If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İki boyutta akı

Çizgi integrallerinin, bir eğrideki akış hızını nasıl ölçebildiği. Bunu öğrenmek, Green diverjans teoremi için iyi bir temeldir.

Neye ulaşıyoruz

  • Bir start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisinin çevrelediği bir bölge, ve bir start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanının belirlediği bir sıvı akışı verildiğinde, (yoğunluğunun 1 olduğu varsayılan) bir sıvının bu bölgeden çıkma hızı aşağıdaki çizgi integraliyle ölçülebilir:
    d(bo¨lgedeki sıvının ku¨tlesi)dtKu¨tlenin bo¨lgeyi terk ettig˘i hız=CFn^  ds\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{bölgedeki sıvının kütlesi})}{dt} }_{\text{Kütlenin bölgeyi terk ettiği hız}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}
    Burada, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisindeki tüm noktalarda dışa doğru birim normal vektörü veren fonksiyondur.
  • Bu integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 integrali ''akı integrali'' veya bazen ''iki boyutta akı integrali'' olarak adlandırılır, zira üç boyutta buna benzer başka bir gösterim vardır.
  • Sıvı gibi, bir şeyin akıyormuş gibi düşünüldüğü iki boyutlu herhangi bir bağlamda, iki boyutlu akı, bir eğriden akış hızının bir ölçümüdür. Genelde, eğri mutlaka kapalı bir döngü değildir.

Bir bölgede sıvı kütlesini değiştirme

İki boyutlu bir vektör alanınız, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, olduğunu varsayın.
Bu alanda giden kapalı bir C eğrsini düşünün.
Vektör alanlarında olduğu gibi, bunun bir tür sıvı akışını temsil ettiğini söyleyelim. Ancak kendimizi minik bir zaman aralığında, küçük bir anda ne olduğuyla sınırlandıralım. Örneğin, her bir sıvı parçacığının bu vektörlerin birinin ucundan başına gittiğini gözünüzde canlandırabilirsiniz.
Önemli soru: start color #bc2612, C, end color #bc2612 ile çevrelenmiş bölgenin içindeki sıvı kütlesinin anlık değişim hızını nasıl ölçeriz?
Özellikler, sıvımızın düzlem boyunca sabit yoğunluğunun olduğunu söyleyelim, mesela metrekare başına 1 kilogram. Sıvının kısa bir delta, t zamanı boyunca akmasına izin verirsek, bölgeden çıkan/giren sıvının toplam kütlesi ne olur? Elbette ki, cevap start bold text, F, end bold text vektör alanı ve C eğrisi cinsinden bir fonksiyon olacaktır.
Bu soru size diverjansın mantığını hatırlatıyorsa, bu iyi bir nedenden ötürüdür. Aslında, sonraki birkaç makalede, başka bir makalede, şimdi türettiğimiz formülü kullanarak diverjansın biçimsel tanımını elde edeceğiz, ve diverjansın iki boyutta çizgi integralleriyle özel ilişkisini göstereceğiz.

Her seferinde birazcık uzunluk

Bu soruyu cevaplamanın bir yolu, eğriyi minik parçalara ayırmak ve her bir parçaya ne kadar sıvının girdiğini veya çıktığını düşünmektir. Yeterince küçük bir parçaya yaklaştığımızda, bunu düz bir çizgi ve içinden geçen sıvı parçacıklarını aynı hız ve aynı yönde hareket ediyor olarak düşünebiliriz.
Sıvının küçük zaman değişiminde, delta, t, akmasına izin vermesine izin verildiğinde, bu bölümden akan sıvı bir paralelkenarı oluşturur.
(Sıvının bölgenin dışına çıktığı bir durumu çizdim, ama bu noktadaki hız vektörleri diğer yönde çevrildiğinde, sıvının bölgeye girdiğini de gözünüzde canlandırabilirsiniz.)
Sıvı için yeknesak 1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, squared yoğunluk varsaydığımız için, bölgeyi terk eden sıvının kütlesi bu paralel kenarın alanına eşittir. Şimdi bu alanı bölelim.
  • Paralelkenarın tabanı, bu minicik doğru parçasının uzunluğudur. Buna delta, s diyelim.
  • Minik parçadaki bir noktada başlayan bir sıvı parçacığının yer değiştirme vektörü start bold text, v, end bold text, delta, t olur, burada start bold text, v, end bold text sıvının by noktadaki hız vektörüdür, ve delta, t sıvının aktığı süredir.
  • Paralelkenarın yüksekliği, start bold text, v, end bold text, delta, t yer değiştirme vektörünün parçaya dik bileşenidir. Bunu çıkarmak için, start bold text, v, end bold text, delta, t ile start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisine dik bir normal vektörün iç çarpımını alırız. Bu birim normal vektöre start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f adını verelim.
Kavram kontrolü: delta, s uzunluğunda minik bir parçadan delta, t kısa zamanında çıkan toplam kütle nedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

delta, t ile böldüğümüzde, bu küçük doğru parçasından birim zamanda geçen kütle miktarını buluruz:
Birim zamanda dışarı çıkan kütle equals, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, dot, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, left parenthesis, delta, s, right parenthesis

