If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Bir eğri boyunca integral alma gösterimi

Yay uzunluğu integrallerini ifade etmenin çok sade bir şekli vardır, bu da çizgi integrallerini yazmak için bir temel oluşturur.

Neye ulaşıyoruz

  • Yay uzunluğu integrali
    dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
    alternatif olarak şöyle yazılabilir
    Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
    burada C eğriyi temsil eder, ve d, s square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root'nin kısaltılmışıdır, eğri boyunca minicik bir adımın uzunluğunu temsil eder.
  • Parametrik eğri bir start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vektör değerli fonksiyonuyla a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b aralığında verildiğinde, yay uzunluğu integrali şuna benzer
    abr(t)dt\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}
    Başka bir deyişle, eğri boyunca d, s küçük adımı, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis türevinin büyüklüğüdür
  • Bu, çizgi integralleri için standart gösterimdir, ve bir sonraki makalede tanıtılacaktır.

Yay uzunluğunu kısaca yazma

Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluklarını ve parametrik eğrilerin yay uzunluğunu bulmayı konuşurken, şu şekilde bir integral kurmakla başladık
dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
Her zaman yay uzunluğunda minik bir değişimi square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root olarak göstermek yerine, yaygın bir kuralı bu minik değişimi d, s olarak ifade etmektir.
d, s'yi bahsettiğimiz eğri boyunca minik bir adım olarak düşünürsünüz, d, x'in x-yönünde veya d, y'nin y-yönünde minik bir adım olması gibi.

Sınır koyma zorluğu

Bu son birkaç makalede, integrallere sınır koymayı erteledik
(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
(artık bunun sadece integral, d, s olarak yazabileceğimizi biliyoruz.)
İntegralin içindeki her şey x cinsinden yazılsaydı, limitler x değerlerini yansıtırdı. Her şey t cinsinden olsaydı, limitler t değerlerini yansıtırdı, vb.
Bu integralin bu kadar çıplak durmasından rahatsızlık duyuyorsanız, ama hangi değişkenin sınırlara sahip olduğuyla ilgili bir taahhütte bulunmak istemiyorsanız, şöyle yaparsınız. Şöyle dersiniz,
"C şöyle tanımlanan eğri olsun . . ."
ve eğrinizi tanımlamaya devam ederseniz. Sonra, integralinizi altta küçük bir C ile yazarsınız:
Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
Bu, bunu okuyan kişiden C eğrisinin tanımlı olduğu yeri bulmasını, sonra hesaplama zamanı geldiğinde, ilgili sınır değerlerini koymasını ister.
Bir yandan, bu gösterim o kadar basittir ki, neredeyse anlamsızdır. Şöyle okuyabilirsiniz
"C'nin yay uzunluğu, C'de küçük adımlar boyunca C üzerindeki integraldir"
Saçma, değil mi? Bu yay uzunluğu problemini çözmenin detaylarını siler, d, s'yi genişletir ve C'nin tanımını integrale kodlar.
Ancak, esase amaç budur. Yay uzunluğu integrallerinden bahsetmenin nedenlerinden biri de, çizgi integralleri için ortamı hazırlamaktır. Çizgi integrallerine geldiğimizde, eğrinin ve minik yay uzunluğu d, s'nin detaylarının gösterimine kaymasını istemiyoruz. Uğraşmamız gereken başka şeyler olacak. Bu bağlamda, yay uzunluğunu integral, start subscript, C, end subscript, d, s kadar basit bir şeye soyutlamak istediğimizden fazla bir sadeleştirme olur.

Vektör analizi dilinde

Vektör analizinde, parametrik bir eğriyi bir parametrik denklem kümesi gibi görmekten uzaklaşırız
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, sine, left parenthesis, t, right parenthesis
Bunun yerine, bu eğrileri tek vektör değerli fonksiyonun çıktıs olarak düşünürüz,
r(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Bunun gibi vektör değerli bir fonksiyonun türevi, başka bir vektör değerli fonksiyon verir,
r(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Bu bize, eğri boyunca minik bir adımın uzunluğu olan d, s'yi ifade etmenin çok güzel bir yolunu verir:
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t
Bu neden doğrudur? Bunun bir yolu, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t'yi açmak ve sadeleştirmektir. Bunu deneyin!
Alternative olarak, vektör-türevlerini nasıl yorumladığımızı düşünelim. Parametre uzayı olarak da bilinen girdi uzayında bir t, start subscript, 0, end subscript noktasında durduğunuzu, ve d, t boyutunda minik bir dürtme aldığınızı gözünüzde canlandırın, sizi t, start subscript, 0, end subscript, plus, d, t noktasına taşısın.
start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis türev vektörü, eğri boyunca çıktı uzayındaki sonuç "itmesidir". Bu miktarı minik bir d, t miktarıyla çarptığımızda
start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t,
bunu eğri boyunca, minik bir adım düşünmek faydalıdır.
Teknik olarak, bu teğet yönünde minik bir adımdır, bu da eğriden biraz uzakta olabilir. Ancak, d, t 0'a yaklaştıkça, teğet yönünde bir adımla eğri boyunca bir adım aynı şey olarak görülebilir.
Bu vektörün büyüklüğü eğri boyunca küçük adımımızın boyutudur, d, s.
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, vertical bar, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t,
Bu, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonunun t, equals, a ile t, equals, b arasında tanımlanan parametrik eğrisi için yay uzunluğunun şu şekilde olduğu anlamına gelir
abr(t)dt\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}
Aslında bunu hesaplamak, bu eğrileri bir denklem kümesi olarak düşündüğümüz durumla aynıdır, çünkü vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t hep square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root şeklinde açılır. Ancak, insanlar genelde bu gösterimi tercih ederler. Birincisi bu daha toplu bir gösterimdir, ve ikincisi de daha büyük boyutlara iyi genellenir.

Çizgi integrallerine doğru ileri!

Bu gösterim, ve bunun eğri boyunca minik adımlar gösterdiği bilgisinin gücüyle, artık çizgi integrallerini öğrenmeye hazırsınız.