If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 4: Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların İntegralini Alma
Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Konservatif vektör alanları

Google Classroom
Özellikle fizikte önemli olan konservatif vektör alanları, aynı iki noktayı birleştiren iki iz boyunca alınan integrallerin eşit olduğu alanlardır.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Bu makalenin sonunda, bu paradoksal Escher çiziminin konservatif vektör alanlarının özüne nasıl indiğini göreceksiniz.
  • Bir start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanı, eğer aşağıdaki üç özellikten bir tanesini karşılıyorsa bir korunumlu vektör alanı olarak adlandırılır (özelliklerin hepsi makalede tanımlanmıştır):
    • start bold text, F, end bold text için çizgi integralleri yoldan bağımsızdır.
    • Kapalı döngülerdeki çizgi integralleri start bold text, F, end bold text hep 0'dır.
    • start bold text, F, end bold text skaler değerli bir fonksiyonun gradyanıdır, yani bir g fonksiyonu için, start bold text, F, end bold text, equals, del, g.
  • Bunlara denk başka bir özellik vardır: start bold text, F, end bold text irrotasyoneldir, yani rotasyoneli her yerde sıfırdır (küçük bir uyarıyla). Ancak, bunu rotasyoneli çizgi integrali cinsinden tanımlayan başka bir makalede ele alacağım.
  • Buradaki ana fikir sadece konservatif vektör alanının tanımı değildir, üstte listelenen birbirinden farklı görünen koşulların birbirine eşit olduğu gerçeğidir. Çılgınlık!

Doğrusal bağımsızlık

Herhangi bir start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanı olduğunu düşünün, ve her biri A noktasından başlayan ve B noktasında biten iki ayrı iz C, start subscript, 1, end subscript ve C, start subscript, 2, end subscript boyunca start bold text, F, end bold text integrallerini düşünün
Neredeyse tüm start bold text, F, end bold text vektör alanları, ve neredeyse C, start subscript, 1, end subscript ile C, start subscript, 2, end subscript yollarının tüm seçenekleri için, bu integraller farklı olur.
∫C1F⋅ds≠∫C2F⋅ds←Neredeyse daima dog˘ru\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \ne \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \quad \leftarrow \text{Neredeyse daima doğru} \end{aligned}
Ve bu mantıklıdır! Her bir integral uzaydaki farklı noktalarda tamamen farklı değerler toplamaktadır. Şaşırtıcı olan şey ise, (sonsuz sayıda iz arasından) hangi izi seçersek seçelim aynı iki noktayı birleştiren farklı izlerin her zaman eşit olduğu bazı vektör alanlarının bulunmasıdır.
Bir önceki makalede, gradyan teoreminin üstünde geçerken, skaler değerli bir del, f fonksiyonunun gradyanı olan özel vektör alanları durumunda, bu sihirli özelliğin doğru olduğunu gördük. Aynı iki A ve B noktasını birleştiren farklı izlerdeki çizgi integrallerinin değeri hep aynı olur:
∫C1∇f⋅ds=f(B)−f(A)⏟Gradyan teoremininsonucu=∫C2∇f⋅ds\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{s} = \underbrace{ f(B) - f(A) }_{\substack{ \text{Gradyan teoreminin} \\ \text{sonucu} }} = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
Tanım: Bu özelliğe izden bağımsızlık denir. Özellikle, bir start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanında bir çizgi integralinin izden bağımsız olması için, integralin değerinin sadece izin başladığı ve bittiği noktalara bağlı olması, ve aradaki iz seçimine bağlı olmaması gerekir.
Aslında, gradyan teoremini düzgün bir şekilde anladığınızda, bu ifade tamamen büyüleyici olmaz. Bunun nedeni, f'nin gradyanının tersine olan çizgi integrallerinin f'nin değerindeki değişimi ölçmesidir. Bunu f'nin grafiğiyle görselleştirirsek, sizi bir noktadan diğerine götüren herhangi iki izin yüksekliğinizi aynı miktarda değiştirdiğini söylemiş oluruz.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu sonucun ana fikri, gradyan alanların çok özel vektör alanları olduğudur. İz bağımsızlığı özelliği çok nadir olduğundan, bir bakıma, "çoğu" vektör alanı gradyan alanı olamaz.

Doğrusal bağımsızlık gradyan alanı anlamına gelir

Tamam, bu gradyan alanları bu yol bağımsızlığı özelliği nedeniyle özeldir. Ancak, tüm çizgi integrallerinin yoldan bağımsız olduğu, ama skaler değerli bir fonksiyonun gradyanı olmayan bir start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanı bulabilir misiniz?
Galiba bölüm başlığı ve girişi şöyle vererek cevabı ele verdim: Çizgi integrallerinin izden bağımsız olduğu tüm vektmr alanları bir fonksiyonun gradyanı olmalıdır. Ama neden?
Gerçekten de, bu neden doğru olsun? Çizgi integrallerinin yoldan bağımsız olduğu, rastgele bir start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanını düşünün
∫C1F⋅ds=∫C2F⋅ds\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} = \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
aynı iki A ve B noktalarını birleştiren tüm C, start subscript, 1, end subscript ve C, start subscript, 2, end subscript yolları için. Bu özellikte, del, g, equals, start bold text, F, end bold text olacak şekilde bir g fonksiyonunun varlığını garantileyen nedir?
Zor soru: Böyle bir g fonksiyonunu start bold text, F, end bold text'nin yoldan bağımsız olduğunu kullanarak start bold text, F, end bold text cinsinden oluşturmak için bir yol düşünebilir misiniz?
Bu zor bir sorudur, ama ilham için gradyan teoremine bakmak faydalı olabilir.