Hepsini bir integralle bir araya toplama

Şimdi start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisinin oluşturan tüm minik parçaları, ve her birinin içinden birim zamanda minik bir kütlenin çıktığını veya girdiğini düşünün. Eğri boyunca tüm bu minik değişiklikleri toplamak isterseniz, çizgi integralinden daha iyi bir araç bulabilir misiniz?
Özellikle, çizgi integrali şuna benzeyecek:
CFn^  ds\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}
burada
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 vektör alanı, eğri boyunca her noktadaki sıvı süratini verir.
  • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f terimi bir fonksiyon olarak kabul edilmelidir, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, bu start color #bc2612, C, end color #bc2612'deki bir noktayı alır ve start color #bc2612, C, end color #bc2612'ye o noktada birim normal vektörü verir.
  • integral yerine \oint kullanmak, sadece çizgi integralinin kapalı bir döngü etrafında olduğunu vurgulamak içindir.
  • start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 bir eğri boyunca yay uzunluğunda minik bir değişimi belirtir. Kavramsal olarak, bu bir önceki bölümdeki delta, s teriminden farklı değildir, ama şimdi bunu integral almada kullanılan sonsuz küçüklükte bir miktar olarak düşünüyoruz.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi boyunca yürüdüğünüzde, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f değeri, sıvının start color #bc2612, C, end color #bc2612 tarafından çevrelenen bölgeden ne kadar çıktığını/girdiğini ölçer. Sıvı çıkarken pozitiftir, ve sıvı içeri akarken negatiftir, onun için integralin tamamı, birim zamanda start color #bc2612, C, end color #bc2612 tarafından çevrelenen bölgeden çıkan toplam kütleyi verir.
Daha özenle, şöyle yazabilirsiniz:
d(bo¨lgedeki sıvı ku¨tle)dtKu¨tlenin bo¨lgeden çıktıg˘ı hız=CFn^  dsHer ds bu¨yu¨klu¨kte, parçadan ayrılan ku¨çu¨k ku¨tle\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{bölgedeki sıvı kütle})}{dt} }_{\text{Kütlenin bölgeden çıktığı hız}} = \oint_{\redE{C}} \underbrace{ \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }_{\substack{ \text{Her }\\ \text{$\redE{ds}$ büyüklükte, parçadan ayrılan küçük kütle} }} \end{aligned}
Tanım: Eğri boyunca bu akış hızına akı denir. Daha da spesifik olarak, akış hızının eğriye dik olan bileşenine akı denildiğini söylemeliyim.
Fizikte sıvılar dışında birçok şey "akış" olarak düşünülebilir, örneğin ısı, ve (temel bir bağlamda) elektromanyetik alan, akı sözcüğün bu durumların herhangi biri için çok genel kullanılır. "Akı" sözcüğünün üç boyutlu bir yüzeyde akış hızını ifade etmesi en yaygındır. Bunu ileride yüzey integralleri bağlamında anlatacağım. Bu nedenle, eğrideki bu akış hızına "iki boyutlu akı" diyebiliriz.
Bu \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 integrali bazen ''akı integrali'' olarak adlandırılır ve tüm yeni işlemlerde olduğu gibi, bunu anlamanın en iyi yolu bir örnek yapmaktır.

