Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4
Ders 4: Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)Çizgi integrallerinin temel teoremi
Gradyan teoremi olarak da bilinen bu kavram, analizin temel teoremini bir vektör alanındaki çizgi integrallerine genişletir.
Arka plan
Sadece eğer ispatı anlamak isterseniz gereklidir:
Neye ulaşıyoruz
- Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
- Bu formülün arkasındaki mantık, siz
ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir. - Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.
Teoremin ifadesi
Analizin temel teoreminin tek değişkenli dünyada şunu ifade ettiğini hatırlayın
Bir anlamda, bu, integralin türevin tersi olduğunu söyler.
Gradyan teoremi olarak da bilinen çizgi integralerin temel teoremi, bu teoremi daha yüksek boyutlara taşımanın pek çok yolundan bir tanesidir. Bir anlamda, bir vektör alanı boyunca çizgi integrali alma nın, gradyan ın tersi olduğunu söyler. Teorem bunu öngörür:
Burada
skaler değerli çok değişkenli bir fonksiyondur. , 'nin gradyanıdır. girdi uzayında bir yolu parametrize eden vektör değerli bir fonksiyondur. ve yolun bitim noktalarıdır.
Bu teoremi parametrizasyonuna başvurmadan şöyle yazılmış olarak görebilirsiniz:
Burada uzaydaki, başlangıç noktası ve bitim noktası olan yolu temsil eder, boyunca minik bir adım olarak düşünülür.
Kısacası, teorem bir fonksiyonunun gradyanının çizgi integralinin, eğrinin başından sonuna kadar 'nin değerindeki toplam değişimi verdiğini söyler.
Sezgi
Her bir terimin anlamını sindirmek için zaman ayırdıktan sonra, bu formülün anlamı aslında oldukça basittir. Şu anda sahnede iki esas oyuncu vardır:
- Uzayda gezinen bir yol (çizimin daha kolay olması için, şimdilik 2 boyutlu uzay olarak düşünelim).
- Bu yolun noktalarını girdisi olarak alan ve çıktı olarak bir sayı veren bir
fonksiyonu.
Biz yolda yürüdükçe fonksiyonunun değerinin nasıl değiştiğini düşünün. Aşağıdaki video bunu görselleştirmenin bir yolunu sunar, burada bir fonksiyonunun grafiği maviyle, düzlemindeki bir yol kırmızıyla ve bu yolun grafiğinin projeksiyonu da kırmızıyla gösterilmiştir.
Yoldaki her bir noktanın üstünde bir grafiğin yüksekliğini düşünün. Yol boyunca yürüdükçe, bu yükseklikteki değişimi matematiksel olarak nasıl takip edebilirsiniz.
Yolun 'nin grafiğinin üzerindeki izdüşümünü almak yerine, (her bir vektörün 'yi temsil ettiği) 'nin gradyan alanıyla kaplayabiliriz:
Gradyan teoremini tekrar yazalım:
Önümüzdeki birkaç soru bu ifadenin sol tarafının mantığını bulmanızı sağlayacak.
Kavram kontrolü 1: 'yi parametresinde çok küçük bir değişiklik olarak düşünürsek, vektörünü nasıl yorumlayabilirsiniz?
Kavram kontrolü 2: İç çarpımı nasıl yorumlayabilirsiniz
burada uzaydaki bir nokta ve bir vektör müdür?
Kavram kontrolü 3: Verilen bu iki bilgiye göre, iç çarpımını nasıl yorumlayabiliriz?
Kavram kontrolü 4: Son olarak integrali nasıl yorumlayabilirsiniz
Bununla birlikte, yolun başından sonuna 'nin değerindeki değişikliği düşünmenin çok daha kolay bir yolu bulunmaktadır: 'yi iki bitimde hesaplayın ve farkı çıkarın:
Başka bir deyişle, gradyan teoremindeki denkemin iki tarafı da yol boyunca 'deki değişimi hesaplar, ama sol ataraf bunu adım adım düşünür, ama sağ taraf daha küresel bir bakış açısı alır.
Hızlı bir ispat
Çok değişkenli zincir kuralını kullandığımızda, bunu elde ederiz:
Bunu gradtan teoreminin ifadesine koyarsak, analizin temel teoremiyle aynı hale geldiğini görürüz
Tamam!
Bu ispat analizin güçlü temel teoreminin yanı sıra, çok değişkenli zincir kuralını kullanır, ve bu nedenle aldatıcı bir basitlikte görünür. Bu teoremi anlamak için iyi bir alıştırma, bu kısa ve temiz üç satırlık ispatın bir önceki bölümde anlatılan gradyan teoremi mantığını nasıl yakaladığını düşünmektir.
Yeni sonuçları ispatlamakta yardımcı olmaları için diğer kuvvetli teoremleri kullanmakta bir sakınca yoktur. Ancak, böyle ispatları yapmak genelde derinlemesine bir anlayış için yeterli değildir, onun için yeni sonuçları tüm anlamında açmak, ve kendi başına neleri ifade ettiklerini görmek önemlidir.
Örnek: Sinüsoidal bir yol
İntegrali hesaplayın
Çözüm 1: Eski usul yol
Çizgi integralinin tamamını açabiliriz ve hesaplayabiliriz. Hazırlık olarak, 'nin gradyanının değerini bulmamız gerekir.
Ayrıca türevi de gerekecek.
Son olarak, bunları yerine koyarak çizgi integralini hesapladığınızda ne elde edersiniz?
Çözüm 2: Çizgi integrallerin temel teoremini uygulayın
Çizgi integrallerinin temel teoremini uygulayarak, gradyanının ve 'nin türevinin hesaplanması dahil, önceki çözümdeki pek çok adımı atlayabiliriz.
Üstteki çizgi integralini gradyan teoremini kullanarak çözün.
Çözüm 1'deki çizgi integralin tüm hesaplamasına tekrar bakarsanız, yapılan hesaplamalar oldukça aptalca gözükür. 'nin kısmi türevleri ve ve 'nin sıradan türevleri dahil her şeyin türevini aldık, sonra bu türevleri başladıkları yerde birleştirdik.
Bunun üstünde çalışmak, analizin temel teoreminden çizgi integrallerin temel teoreminin nasıl elde edildiğini kavramamıza da yardımcı olur.
Doğrusal bağımsızlık
Gradyan teoreminin, gradyan alanlarına ilişkin gerçekten önemli bir sonucu vardır. Her birisi aynı ve noktalarını birleştiren, iki farklı ve eğrisi olduğunu varsayalım. Bu eğrilerin, skaler değerli bir fonksiyonunun gradyan alanında yer aldığını düşünelim:
Gradyan teoremine göre, bu eğrilerin her birisi boyunca 'nin çizgi integrali aynı olacaktır, zira bu integral tamamen 'nin ve 'deki değeriyle belirlenir:
Bu fikri bir sonraki konservatif vektör alanları ile ilgili makalede keşfedeceğiz.
Özet
- Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
- Bu formülün arkasındaki mantık, siz
ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir. - Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.