Kapalı döngüler

Tanım: Eğer bir yol aynı noktada başlıyor ve bitiyorsa, bu yol kapalı olarak tanımlanır. Böyle yollar genelde kapalı döngüler olarak adlandırılır.
Örneğin, aşağıda gösterilen C yolu A'da başlar ve biter.
Eğer tüm çizgi integrallerinin yol bağımsız olduğu bir start bold text, F, end bold text vektör alanı alırsak, herhangi bir kapalı döngüde start bold text, F, end bold text'nin çizgi integrali 0 olacaktır. Neden?
Bunun tersi de doğrudur: Eğer start bold text, F, end bold text'nin tüm kapalı döngülerdeki çizgi integrallerinin değeri 0 ise, bu durumda tüm çizgi integralleri yol bağımsız olmalıdır. Neden?

Kapalı-döngüdeki integraller için çılgın bir gösterim.

Bazen bir C kapalı döngüsündeki çizgi integralini şöyle yazılmış görürsünüz
∮CF⋅dr\begin{aligned} \oint_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}
Endişelenmeyin, bu öğrenilmesi gereken yeni bir işlem değildir. Bu sadece bir çizgi integraldir, daha önce yaptığımız şekilde hesaplanmıştır, ancak okuyucuya C'nin bir kapalı döngü olduğunu vurgulamak amacı taşımaktadır.

Potansiyel enerji

Vektör alanında çizgi integrallerini tanıtan makalede, fizikte hareketli bir nesnede bir kuvvetin yaptığı işin, kuvvetin vektör alanının hareket izinde çizgi integralinin alınmasıyla hesaplandığından kısaca bahsetmiştim.
W=∫CF⋅ds\begin{aligned} W = \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
Bir kuvvetin bir nesneye A noktasından başka bir B noktasına giderken yaptığı iş, hangi iz olursa olsun, aynıysa, kuvvete konservatif deriz. Başka bir deyişle, bu integral her zaman izden bağımsızsa. Yerçekimi ve elektriksel kuvvet gibi temel kuvvetler konservatiftir, ve konservatif olmayan kuvvetin olmazsa olmaz örneği sürtünme kuvvetidir.
Bu, üstteki tartışmaya göre ilginç bir sonuç verir: Bir kuvvet konservatifse, bir fonksiyonun gradyanı olmalıdır.
start bold text, F, end bold text, equals, del, U
Ayrıca, gradyan teoremine göre, A noktasından B noktasına giderken bu kuvvetin bir nesneye yaptığı iş, her noktada bu U fonksiyonunun değeri hesaplanarak bulunabilir:
W=∫CF⋅ds=∫C∇U⋅ds=U(B)−U(A)\begin{aligned} W &= \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \\\\ &= \int_C \nabla U \cdot d\textbf{s} \\\\ &= U(B) - U(A) \end{aligned}
Aranızdaki fizik öğrencilerinin tahmin edebileceği gibi, bu U fonksiyonu potansiyel enerjidir. Örneğin, yerçekimi potansiyeli veya elektrik potansiyelinin gradyanını alırsanız, sırasıyla yerçekimsel kuvveti veya elektriksel kuvveti elde edersiniz. Bu nedenle, konservatif bir kuvvetin yaptığı işi hesaplamak, potansiyel enerjileri karşılaştırmak olarak sadeleştirilebilir.
Sürtünme kuvveti konsevatif olmadığından, bu, "potansiyel sürtünme enerjisi" de olmadığı anlamına gelir.

Escher

Fizikten sanata dönersek, M.S. Escher'in klasik tablosu "Çıkış ve İniş" yerçekimi konservatif olmayan bir kuvvet olsaydı, dünyanın neye benzeyeceğini gösterir.
Kapalı döngü bakış açısı:
  • Bu merdivende saat yönünde yürüdüğünüzü gözünüzde canlandırın. Her bir adımda, yerçekimi üzerinizde negatif iş yapar. Böylece, tam çembersel döngüde işin integralini aldığınızda, yerçekiminin üzerinizde yaptığı iş gayet negatif olur. Ancak, bu kapalı bir döngüde bir integraldir, yani sıfır dışı olması gerçeği üzerinizde etki eden kuvvetin konservatif olamayacağıdır.
Yol bağımsızlığı bakış açısı
  • Sağ köşedeki kuleden sol köşeye yürüdüğünüzü gözünüzde canlandırın. Buraya saat yönünde bir izle ulaşırsanız, yerçekimi üzerinizde negatif iş yapar. Saat yönünün tersine bir izle ulaşırsanız, yerçekimi pozitif iş yapar. İki iz de aynı noktadan başladığı ve aynı noktada bittiği için, iz bağımsızlığı geçersizdir, bunun için yerçekimi kuvvet alanı konservatif olamaz.
Gradyan bakış açısı:
  • Gerçek hayal'a, yerçekimsel potansiyel yükseklikle eşleşir, çünkü yerçekiminin yaptığı iş yükseklikteki bir değişimle orantılıdır. Escher'in çizimini çarpıcı yapan şey ise, yükseklik fikrinin mantıklı gelmemesidir. Aşağı basamak olmamasına rağmen, "yukarı" birçok basamağın sizi aynı noktaya ulaştırması. Bu, del, U'nun yerçekimi alanını verdiği potansiyel bir U fonksiyonu olmamasıyla eşleşir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.