If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Skaler alanda çizgi integralleri

Adına iz integrali veya eğri integrali de denilen, çizgi integrallerini hesaplamayı ve yorumlamayı öğrenin.

Neye ulaşıyoruz

  • Normal bir integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x integrali x ekseni boyunca giderken belirli çok küçük miktarları toplamanızı sağlar, bir çizgi integrali integral, start subscript, C, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, s buna benzer şekilde x, y düzlemindeki bir eğri boyunca giderken çok değişkenli f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonuna göre belirli miktarları toplamanızı sağlar.
  • Eğer bir C eğrisi t, equals, a ve t, equals, b değerleri arasında bir vektör değerli fonksiyon start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis ile parametrelendirilmişse, çizgi integrali aşağıdaki gibi yazılır:
    Cfds=abf(r(t))r(t)dt\begin{aligned} \int_C {f}\,{ds} = \int_a^b {f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, {|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}
  • Bu durumda, f skaler değerli bir fonksiyondur, onun için bu sürece "skaler alanda çizgi integrali alma" deriz, böylece bunu bir sonraki konuda yapacağımız ilgili bir fikirden ayırt ederiz: vektör alanında çizgi integrali.

Çizgi integrali nedir

Son makalede, bir yay uzunluğu integrali için bir sunum göstermiştim:
Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
  • d, s terimi, eğri boyunca uzunluktaki küçük bir değişikliği gösterir.
  • C, sadece bizim eğriye verdiğimiz bir isimdir. Bunu integralin tabanına koymak, bu integral, start subscript, C, end subscript gibi, integrale gerçek sınırlar koyma gereksinimini ertelemenin bir yoludur.
Çizgi integralleri, integralin içine bir çok değişkenli fonksiyon koyarak bu fikri genişletir,
Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}
Bu integrali şöyle düşünebilirsiniz
"Hey, eğri boyunca d, s büyüklüğünde küçük adımlar atarak yürürken, sadece bu adımların büyüklüklerini toplamak yerine, her adım büyüklüğünü durduğunuz noktadaki f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonunun değeriyle çarpın."
Aşağıdaki animasyon, bunu daha aşina olduğunuz, bir eğrinin altındaki alanı bulma fikriyle ilişkilendirir. x, y düzlemindeki C eğrisi boyunca üç boyutlu f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinin altındaki katlanmış bir perdeyi düşünün. Çizgi integrali, o perdenin alanını verir. (İlk görsel, f fonksiyonunun renkli bir eşyükselti grafiğidir).
Bu perdenin alanının sonsuz sayıda, sonsuz incelikte dikdörtgenlerden oluştuğunu gözünüzde canlandırırsınız. Her bir dikdörtgenin sonsuz küçüklükteki tabanı d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, eğri boyunca minik bir adımın boyutudur. Her bir dikdörtgenin yüksekliği f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'dir, f'nin grafiğinin bu noktadaki yüksekliği.

Çizgi integralleri için vektör gösterimi

Yukarıdaki animasyonun sonunda, çizgi integrali şöyle yazılmıştır:
Cfds=abf(r(t))r(t)dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}
Buradaki her parçanın ne anlama geldiğine bakalım.

C'nin parametrizasyonu

start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, C eğrisini parametrelendiren bir vektör değerli fonksiyondur. İki boyutta, bunun gibi gözüken bir şey olabilir:
r(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}
İntegralin sınırları, a ve b, eğrinin nerede başladığını ve bittiğini belirleyen t değerleridir.
Bu, t değeri a ve b arasında değişirken, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vektörünün ucunun C eğrisini izlediği anlamını taşır.

f'nin parametrizasyonla bileşkesini alma

start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99'yi hesaplamak, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nün x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis bileşenlerini almak ve bunları f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin girdileri olarak koymak anlamına gelir:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis
Bunu şu şekilde düşünebilirsiniz: Verilen bir t değeri bizi x, y düzleminde start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vektörünün ucuyla gösterilen bir noktaya koyar. Sonra start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, f fonksiyonunun düzlemdeki o noktadaki değerini verir.

d, s türevin büyüklüğüdür (çarpı d, t)

Eğrideki küçük bir adımı temsil eden d, s terimi, start color #bc2612, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t, end color #bc2612 olarak açılır; bu start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin türevi çarpı d, t'nin büyüklüğüdür.
Sezgisel olarak bunun nedeni, türevin "girdiyi biraz d, t değeriyle ittiğinizde ne olur?" sorusuna cevap vermesidir. Cevap, çıktının x, y-düzleminde start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t vektörü boyunca itilmesidir. Çıktı uzayındaki bu itmenin büyüklüğü, eğri boyunca bir d, s adımının boyutunu, d, t parametre uzayında bir fonksiyon cinsinden verir.
Bunu square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root söylemenin kompakt vektör gösterimi olarak görebilirsiniz:
r(t)dt=[x(t)y(t)]dt=(x(t))2+(y(t))2dt=(x(t))2dt2+(y(t))2dt2=(x(t)dt)2+(y(t)dt)2=(dx)2+(dy)2\begin{aligned} |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt &= \left|\left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right]\right|dt \\ &= \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt \\ &= \sqrt{(x'(t))^2 dt^2 + (y'(t))^2dt^2} \\ &= \sqrt{(x'(t)dt)^2 + (y'(t)dt)^2} \\ &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ \end{aligned}
Bunların hepsini bir araya getirdiğimizde, bir çizgi integralin vektörle gösterimini elde ederiz:
Cfds=abf(r(t))r(t)dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}

