If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çizgi integrallerinin temel teoremi

Gradyan teoremi olarak da bilinen bu kavram, analizin temel teoremini bir vektör alanındaki çizgi integrallerine genişletir.

Arka plan

Sadece eğer ispatı anlamak isterseniz gereklidir:

Neye ulaşıyoruz

  • Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
    abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • Bu formülün arkasındaki mantık, siz start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir.
  • Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.

Teoremin ifadesi

Analizin temel teoreminin tek değişkenli dünyada şunu ifade ettiğini hatırlayın
abg(t)dt=g(b)g(a)\begin{aligned} \int_a^b g'(t)dt = g(b) - g(a) \end{aligned}
Bir anlamda, bu, integralin türevin tersi olduğunu söyler.
Gradyan teoremi olarak da bilinen çizgi integralerin temel teoremi, bu teoremi daha yüksek boyutlara taşımanın pek çok yolundan bir tanesidir. Bir anlamda, bir vektör alanı boyunca çizgi integrali alma nın, gradyan ın tersi olduğunu söyler. Teorem bunu öngörür:
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
Burada
  • start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 skaler değerli çok değişkenli bir fonksiyondur.
  • del, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin gradyanıdır.
  • start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 girdi uzayında bir yolu parametrize eden vektör değerli bir fonksiyondur.
  • start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis ve start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis yolun bitim noktalarıdır.
  • start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis'nin türevidir, genelde olduğu gibi bileşene göre alınmış.
Bu teoremi start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis parametrizasyonuna başvurmadan şöyle yazılmış olarak görebilirsiniz:
Cfds=f(B)f(A)\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = f(B) - f(A) \end{aligned}
Burada C uzaydaki, başlangıç noktası A ve bitim noktası B olan yolu temsil eder, d, start bold text, s, end bold text C boyunca minik bir adım olarak düşünülür.
Kısacası, teorem bir f fonksiyonunun gradyanının çizgi integralinin, eğrinin başından sonuna kadar f'nin değerindeki toplam değişimi verdiğini söyler.

Sezgi

Her bir terimin anlamını sindirmek için zaman ayırdıktan sonra, bu formülün anlamı aslında oldukça basittir. Şu anda sahnede iki esas oyuncu vardır:
  • Uzayda gezinen bir yol (çizimin daha kolay olması için, şimdilik 2 boyutlu uzay olarak düşünelim).
  • Bu yolun noktalarını girdisi olarak alan ve çıktı olarak bir sayı veren bir f fonksiyonu.
Biz yolda yürüdükçe f fonksiyonunun değerinin nasıl değiştiğini düşünün. Aşağıdaki video bunu görselleştirmenin bir yolunu sunar, burada bir f fonksiyonunun grafiği maviyle, x, y düzlemindeki bir yol kırmızıyla ve bu yolun grafiğinin projeksiyonu da kırmızıyla gösterilmiştir.
Khan Akademi video wrapper
Yoldaki her bir noktanın üstünde bir grafiğin yüksekliğini düşünün. Yol boyunca yürüdükçe, bu yükseklikteki değişimi matematiksel olarak nasıl takip edebilirsiniz.
Yolun f'nin grafiğinin üzerindeki izdüşümünü almak yerine, (her bir vektörün del, f'yi temsil ettiği) f'nin gradyan alanıyla kaplayabiliriz:
Gradyan teoremini tekrar yazalım:
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) \end{aligned}
Önümüzdeki birkaç soru bu ifadenin sol tarafının mantığını bulmanızı sağlayacak.
Kavram kontrolü 1: d, t 'yi t parametresinde çok küçük bir değişiklik olarak düşünürsek, start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #bc2612 vektörünü nasıl yorumlayabilirsiniz?
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Kavram kontrolü 2: İç çarpımı nasıl yorumlayabilirsiniz
del, f, left parenthesis, P, right parenthesis, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
burada P uzaydaki bir nokta ve start bold text, v, end bold text, with, vector, on top bir vektör müdür?
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Kavram kontrolü 3: Verilen bu iki bilgiye göre, start color #0c7f99, del, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, dot, start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 iç çarpımını nasıl yorumlayabiliriz?
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Kavram kontrolü 4: Son olarak integrali nasıl yorumlayabilirsiniz
abf(r(t))r(t)dt\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} \end{aligned}
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Bununla birlikte, yolun başından sonuna f'nin değerindeki değişikliği düşünmenin çok daha kolay bir yolu bulunmaktadır: f'yi iki bitimde hesaplayın ve farkı çıkarın:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis
Başka bir deyişle, gradyan teoremindeki denkemin iki tarafı da yol boyunca f'deki değişimi hesaplar, ama sol ataraf bunu adım adım düşünür, ama sağ taraf daha küresel bir bakış açısı alır.
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}

