If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Parametrik eğrilerin yay uzunluğu

Parametrik bir eğrinin uzunluğunu nasıl bulursunuz? Buradan hareketle, çizgi integrali kavramına geçeceğiz.

Neye ulaşıyoruz

  • Eğrinin yay uzunluğunu bulmak için, şu formda bir integral kurun
    (dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Eğrinin parametrik olarak tanımlandığı durumla ilgileniyoruz, yani x ve y yeni bir t değişkeninin fonksiyonları olarak tanımlanmıştır. Yay uzunluğu integralini uygulamak için, önce d, x ve d, y'yi d, t cinsinden elde etmek üzere bu fonksiyonların ikisinin de türevini alın.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
    Bu ifadeleri integrale koyun ve kökten d, t, squared terimini dışarı alın.

Parametrik bir eğrinin uzunluğu

Aşağıdaki denklem kümesiyle tanımlanan parametrik eğriyi düşünün:
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, e, start superscript, minus, t, squared, end superscript
Eğer t, minus, 1, comma, 5 ile 1, comma, 5 aralığında değişirse, elde edilen eğri böyle gözükecektir:
Anahtar soru: Bu eğrinin uzunluğu nedir?
Diğer bir deyişle, sanki gevşek bir ipi sıkılaştırıyormuş gibi çizgiyi çektiğimizi, ve sonra bir cetvelle ölçtüğünüzü düşünün. Hangi değeri elde ederdiniz?
Khan Akademi video wrapper
Son makalede parametrik eğrilerin değil, fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğunun nasıl bulunduğunu gördük. Aşağıdaki integrali yazarak başladık:
(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Hızlı bir şekilde bu integralin arkasındaki anlamı özetleyelim.
  • Eğriyi bir sürü minik düz çizgilerle kestirdiğinizi varsayın.
  • Böyle çizgilerin her birinin uzunluğu, Pisagor teoremiyle verilir,
    square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root
    d, x ve d, y çizginin başından sonuna x ve y değerlerinde minik değişimi temsil eder.
Aynı integral hem parametrik eğrilere hem fonksiyon grafiklerine uygulanabilir. Bu kez, x ve y t'nin fonksiyonları olarak verilmiş olduğundan, bu iki fonksiyonun türevini alarak d, x ve d, y'yi d, t cinsinden yazıyoruz.
Örneğin, x'i tanımlayan fonksiyonun türevini alırsak, şunu elde ederiz
x=t3td(x)=d(t3t)dx=(3t21)dt\begin{aligned} x &= t^3 - t \\\\ d(x) &= d(t^3 - t) \\\\ \blueE{dx} &\blueE{= (3t^2 - 1)dt} \\\\ \end{aligned}
Benzer şekilde y ile:
y=2et2d(y)=d(2et2)dy=(2(2t)et2)dtdy=4tet2dt\begin{aligned} y &= 2e^{-t^2} \\\\ d(y) &= d(2e^{-t^2}) \\\\ dy &= (2(-2t)e^{-t^2})\,dt \\\\ \redE{dy} &\redE{= -4te^{-t^2}\,dt} \\\\ \end{aligned}
Bu ifadelerin, şu soruyu cevapladığını düşünebilirsiniz: "bir t değeri aldığınızda ve bunu küçük bir d, t miktarıyla yükselttiğinizde, bu x ve y'yi ne kadar değiştirir?" Cevap t ve d, t cinsinden ifade edilmiştir.
Bunları integrale koyarsak, şunu elde ederiz
(dx)2+(dy)2=((3t21)dt)2+((4tet2)dt)2=((3t21)2+(4tet2)2)dt2=9t46t2+1+16t2e2t2  dt\begin{aligned} \int \sqrt{(\blueE{dx})^2 + \redE{(dy)}^2} &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}dt)^2 + (\redE{(-4te^{-t^2})}dt)^2} \\ \\ &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}^2 + \redE{(-4te^{-t^2})}^2)dt^2} \\ \\ &= \int \sqrt{\blueE{9t^4 -6t^2 + 1} + \redE{16t^2e^{-2t^2}}}\;dt \\ \\ \end{aligned}
Artık integralin içindeki her şey t cinsinden yazılmıştır, onun için integrale koyduğumuz limitler t'nin başlangıç ve bitim değerleriyle eşleşir. Bu durumda, t'nin minus, 1, comma, 5 ile 1, comma, 5 arasında değişmesini istiyoruz, onun için
1,51,59t46t2+1+16t2e2t2  dt\begin{aligned} \int_{-1,5}^{1,5} \sqrt{9t^4 -6t^2 + 1 + 16t^2e^{-2t^2}}\;dt \\ \end{aligned}
Bu hesaplaması çok zor bir integraldir. Bir ters türevin varolduğundan bile emin değilim. Ancak, en azından yay uzunluğu problemini bilgisayara koyabileceğiniz bir duruma indirmiş oluyoruz.

Parametrik bir yay uzunluğu integraliyla alıştırma

Şöyle tanımlanan parametrik eğriye bakalım
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, 3, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, t, squared
Bu eğrinin t, equals, minus, 2 ile t, equals, 2 arasındaki noktalardaki parçasına bakın.
Bu doğru parçasının uzunluğu nedir?
Eğrimiz x ve y cinsinden ifade edildiğinden, yay integrallerimiz şuna benzer
dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
Bu integrali t cinsinden yazmak için, d, x ve d, y'yi t cinsinden bir ifade olarak yazmamız gerekir

1. Adım: d, x ve d, y'yi t cinsinden yazma

d, x t cinsinden nedir?
d, x, equals
d, t

d, y t cinsinden nedir?
d, y, equals
d, t

2. Adım: Bu ifadeleri integrale koyun

d, x ile d, y için bu ifadeleri yerine koyduğumuzda integralimiz neye benzer? İçinde kök olmayan noktaya kadar sadeleştirin.
integral
d, t

3. Adım: İntegrale uygun sınırlar koyun ve çözün

Problemde eğrinin minus, 2'den 2'ye kadar olduğu verilmiştir. İntegrali bu sınırlarla çözün.

Bir sonraki nedir?

Yay uzunluğu parametrik eğrileri, çok değişkenli analizde temel bir kavram olan çizgi integrallerini öğrenmeye başlamak için doğal bir başlangıç noktasıdır. Bunu yaparken işlerin çok karmaşıklaşmasını önlemek için, ilk olarak bu yay uzunluğu integralleri için daha derli toplu bazı gösterimlerin üstünden geçmeliyim, bunları bir sonraki makalede bulabilirsiniz.

Özet

  • Eğrinin yay uzunluğunu bulmak için, şu formda bir integral kurun
    (dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Eğri parametrik olarak tanımlandığında, x ve y t cinsinden fonksiyonlar şeklinde verildiğinde, d, x ile d, y'yi d, t cinsinden elde etmek için iki tarafın türevini alın.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
    bu ifadeleri integrale koyun ve kökten d, t, squared terimini dışarı alın.