Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 4: Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)

Çizgi integrallerinin temel teoremi

Gradyan teoremi olarak da bilinen bu kavram, analizin temel teoremini bir vektör alanındaki çizgi integrallerine genişletir.

Arka plan

Sadece eğer ispatı anlamak isterseniz gereklidir:

Çok değişkenli zincir kuralı

Neye ulaşıyoruz

Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}$ ‍
Bu formülün arkasındaki mantık, siz $\vec{r} (t)$ ‍ ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir $f$ ‍ çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir.
Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.

Teoremin ifadesi

Analizin temel teoreminin tek değişkenli dünyada şunu ifade ettiğini hatırlayın

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} g^{'} (t) d t = g (b) - g (a) \end{array}

Bir anlamda, bu, integralin türevin tersi olduğunu söyler.

Gradyan teoremi olarak da bilinen çizgi integralerin temel teoremi, bu teoremi daha yüksek boyutlara taşımanın pek çok yolundan bir tanesidir. Bir anlamda, bir vektör alanı boyunca çizgi integrali alma nın, gradyan ın tersi olduğunu söyler. Teorem bunu öngörür:

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Burada

$f$ ‍ skaler değerli çok değişkenli bir fonksiyondur.
$\nabla f$ ‍, $f$ ‍'nin gradyanıdır.
$\vec{r} (t)$ ‍ $f$ ‍ girdi uzayında bir yolu parametrize eden vektör değerli bir fonksiyondur.
$\vec{r} (a)$ ‍ ve $\vec{r} (b)$ ‍ yolun bitim noktalarıdır.
${\vec{r}}^{'} (t)$ ‍ $\vec{r} (t)$ ‍'nin türevidir, genelde olduğu gibi bileşene göre alınmış.

Bu teoremi

\vec{r} (t)

parametrizasyonuna başvurmadan şöyle yazılmış olarak görebilirsiniz:

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}

Burada

C

uzaydaki, başlangıç noktası

A

ve bitim noktası

B

olan yolu temsil eder,

d s

C

boyunca minik bir adım olarak düşünülür.

Kısacası, teorem bir

f

fonksiyonunun gradyanının çizgi integralinin, eğrinin başından sonuna kadar

f

'nin değerindeki toplam değişimi verdiğini söyler.

Sezgi

Her bir terimin anlamını sindirmek için zaman ayırdıktan sonra, bu formülün anlamı aslında oldukça basittir. Şu anda sahnede iki esas oyuncu vardır:

Uzayda gezinen bir yol (çizimin daha kolay olması için, şimdilik 2 boyutlu uzay olarak düşünelim).
Bu yolun noktalarını girdisi olarak alan ve çıktı olarak bir sayı veren bir $f$ ‍ fonksiyonu.

Biz yolda yürüdükçe

f

fonksiyonunun değerinin nasıl değiştiğini düşünün. Aşağıdaki video bunu görselleştirmenin bir yolunu sunar, burada bir

f

fonksiyonunun grafiği maviyle,

x y

düzlemindeki bir yol kırmızıyla ve bu yolun grafiğinin projeksiyonu da kırmızıyla gösterilmiştir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Yoldaki her bir noktanın üstünde bir grafiğin yüksekliğini düşünün. Yol boyunca yürüdükçe, bu yükseklikteki değişimi matematiksel olarak nasıl takip edebilirsiniz.

Yolun

f

'nin grafiğinin üzerindeki izdüşümünü almak yerine, (her bir vektörün

\nabla f

'yi temsil ettiği)

f

'nin gradyan alanıyla kaplayabiliriz:

Gradyan teoremini tekrar yazalım:

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (r (b)) - f (r (a)) \end{array}

Önümüzdeki birkaç soru bu ifadenin sol tarafının mantığını bulmanızı sağlayacak.

Kavram kontrolü 1:

d t

'yi

t

parametresinde çok küçük bir değişiklik olarak düşünürsek,

{\vec{r}}^{'} (t) d t

vektörünü nasıl yorumlayabilirsiniz?

[Cevap]

Kavram kontrolü 2: İç çarpımı nasıl yorumlayabilirsiniz

\nabla f (P) \cdot \vec{v}

burada

P

uzaydaki bir nokta ve

\vec{v}

bir vektör müdür?

[Cevap]

Kavram kontrolü 3: Verilen bu iki bilgiye göre,

\nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t)

iç çarpımını nasıl yorumlayabiliriz?