Hızlı bir ispat

Çok değişkenli zincir kuralını kullandığımızda, bunu elde ederiz:
ddtf(r(t))=f(r(t))r(t)\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t)) = \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t) \end{aligned}
Bunu gradtan teoreminin ifadesine koyarsak, analizin temel teoremiyle aynı hale geldiğini görürüz
=abf(r(t))r(t)dt=abddtf(r(t))dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} &\phantom{=} \int_a^b \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t)dt \\\\ &= \int_a^b \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t))dt \\\\ &= f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}
Tamam!
Bu ispat analizin güçlü temel teoreminin yanı sıra, çok değişkenli zincir kuralını kullanır, ve bu nedenle aldatıcı bir basitlikte görünür. Bu teoremi anlamak için iyi bir alıştırma, bu kısa ve temiz üç satırlık ispatın bir önceki bölümde anlatılan gradyan teoremi mantığını nasıl yakaladığını düşünmektir.
Yeni sonuçları ispatlamakta yardımcı olmaları için diğer kuvvetli teoremleri kullanmakta bir sakınca yoktur. Ancak, böyle ispatları yapmak genelde derinlemesine bir anlayış için yeterli değildir, onun için yeni sonuçları tüm anlamında açmak, ve kendi başına neleri ifade ettiklerini görmek önemlidir.

Örnek: Sinüsoidal bir yol

f'yi şöyle tanımlayın:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared
C şu şekilde parametrize edilen bir yol olsun
r(t)=[tsin(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
t, equals, 0 ve t, equals, 2, pi değerleri arasında.
İntegrali hesaplayın
Cfds\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Çözüm 1: Eski usul yol

Çizgi integralinin tamamını açabiliriz ve hesaplayabiliriz. Hazırlık olarak, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared'nin gradyanının değerini bulmamız gerekir.
del, f nedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Ayrıca r(t)=[tsin(t)] \vec{\textbf{r}}(t) = \left[\begin{array}{c} t \\ \sin(t) \end{array} \right] türevi de gerekecek.
start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis nedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Son olarak, bunları yerine koyarak çizgi integralini hesapladığınızda ne elde edersiniz?
Cfds=\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = \end{aligned}

Çözüm 2: Çizgi integrallerin temel teoremini uygulayın

Çizgi integrallerinin temel teoremini uygulayarak, f gradyanının ve start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin türevinin hesaplanması dahil, önceki çözümdeki pek çok adımı atlayabiliriz.
Üstteki çizgi integralini gradyan teoremini kullanarak çözün.
Çözüm 1'deki çizgi integralin tüm hesaplamasına tekrar bakarsanız, yapılan hesaplamalar oldukça aptalca gözükür. x, squared, plus, y, squared'nin kısmi türevleri ve t ve sine, left parenthesis, t, right parenthesis'nin sıradan türevleri dahil her şeyin türevini aldık, sonra bu türevleri başladıkları yerde birleştirdik.
Bunun üstünde çalışmak, analizin temel teoreminden çizgi integrallerin temel teoreminin nasıl elde edildiğini kavramamıza da yardımcı olur.

Doğrusal bağımsızlık

Gradyan teoreminin, gradyan alanlarına ilişkin gerçekten önemli bir sonucu vardır. Her birisi aynı A ve B noktalarını birleştiren, iki farklı C, start subscript, 1, end subscript ve C, start subscript, 2, end subscript eğrisi olduğunu varsayalım. Bu eğrilerin, skaler değerli bir f fonksiyonunun gradyan alanında yer aldığını düşünelim:
Gradyan teoremine göre, bu eğrilerin her birisi boyunca del, f'nin çizgi integrali aynı olacaktır, zira bu integral tamamen f'nin A ve B'deki değeriyle belirlenir:
C1fdr=f(B)f(A)=C2fdr\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(B) - f(A) = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{r} \end{aligned}
Bu fikri bir sonraki konservatif vektör alanları ile ilgili makalede keşfedeceğiz.

Özet

  • Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
    abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • Bu formülün arkasındaki mantık, siz start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir.
  • Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.