Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 2: Skaler Fonksiyonların Çizgi İntegrali (Makaleler)

Parametrik eğrilerin yay uzunluğu

Google Classroom

Parametrik bir eğrinin uzunluğunu nasıl bulursunuz? Buradan hareketle, çizgi integrali kavramına geçeceğiz.

Arka plan:

Neye ulaşıyoruz

Eğrinin yay uzunluğunu bulmak için, şu formda bir integral kurun
$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍
Eğrinin parametrik olarak tanımlandığı durumla ilgileniyoruz, yani $x$ ‍ ve $y$ ‍ yeni bir $t$ ‍ değişkeninin fonksiyonları olarak tanımlanmıştır. Yay uzunluğu integralini uygulamak için, önce $d x$ ‍ ve $d y$ ‍'yi $d t$ ‍ cinsinden elde etmek üzere bu fonksiyonların ikisinin de türevini alın.
$d x = \frac{d x}{d t} d t$ ‍
$d y = \frac{d y}{d t} d t$ ‍
Bu ifadeleri integrale koyun ve kökten $d t^{2}$ ‍ terimini dışarı alın.

Parametrik bir eğrinin uzunluğu

Aşağıdaki denklem kümesiyle tanımlanan parametrik eğriyi düşünün:

$x (t) = t^{3} - t$ ‍

$y (t) = 2 e^{- t^{2}}$ ‍

Eğer

t

- 1, 5

ile

1, 5

aralığında değişirse, elde edilen eğri böyle gözükecektir:

Anahtar soru: Bu eğrinin uzunluğu nedir?

Diğer bir deyişle, sanki gevşek bir ipi sıkılaştırıyormuş gibi çizgiyi çektiğimizi, ve sonra bir cetvelle ölçtüğünüzü düşünün. Hangi değeri elde ederdiniz?

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Son makalede parametrik eğrilerin değil, fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğunun nasıl bulunduğunu gördük. Aşağıdaki integrali yazarak başladık:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

Hızlı bir şekilde bu integralin arkasındaki anlamı özetleyelim.

Eğriyi bir sürü minik düz çizgilerle kestirdiğinizi varsayın.
Böyle çizgilerin her birinin uzunluğu, Pisagor teoremiyle verilir,
$\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍
$d x$ ‍ ve $d y$ ‍ çizginin başından sonuna $x$ ‍ ve $y$ ‍ değerlerinde minik değişimi temsil eder.

Aynı integral hem parametrik eğrilere hem fonksiyon grafiklerine uygulanabilir. Bu kez,

x

y

t

'nin fonksiyonları olarak verilmiş olduğundan, bu iki fonksiyonun türevini alarak

d x

d y

'yi

d t

cinsinden yazıyoruz.

Örneğin,

x

'i tanımlayan fonksiyonun türevini alırsak, şunu elde ederiz

$\begin{aligned} x & = t^{3} - t \\ d (x) & = d (t^{3} - t) \\ d x & = (3 t^{2} - 1) d t \end{aligned}$ ‍

Benzer şekilde

y

ile:

$\begin{aligned} y & = 2 e^{- t^{2}} \\ d (y) & = d (2 e^{- t^{2}}) \\ d y & = (2 (- 2 t) e^{- t^{2}}) d t \\ d y & = - 4 t e^{- t^{2}} d t \end{aligned}$ ‍

Bu ifadelerin, şu soruyu cevapladığını düşünebilirsiniz: "bir

t

değeri aldığınızda ve bunu küçük bir

d t

miktarıyla yükselttiğinizde, bu

x

y

'yi ne kadar değiştirir?" Cevap

t

d t

cinsinden ifade edilmiştir.