[Cevap]

Kavram kontrolü 4: Son olarak integrali nasıl yorumlayabilirsiniz

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \end{array}

[Cevap]

Bununla birlikte, yolun başından sonuna

f

'nin değerindeki değişikliği düşünmenin çok daha kolay bir yolu bulunmaktadır:

f

'yi iki bitimde hesaplayın ve farkı çıkarın:

f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a))

Başka bir deyişle, gradyan teoremindeki denkemin iki tarafı da yol boyunca

f

'deki değişimi hesaplar, ama sol ataraf bunu adım adım düşünür, ama sağ taraf daha küresel bir bakış açısı alır.

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Hızlı bir ispat

Çok değişkenli zincir kuralını kullandığımızda, bunu elde ederiz:

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) = \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) \end{array}

Bunu gradtan teoreminin ifadesine koyarsak, analizin temel teoremiyle aynı hale geldiğini görürüz

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) d t \\ = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{aligned}

Tamam!

Bu ispat analizin güçlü temel teoreminin yanı sıra, çok değişkenli zincir kuralını kullanır, ve bu nedenle aldatıcı bir basitlikte görünür. Bu teoremi anlamak için iyi bir alıştırma, bu kısa ve temiz üç satırlık ispatın bir önceki bölümde anlatılan gradyan teoremi mantığını nasıl yakaladığını düşünmektir.

Yeni sonuçları ispatlamakta yardımcı olmaları için diğer kuvvetli teoremleri kullanmakta bir sakınca yoktur. Ancak, böyle ispatları yapmak genelde derinlemesine bir anlayış için yeterli değildir, onun için yeni sonuçları tüm anlamında açmak, ve kendi başına neleri ifade ettiklerini görmek önemlidir.

Örnek: Sinüsoidal bir yol

f

'yi şöyle tanımlayın:

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

C

şu şekilde parametrize edilen bir yol olsun

\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} t \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

t = 0

t = 2 π

değerleri arasında.

İntegrali hesaplayın

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}

Çözüm 1: Eski usul yol

Çizgi integralinin tamamını açabiliriz ve hesaplayabiliriz. Hazırlık olarak,

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

'nin gradyanının değerini bulmamız gerekir.

\nabla f

nedir?

[Açıklamayı göster]

Ayrıca

\vec{r} (t) = [\begin{matrix} t \\ \sin (t) \end{matrix}]

türevi de gerekecek.

{\vec{r}}^{'} (t)

nedir?

[Açıklamayı göster]

Son olarak, bunları yerine koyarak çizgi integralini hesapladığınızda ne elde edersiniz?

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = \end{array}

[Açıklamayı göster]

Çözüm 2: Çizgi integrallerin temel teoremini uygulayın

Çizgi integrallerinin temel teoremini uygulayarak,

f

gradyanının ve

\vec{r} (t)

'nin türevinin hesaplanması dahil, önceki çözümdeki pek çok adımı atlayabiliriz.

Üstteki çizgi integralini gradyan teoremini kullanarak çözün.

[Çözüm]

Çözüm 1'deki çizgi integralin tüm hesaplamasına tekrar bakarsanız, yapılan hesaplamalar oldukça aptalca gözükür.

x^{2} + y^{2}

'nin kısmi türevleri ve

t

\sin (t)

'nin sıradan türevleri dahil her şeyin türevini aldık, sonra bu türevleri başladıkları yerde birleştirdik.

Bunun üstünde çalışmak, analizin temel teoreminden çizgi integrallerin temel teoreminin nasıl elde edildiğini kavramamıza da yardımcı olur.

Doğrusal bağımsızlık

Gradyan teoreminin, gradyan alanlarına ilişkin gerçekten önemli bir sonucu vardır. Her birisi aynı

A

B

noktalarını birleştiren, iki farklı

C_{1}

C_{2}

eğrisi olduğunu varsayalım. Bu eğrilerin, skaler değerli bir

f

fonksiyonunun gradyan alanında yer aldığını düşünelim:

Gradyan teoremine göre, bu eğrilerin her birisi boyunca

\nabla f

'nin çizgi integrali aynı olacaktır, zira bu integral tamamen

f

'nin

A

B

'deki değeriyle belirlenir:

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A) = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d r \end{array}

Bu fikri bir sonraki konservatif vektör alanları ile ilgili makalede keşfedeceğiz.

Özet

Çizgi integrallerinin temel teoremi, gradyan teoremi de denir, şunu belirtir
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}$ ‍
Bu formülün arkasındaki mantık, siz $\vec{r} (t)$ ‍ ile parametrelendirilmiş bir yolda yürürken, her kenarın bir $f$ ‍ çok değişkenli fonksiyonunun değerindeki değişimi temsil etmesidir.
Bu formül gradyan alanlarının izden bağımsız olduğunu ima eder, buna göre, aynı başlangıç ve bitim noktalarını birleştiren herhangi iki iz boyunca çizgi integralleri eşit olur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.