1. Örnek: Basit bir çizgi integralini hesaplama

C, merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 2 olan bir dairenin dörtte birini temsil ediyor olsun. Bu çeyrek daire, birinci çeyrek düzlemde bulunmaktadır.
Bu çeyrek daireyi aşağıdaki fonksiyonla tanımlayabiliriz:
r(t)=[2cos(t)2sin(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Eğer t'nin 0 ile pi, slash, 2 arasında değişmesine izin verirsek, bu C'nin çevresini izler.
f çok değişkenli fonksiyonu şöyle tanımlanır:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, y
Hedefimiz çizgi integralini bulmaktır
Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}
Aşağıdaki video, C eğrisi boyunca f'nin grafiğinin altındaki "perde"nin neye benzediğini gösterir. Yarı saydam beyaz düzlem f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, y'nin grafiğidir, ve mavi yüzey alanını hesapladığımız perdedir.
Khan Akademi video wrapper

1. Adım: d, s'yi d, t cinsinden yazın

Eğri boyunca küçük bir adımın büyüklüğü d, s, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin türevi çarpı d, t büyüklüğüyle verilir,
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t
Örneğimizde d, s'i çözün.
Referans olarak, eğrimizin parametrizasyonu, r(t)=[2cos(t)2sin(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
d, s, equals
d, t

2. Adım: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'yi t cinsinden yazın

Bu durumda f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis ne olur?
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

3. Adım: İntegrali tamamen t cinsinden yazın ve çözün

Önceki iki adımdan, integralimiz şu hali alır
Cf(x,y)ds=C(2cos(t)+2sin(t))  2dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f(x, y)} \redE{ds} = \int_C (\blueE{2\cos(t) + 2\sin(t)})\; \redE{2dt} \end{aligned}
C'nin parametrelendirilmesi t'nin 0'dan start fraction, pi, divided by, 2, end fraction'ye gitmesine ilişkin olduğundan, integralin sınırları bunlardır. Şimdi integrali çözün.
0π/2(2cos(t)+2sin(t))  2dt=\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}({2\cos(t) + 2\sin(t)})\; {2dt} \end{aligned} =

2. Örnek: Daha karmaşık uygulama

Prensipte, anladığınızda çizgi integralini bulmak o kadar da zor değildir. Sadece d, s termini açmayı bilmeniz, ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonunun girdilerini parametrizasyonun cinsinden yeniden yazmanız gerekir. Bunu kurmayı bilmek biraz alıştırma gerektirir, burada da bunu yapıyoruz.
Aslında, çizgi integrallerini hesaplamak çok zor olabilir. Bunların çoğu, sonunda cevap elde etmek için integrali bir bilgisayara girmeniz gereken bir duruma gelir, ama integralin çözülebilir olduğu durumlarda ile, içerdiği sayılar çabucak hantallaşabilir.
Bir sonraki örnek, nispeten basit integraller için bile bir çizgi integralini tamamen hesaplamanın çok zor bir problem olabileceğini gösterir. Bu örneği çözmek isterseniz, kurşun kalem ve müsvedde kağıdı yanınızda bulundurmalısınız.
C aşağıdaki fonksiyonla tanımlanmış eğri olsun:
s(t)=[1t+15t5t2]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{5} t^5 \\\\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}
1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 aralığında.
f, bu fonksiyon olsun:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared
Çizgi integralini hesaplama
Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}

1. Adım: d, s'yi d, t cinsinden yazın

d, s, equals
d, t

2. Adım: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin yerine f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis koyun

start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis bileşenlerini f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared'ye koyduğunuzda ne elde edersiniz?
f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

3. Adım: İntegrali çözün

Önceki iki adımdan cevapları integrale koyun, ve sonra çözün Eğri 1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 için tanımlı ve integralimiz artık t cinsinden verildiğinden, integralin sınırları 1 ve 2 olur.
(Uyarı, bunu hesaplaması oldukça çirkinleşir, onun için zamanı geldiğinde hesap makinesine koymaktan çekinmeyin.)
12f(s(t))s(t)dt=\begin{aligned} \int_1^2 f(\vec{\textbf{s}}(t))\,|\vec{\textbf{s}}'(t)|dt \end{aligned} =

Dikkat ederseniz, bu problemin zor tarafı çizgi integralinin yeni prensipleri değiş, d, s'yi açmak ve gerisidr. Bunu zor yapan, içindeki terimlerin karmaşıklığının hızla artmasıdır.
(Ayrıca, eğer bunun kötü olduğunu düşünüyorsanız, bir de yüzey integrallerine geldiğimizde görün :)

Skaler alanda çizgi integralleri

Üstte yazılı olan kısımda, f fonksiyonu skaler değerli bir fonksiyondur, yani çıktısı (vektör değil) sayıdır. Vektör değerli bir fonksiyonun bir eğri boyunca integralini aldığınız çizgi integrallerinde biraz farklılık bulunur, buna bir sonraki makalede değineceğiz.
Bu fikirlerin arasındaki farkları belirtmek için, şimdi yaptığımız her şeyin skaler alanda çizgi integrali ve bunun alternatifinin vektör alanında çizgi integrali olduğunu söyleyebiliriz. "Skaler alan" terimi çok değişkenli bir fonksiyonun ne yaptığını düşünmenin başka bir yoludur: x, y-düzlemindeki herhangi bir noktayı bir skalerle (yani sayı) eşleştirir ki, düzlemin tamamı, birinin içinde bir izde yürümesini ve integral almasını bekleyen bir sayı alanı gibi olur.