Bunları integrale koyarsak, şunu elde ederiz

$\begin{aligned} \int \sqrt{(d x)^{2} + {(d y)}^{2}} & = \int \sqrt{((3 t^{2} - 1) d t)^{2} + ((- 4 t e^{- t^{2}}) d t)^{2}} \\ = \int \sqrt{({(3 t^{2} - 1)}^{2} + {(- 4 t e^{- t^{2}})}^{2}) d t^{2}} \\ = \int \sqrt{9 t^{4} - 6 t^{2} + 1 + 16 t^{2} e^{- 2 t^{2}}} d t \end{aligned}$ ‍

Artık integralin içindeki her şey

t

cinsinden yazılmıştır, onun için integrale koyduğumuz limitler

t

'nin başlangıç ve bitim değerleriyle eşleşir. Bu durumda,

t

'nin

- 1, 5

ile

1, 5

arasında değişmesini istiyoruz, onun için

$\begin{array}{r} \int_{- 1, 5}^{1, 5} \sqrt{9 t^{4} - 6 t^{2} + 1 + 16 t^{2} e^{- 2 t^{2}}} d t \end{array}$ ‍

Bu hesaplaması çok zor bir integraldir. Bir ters türevin varolduğundan bile emin değilim. Ancak, en azından yay uzunluğu problemini bilgisayara koyabileceğiniz bir duruma indirmiş oluyoruz.

Parametrik bir yay uzunluğu integraliyla alıştırma

Şöyle tanımlanan parametrik eğriye bakalım

$x (t) = t^{3} - 3 t$ ‍

$y (t) = 3 t^{2}$ ‍

Bu eğrinin

t = - 2

ile

t = 2

arasındaki noktalardaki parçasına bakın.

Bu doğru parçasının uzunluğu nedir?

Eğrimiz

x

y

cinsinden ifade edildiğinden, yay integrallerimiz şuna benzer

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

Bu integrali

t

cinsinden yazmak için,

d x

d y

'yi

t

cinsinden bir ifade olarak yazmamız gerekir

1. Adım: $d x$ ‍ ve $d y$ ‍'yi $t$ ‍ cinsinden yazma

d x

t

cinsinden nedir?

$d x =$ ‍
$d t$ ‍

d y

t

cinsinden nedir?

$d y =$ ‍
$d t$ ‍

2. Adım: Bu ifadeleri integrale koyun

d x

ile

d y

için bu ifadeleri yerine koyduğumuzda integralimiz neye benzer? İçinde kök olmayan noktaya kadar sadeleştirin.

$\int$ ‍
$d t$ ‍

3. Adım: İntegrale uygun sınırlar koyun ve çözün

Problemde eğrinin

- 2

'den

2

'ye kadar olduğu verilmiştir. İntegrali bu sınırlarla çözün.

$\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} (3 t^{2} + 3) d t & = {[t^{3} + 3 t]}_{- 2}^{2} \\ = (2^{3} + 3 (2)) - ((- 2)^{3} + 3 (- 2)) \\ = 14 - (- 14) \\ = 28 \end{aligned}$ ‍

O zaman belli ki, bu eğrinin uzunluğu

28

'dir. Resme baktığımızda bu doğru gibi görünüyor. Eğri yaklaşık

y \approx 12

'den başlıyor,

x

-eksenine iniyor ve sonra geri dönüyor, bu da en az 24 birim uzunluk alıyor. Biraz kıvrımlı olduğundan, aşağı ve yukarı giderken sola ve sağa dolaştığından, gerçek uzunluk

24

'ten birazcık fazladır.

Bir sonraki nedir?

Yay uzunluğu parametrik eğrileri, çok değişkenli analizde temel bir kavram olan çizgi integrallerini öğrenmeye başlamak için doğal bir başlangıç noktasıdır. Bunu yaparken işlerin çok karmaşıklaşmasını önlemek için, ilk olarak bu yay uzunluğu integralleri için daha derli toplu bazı gösterimlerin üstünden geçmeliyim, bunları bir sonraki makalede bulabilirsiniz.

Özet

Eğrinin yay uzunluğunu bulmak için, şu formda bir integral kurun
$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍
Eğri parametrik olarak tanımlandığında, $x$ ‍ ve $y$ ‍ $t$ ‍ cinsinden fonksiyonlar şeklinde verildiğinde, $d x$ ‍ ile $d y$ ‍'yi $d t$ ‍ cinsinden elde etmek için iki tarafın türevini alın.
$d x = \frac{d x}{d t} d t$ ‍
$d y = \frac{d y}{d t} d t$ ‍
bu ifadeleri integrale koyun ve kökten $d t^{2}$ ‍ terimini dışarı alın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs