If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğu, örnekler

Farklı fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğunu bulma alıştırmaları yapın.

1. Örnek: Yarım daireyle alıştırma

Sağdaki resimde görünen yarıçapı 1 ve merkezi başlangıç noktası olan yarım çemberi düşünün. Geometriden, bu eğrinin uzunluğunun pi olduğunu biliyoruz. Yarım çemberin yay uzunluğunu yeniden keşfetmek için yeni bulduğumuz bu yöntemi uygulayalım.
Tanıma göre, tüm left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktaları, başlangıç noktasından 1 uzaklıkta bir çemberin üstündedir, böylece
x, squared, plus, y, squared, equals, 1
y'yi x cinsinden bir fonksiyon olarak yeniden yazarsak,
y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root
Yay uzunluğu integralini kurarken, bu eğriyi birkaç küçük çizgiyle kestirmeyi hayal etmek yardımcı olur.
Yay-uzunluğu integralini yazarken, bir anlığına limitleri yoksayarsak, şunu elde ederiz:
(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Daha önceki gibi, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root integrandının, eğriyi kestiren bu küçük doğrulardan bir tanesinin uzunluğunu temsil ettiğini (Pisagor teoremiyle) düşünüyoruz.
Şimdi eğrimizin tanımını integrale koymaya başlıyoruz.

1. Adım: d, y'yi d, x cinsinden yazma

d, y'yi d, x cinsinden yazmak için, y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root olduğu gerçeğinden yararlanın.
d, y, equals
d, x

2. Adım: İntegralde d, y yerine koyun

d, y için bu ifadeyi integrale koyarak integralin içindeki ifadeyi tamamen x ve d, x cinsinden yazın.
integral
d, x

3. Adım: İntegrale sınır koyun ve çözün

Eğri x, equals, minus, 1 ile x, equals, 1 arasında tanımlı olduğundan, bu değerleri integralinizin limitleri olarak ayarlayın ve bunu çözün.
(Üzgünüz, gülen yeşil tik işareti olan bir kutu olmadığı için. Geometriden yay uzunluğunun pi olduğunu biliyoruz, ama işin ilginç tarafı, yay uzunluğu integralini kullanırken, pi'nin ortaya çıktığını görmektir.)

Yay uzunluğu integrallerini kurma alıştırması

Yay uzunluğu için elde ettiğiniz esas integrali hesaplamak genelde zor olur. Ancak, alıştırmasını yapmanız gereken önemli beceri, bu integrali kurmaktır. Sonuçtaki integrali hesaplamayı düşünmeden bununla birkaç kere alıştırma yapalım (somut integrali elde ettikten sonra, bir hesap makinesi veya wolfram alpha kullanabilirsiniz).

2. Örnek: Sinüs eğrisi

y, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin x, equals, 0 ile x, equals, 2, pi arasındaki yay uzunluğunu hangi integral temsil eder?
ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, x
a, equals
b, equals

3. Örnek: Yukarı, sağa değil

Temsil eden eğriyi düşünün
y, equals, plus minus, square root of, x, end square root
x, is less than or equal to, 4 olduğu tüm değerler için. Bu eğrinin yay uzunluğunu ifade eden bir integral bulun. Ama bu sefer, her şeyi x değil, y cinsinden yazın.
ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, y
a, equals
b, equals

4. Örnek: Tam genellik

Bir f, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonunu düşünelim, bunun türevi f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis'tir. Aşağıdakilerden hangisi
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin
x, equals, a ve x, equals, b noktaları arasındaki yay uzunluğunu temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Genelde, yay uzunluğunu anlatmaya başlarken, bu formül verilir. Şahsen, bunun kişinin kendisinin keşfetmesindeki eğlenceyi yok ettiğini ve bunun gerçekten ne anlama geldiğini anlamayı zorlaştırdığını düşünüyorum.

Özet

  • Bir eğrinin uzunluğunu tanımlamak için yay uzunluğu sözcüklerini kullanırız. Eğriyi bir ip gibi düşünürseniz, bu gerdiğiniz ipin uzunluğudur.
  • Eğrinin yay uzunluğunu şu formda bir integralle bulabilirsiniz
    (dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Eğri y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonunun grafiğiyse, integraldeki d, y terimi yerine f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x koyun, sonra d, x'i dışarı alın. İntegralin sınır değerleri eğrinin en soldaki ve en sağdaki x-değerleri olacaktır.
  • Yay uzunluğunun integralini kurarken, eğri üzerinde nasıl yürümeyi seçtiğinizi düşünmek faydalı olur.