İki boyutta akı

Arka plan

• Skaler alanda çizgi integralleri
• Vektör alanları

Neye ulaşıyoruz

• Bir $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisinin çevrelediği bir bölge, ve bir $\blueE{F}(x, y)$start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanının belirlediği bir sıvı akışı verildiğinde, (yoğunluğunun $1$1 olduğu varsayılan) bir sıvının bu bölgeden çıkma hızı aşağıdaki çizgi integraliyle ölçülebilir:

  $\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{bölgedeki sıvının kütlesi})}{dt} }_{\text{Kütlenin bölgeyi terk ettiği hız}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}$

  Burada, $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisindeki tüm noktalarda dışa doğru birim normal vektörü veren fonksiyondur.
• Bu $\displaystyle \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{ds}$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 integrali ''akı integrali'' veya bazen ''iki boyutta akı integrali'' olarak adlandırılır, zira üç boyutta buna benzer başka bir gösterim vardır.
• Sıvı gibi, bir şeyin akıyormuş gibi düşünüldüğü iki boyutlu herhangi bir bağlamda, iki boyutlu akı, bir eğriden akış hızının bir ölçümüdür. Genelde, eğri mutlaka kapalı bir döngü değildir.

Bir bölgede sıvı kütlesini değiştirme

Önemli soru: $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ile çevrelenmiş bölgenin içindeki sıvı kütlesinin anlık değişim hızını nasıl ölçeriz?

Her seferinde birazcık uzunluk

• Paralelkenarın tabanı, bu minicik doğru parçasının uzunluğudur. Buna $\Delta s$delta, s diyelim.
• Minik parçadaki bir noktada başlayan bir sıvı parçacığının yer değiştirme vektörü $\textbf{v} \Delta t$start bold text, v, end bold text, delta, t olur, burada $\textbf{v}$start bold text, v, end bold text sıvının by noktadaki hız vektörüdür, ve $\Delta t$delta, t sıvının aktığı süredir.
• Paralelkenarın yüksekliği, $\textbf{v} \Delta t$start bold text, v, end bold text, delta, t yer değiştirme vektörünün parçaya dik bileşenidir. Bunu çıkarmak için, $\textbf{v} \Delta t$start bold text, v, end bold text, delta, t ile $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisine dik bir normal vektörün iç çarpımını alırız. Bu birim normal vektöre $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f adını verelim.

Birim zamanda dışarı çıkan kütle $= (\vec{\textbf{v}} \cdot \hat{\textbf{n}})(\Delta s)$equals, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, dot, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, left parenthesis, delta, s, right parenthesis

Hepsini bir integralle bir araya toplama

• $\blueE{\textbf{F}(x, y)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 vektör alanı, eğri boyunca her noktadaki sıvı süratini verir.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f terimi bir fonksiyon olarak kabul edilmelidir, $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, bu $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612'deki bir noktayı alır ve $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612'ye o noktada birim normal vektörü verir.
• $\displaystyle \int$integral yerine $\displaystyle \oint$\oint kullanmak, sadece çizgi integralinin kapalı bir döngü etrafında olduğunu vurgulamak içindir.
• $\redE{ds}$start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 bir eğri boyunca yay uzunluğunda minik bir değişimi belirtir. Kavramsal olarak, bu bir önceki bölümdeki $\Delta s$delta, s teriminden farklı değildir, ama şimdi bunu integral almada kullanılan sonsuz küçüklükte bir miktar olarak düşünüyoruz.
• $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi boyunca yürüdüğünüzde, $\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f değeri, sıvının $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 tarafından çevrelenen bölgeden ne kadar çıktığını/girdiğini ölçer. Sıvı çıkarken pozitiftir, ve sıvı içeri akarken negatiftir, onun için integralin tamamı, birim zamanda $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 tarafından çevrelenen bölgeden çıkan toplam kütleyi verir.

Örnek: Bir çemberde akı

• Çemberi parametrize edin.
• Çemberde $\hat{\textbf{n}}$start bold text, n, end bold text, with, hat, on top için bir fonksiyon bulun.

Birim normal vektörü hesaplama

Özet

• Sıvı gibi, bir şeyin akıyormuş gibi düşünüldüğü herhangi bir bağlamda, iki boyutlu akı, bir eğriden akış hızının bir ölçümüdür. Bir bölgenin sınırındaki akı, akan şeyin bu bölgeye girip çıkmayacağını ölçmekte kullanılabilir.

• Bir $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi boyunca akı, aşağıdaki çizgi integraliyle ölçülebilir

  $\begin{aligned} \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{ds} \end{aligned}$

  burada
  • $\blueE{\textbf{F}(x, y)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 akış hızını gösteren vektör alanını tanımlar.
  • $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisindeki tüm noktalarda dışa doğru birim normal vektörü veren fonksiyondur.