Örnek: Bir çemberde akı

Vektör alanını düşünün
F(x,y)=[x2y]\begin{aligned} \textbf{F}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x^2 \\ y \end{array} \right] \end{aligned}
Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 3 olan bir çember çizin.
Bu resimden, bu vektör alanı boyunca akan sıvının çemberin dışına gitme eğilimi gösterdiğini tahmin edebilirsiniz. Ancak, ne kadar? Son bölümdeki integrali uygulamak için, önce yapmamız gereken iki şey var:
  • Çemberi parametrize edin.
  • Çemberde start bold text, n, end bold text, with, hat, on top için bir fonksiyon bulun.
Çemberi parametrize etmek için, komşumuz kosinüs-sinüs parametrizasyonunu kullanırız:
r(t)=[3cos(t)3sin(t)]Yarıçapı 3 olan bir çember çizer\begin{aligned} \textbf{r}(t) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) \\ 3\sin(t) \end{array} \right] \quad \leftarrow \text{Yarıçapı $3$ olan bir çember çizer} \end{aligned}
Parametrizasyonumuzun çemberden bir kere geçmesi için, t'nin 0 ila 2, pi arasında değerler almasını sağlayın.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birim normal vektörü verir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Şimdi bu veriyi son bölümde bulduğumuz çizgi integraline uygulayabiliriz. (Eğer çizgi integralinin hesaplanması konusuna hakim değilseniz, bir skaler alanda çizgi integralleri in a scalar field makalesine göz atmayı düşünebilirsiniz).
CFn^  ds=02πF(r(t))Bir noktadakisu¨ratn^(r(t))Bir noktadakinormal vekto¨r  r(t)dtds=02π([(3cos(t))2(3sin(t))][(3cos(t))/3(3sin(t))/3])    [ddt(3cos(t))ddt(3sin(t))]dt=02π([9cos2(t)3sin(t)][cos(t)sin(t)])    [3sin(t)3cos(t)]dt=02π(9cos3(t)+3sin2(t))32sin2(t)+32cos2(t)dt=02π(9cos3(t)+3sin2(t))3  sin2(t)+cos2(t)=1  dt=02π(9cos3(t)+3sin2(t))3dt=902π(3cos3(t)+sin2(t))dt\begin{aligned} \oint_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{ds} &= \int_0^{2\pi} \blueE{\underbrace{ \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot }_{\substack{ \text{Bir noktadaki} \\ \text{sürat} }}} \greenE{\overbrace{ \hat{\textbf{n}}(\textbf{r}(t)) }^{\substack{ \text{Bir noktadaki} \\ \text{normal vektör} }}} \; \redE{\underbrace{ ||\textbf{r}'(t)|| dt }_{ds}} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \blueE{\left[ \begin{array}{c} (3\cos(t))^2 \\ (3\sin(t)) \end{array} \right]} \cdot \greenE{\left[ \begin{array}{c} (3\cos(t))/3 \\ (3\sin(t))/3 \end{array} \right]} \right) \;\; \redE{\left| \left| \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt} (3\cos(t)) \\ \frac{d}{dt} (3\sin(t)) \end{array} \right] \right| \right| dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \blueE{\left[ \begin{array}{c} 9\cos^2(t) \\ 3\sin(t) \end{array} \right]} \cdot \greenE{\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]} \right) \;\; \redE{\left| \left| \left[ \begin{array}{c} -3\sin(t) \\ 3\cos(t) \end{array} \right] \right| \right| dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\sin^2(t) \right)} \redE{\sqrt{3^2 \sin^2(t) + 3^2 \cos^2(t)} dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\sin^2(t) \right)} \redE{3 \;\, \underbrace{ \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} }_{=1} \; dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\sin^2(t) \right)} \redE{3 dt} \\ &= 9\int_0^{2\pi} \left(3\cos^3(t) + \sin^2(t) \right) dt \\ \end{aligned}
Bu formda bir integraliniz olduğunda, sayısal sonucu elde etmek için bunu bir hesap makinesine (veya Wolfram Alpha gibi bir şeye) girebilirsiniz:
902π(3cos3(t)+sin2(t))dt=9π28,274\begin{aligned} 9\int_0^{2\pi} \left(3\cos^3(t) + \sin^2(t) \right) dt = \boxed{9\pi \approx 28,274} \end{aligned}

Birim normal vektörü hesaplama

Size verilen rastgele bir eğri için start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis birim normal vektörünü nasıl hesaplayacağınızı merak ediyor olabilirsiniz. Bu bir çember için özel bir durum gibi geliyor, öyle değil mi? Şanslısınız ki, böyle bir birim normal vektörün oluşturulması sonraki makalemizin konusu!
Birim normal vektörün x, y düzleminde girdilerle bir start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonuyla verildiğini söylediğimde yalan söylemiş oldum. Pratikte, start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisinin parametrizasyonuyla "hizalanan" bir start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis parametrik fonksiyonu olarak verilir. Prensipte, x, y-düzleminde noktalara etki ediyor gibi düşünmelisiniz, sadece pratikte start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisinin üstündeki noktalar için tanımlarsınız, çünkü ihtiyacınız olan sadece budur. Endişelenmeyin, bir sonraki makalede neyi kastettiğimi göreceksiniz.

Özet

  • Sıvı gibi, bir şeyin akıyormuş gibi düşünüldüğü herhangi bir bağlamda, iki boyutlu akı, bir eğriden akış hızının bir ölçümüdür. Bir bölgenin sınırındaki akı, akan şeyin bu bölgeye girip çıkmayacağını ölçmekte kullanılabilir.
  • Bir start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi boyunca akı, aşağıdaki çizgi integraliyle ölçülebilir
    CFn^ds\begin{aligned} \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{ds} \end{aligned}
    burada
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 akış hızını gösteren vektör alanını tanımlar.
    • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisindeki tüm noktalarda dışa doğru birim normal vektörü veren fonksiyondur.