunlukları hesaplama ve toplama, zihin uyuşturucu olur, ama neye benzeyeceğini ayrıştıralım. Bu küçük çizgilerden birini yakınlaşın.
Önce, çizginin başından sonuna kadar x değerindeki değişime bakalım. Bunu delta, x olarak adlandıralım. Benzer şekilde, y değerindeki değişime delta, y diyelim. Sonra, Pisagor teoremini kullanarak, çizginin uzunluğunu şöyle yazabiliriz:
square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root
Bu durumda, eğrinin uzunluğu için kestirimimiz, bu küçük doğruların tümünün uzunluklarının toplamı olacaktır. Böyle bir fikri sembollerle gösterirken, yazan kişiler gösterimde katı kurallara uymayarak aşağıdaki gibi bir şey yazabilirler:
sum, start subscript, start text, t, u, with, \", on top, m, space, k, u, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, k, space, ç, i, z, g, i, l, e, r, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

İntegrali işin içine katma

Hmm, bir bakalım... bir eğriyi birçok minik adımlar kestiriyoruz, ve sonra çok küçük şeylerden çok büyük miktarda topluyoruz. Daha minik adımlarla ve daha büyük toplamla, daha iyi bir kestirim elde ediyoruz. Tanıdık geldi mi?
Bunun gibi problemler, integrallerin tam olarak neden yapıldığını belirtir.
Çoğu kişi, integral almayla ilk kez bir eğrinin altındaki alanı hesaplarken tanışır. Bu alanı pek çok ince dikdörtgenle kestirdiğinizi hayal edersiniz. Her dikdörtgenin genişliği "d, x" olarak düşünülür, bu x değerindeki çok küçük bir değişikliktir. Verilen bir x değerinde dikdörtgenin yüksekliği f, left parenthesis, x, right parenthesis'tir. Bu nedenle, her dikdörtgenin alanı,
start overbrace, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, y, u, with, \", on top, k, s, e, k, l, i, k, end text, end superscript, start underbrace, d, x, end underbrace, start subscript, start text, g, e, n, i, ş, l, i, k, end text, end subscript
Eğrinin tam alanı bu durumda bir integralle temsil edilir:
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Steroidlerdeki \Sigma gibi, bu integral kuvvetli bir makinedir. Sadece belirli ve küçük bir d, x değeri için f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x değerlerini toplamakla kalmaz; böyle bir toplamın küçük d, x genişliği 0'a giderken limit değerini de dikkate alır. Başka şekilde ifade edersek, dikdörtgenler kullanan kestirim giderek eğrinin altındaki gerçek alana yakınsar.
Ancak bu kuvvetli makine, bir eğrinin altındaki alanla ilgili olmayan pek çok bağlamda da kullanılabilir. Çok küçük şeylerden çok fazla sayıda toplamak istediğiniz herhangi bir anda, integral hemen devreye girer ve her şeyin hem daha az can sıkıcı olmasını hem de daha doğru olmasını sağlar.
Örneğin, yay uzunluğunu bu belirsiz toplamla kestirdiğimizde böyle hissederiz:
sum, start subscript, start text, t, u, with, \", on top, m, space, k, u, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, k, space, ç, i, z, g, i, l, e, r, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root
Böylece integrali şu hale çeviririz:
(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Bu gösterimin iyi açıklamadığı bir şey, d, y'nin (küçük kestirme çizgilerimizden birisindeki yükseklik değişimi) d, x'e (bu doğrunun yatay bileşeni) bağlı olduğudur. Özellikle, eğri y, equals, x, squared ilişkisi ile tanımlı olduğundan,d, y'nin d, x'e nasıl bağlı olduğunu görmek için iki tarafın da türevini alabiliriz,
y=x2d(y)=d(x2)dy=2xdx\begin{aligned} y &= x^2 \\ d(y) &= d(x^2) \\ dy &= 2x\,dx \end{aligned}
Bunu integralimize koyduğumuzda, biraz daha tanıdık gelir.
(dx)2+(dy)2=(dx)2+(2xdx)2=(1+(2x)2)(dx)2=1+4x2dx\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} &= \int \sqrt{(dx)^2 + (2x\,dx)^2} \\ &= \int \sqrt{(1 + (2x)^2)(dx)^2} \\ &= \int \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}
Bu integrale sınırlar koyma konusunda bilerek tembellik ettim, ancak artık integralin içindeki her şey x cinsinden olduğu ve ortalığı karıştıran hiç d, y olmadığına göre, integralin sınırını x değeri cinsinden tanımlamak mantıklıdır; buradaki durumda bu minus, 2'den 2'yedir.
221+4x2dx\begin{aligned} \int_{-2}^2 \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}
Bu hesaplayabileceğimiz bir şey gibi görünüyor. Aslında, bu durumda, gayet zor bir integrale benziyor, ama bu çağda, gerekirse, integralleri bir bilgisayara koyabiliriz. Buradaki olar, eğrimizin uzunluğunu küçük çizgilerle kestirmek, bunu ilk başta biçimsel olmayan bir gösterimli yazmıştık, ama şimdi somut, hesaplanabilir bir integrale dönüştü.
Şimdilik, bu integralin detaylarında boğulmak yerine (bir sonraki makalede bundan bir sürü geliyor), bu örnekten bazı noktalar vurgulamak istiyorum.

Çıkarılacak dersler

  • Hatırlamanız gereken merkezdeki ifade, yay uzunluğunu kullanarak x ve y cinsinden minik bir yay uzunluğu birimini temsil eden square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root'dir.
  • Oluşturduğunuz yay uzunluğu integrali, hayatına şöyle başlar:
    integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
  • İntegrali hesaplamadan önce, d, y diferansiyelini d, x diferansiyeli cinsinden yazmamız gerekiyordu. Bunu yapmak için, eğriyi tanımlayan fonksiyonun türevini almamız gerekiyordu.
  • Genelde, bir integral sadece bir diferansiyele göre hesaplanabilir, ve diferansiyeller arasındaki ilişkileri bulmak türev kullanılarak yapılabilir.
  • Belki de, buradan alınacak en önemli ders, integrallerin eğrinin altındaki alandan başka şeyler yapmamk için de kullanılabildiğidir.

Alıştırma

Öğrendiklerinizi pekiştirmek için, sonraki makalede daha fazla yay uzunluğu problemi çözebilirsiniz.