Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 4: Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)

Bir vektör alanındaki çizgi integralleri

Google Classroom

Bir skaler alandaki çizgi integrallerini öğrendikten sonra, vektör alanlarındaki çizgi integrallerini öğrenin.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Diyelim ki, bir $F$ ‍ vektör alanı ve bu alanda gezinine bir $C$ ‍ eğrisi var. Bu eğri boyunca yürüdüğünüzü, ve her adımda aşağıdaki iki vektörün iç çarpımını aldığınızı hayal edin:
- $F$ ‍ alanından durduğunuz noktadaki vektör.
- Bu eğri boyunca attığınız bir sonraki adımla ilgili yer değiştirme vektörü.
Bu iç çarpımları toplarken, $F$ ‍'nin $C$ ‍ boyunca çizgi integralini kestirmiş olursunuz
Bu çizgi integrali için kısa gösterim,
$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍
(Bunun iç çarpımı olduğuna özellikle dikkat edin)
$C$ ‍'nin bir parametrizasyonu $r (t)$ ‍ verildiğinde, daha açık gösterim şöyle olur
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}$ ‍
Çizgi integralleri fizikte hareketli bir nesneye etki eden kuvvetin yaptığı işi hesaplamakta faydalıdır.
Eğriyi $t$ ‍ artıkça ters yönde hareket edecek şekilde parametrize ederseniz, çizgi integralinin değeri $- 1$ ‍ ile çarpılır.

Gökyüzünden düşen balina

Diyelim ki, gökyüzünden düşmekte olan bir balinamız var, adına Whilly diyorum. Hava yolları onu farklı yönlerde ittiği için, eğri bir yol boyunca düştüğünü varsayalım.

Bu örnekte, bir kuvvetin hareketli bir nesneye iş yaptığı, ve bu işin kuvvet vektörüyle yer değiştirme vektörü arasındaki iç çarpım olarak tanımlandığı fikrine aşina olduğunuzu varsayıyorum.

[Bu fikir için hızlı bir bilgi tazelemeye mi ihtiyacınız var?]

Önemli soru: $C$ ‍ eğri yolunda düşerken yerçekiminin Whilly'ye yaptığı iş nedir?

Genellikle, hesaplama çalışması düz bir kuvvet vektörü ve düz bir yer değiştirme vektörüne göre yapılır, o zaman bu eğri izle ne yapabiliriz? Eğrinin birçok küçük yer değiştirme vektöründen oluştuğunu düşünerek başlayabilirsiniz:

Devam edin ve bu yer değiştirme vektörlerinin her birine bir isim verin,

${\vec{Δ s}}_{1}$ ‍, ${\vec{Δ s}}_{2}$ ‍, ${\vec{Δ s}}_{3}$ ‍, $\dots$ ‍

Bu yer değiştirme vektörlerinin her biri boyunca yerçekiminin yaptığı iş yerçekimi kuvveti vektörünün, bunu

\vec{F_{g}}

belirtiyorum, yer değiştirme vektörüyle iç çarpımıdır:

$\vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{i}$ ‍

Bu durumda, eğri boyunca yer çekiminin yaptığı iş şu şekilde kesitirilir.

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{N} \vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{n} \end{array}$ ‍

Ama tabii ki, bu analiz, onun için

C

eğrisi boyunca sadece belirli bir sonlu adım sayısına bakmıyoruz. Bu adımların boyutu küçüldükçe, bu toplamın oluşturduğu sınırlayan değeri düşünüyoruz. Bu, aşağıdaki integralle yakalanır:

$\begin{array}{r} \int_{C} \vec{F_{g}} \cdot \vec{d s} \end{array}$ ‍

Bu skaler alanda çizgi integraliyle benzerlik gösterir, ama önemli bir fark var: Minik adım, $\vec{d s}$ ‍, şimdi skaler uzunluk olarak değil, vektör olarak düşünülür. Üstteki integralde, hem

\vec{F_{g}}

'yi, hem de

\vec{d s}

'yi üstünde oklarla yazdım ki, vektör olduklarını vurgulayayım. Bunların vektör miktarları olduğunu vurgulamanın daha ince ve yaygın bir yöntemi değişkeni kalın harflerle yazmaktır:

$\begin{array}{r} \int_{C} F_{g} \cdot d s \end{array}$ ‍

Önemli fikir:

C

boyunca gittikçe topladığımız şey,

F_{g}

'nin her bir noktadaki tam değeri değildir, ama

F_{g}

'nin

d s

vektörüyle aynı yöndeki bileşenidir. Yani, kuvvetin eğri yönündeki bileşeni.

1. Örnek: Whilly'nin düşüşüne sayıları koyma.

Hesaplamayı yaptığımızda, bunun neye benzediğine bakalım.

Diyelim ki, Whilly'nin düşüşünün eğrisi şu parametrik fonksiyonlar tanımlansın

$\begin{array}{r} s (t) = [\begin{array}{c} 100 (t - \sin (t)) \\ 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \end{array}$ ‍

Eğri boyunca küçük bir adımı temsil eden

d s

vektörü, bu fonksiyonun türevi çarpı

d t

olarak verilebilir:

$d s = \frac{d s}{d t} d t = s^{'} (t) d t$ ‍

Bu yabancı görünürse, parametrik fonksiyonların türevlerini tanımlayan makaleye bakabilirsiniz. Bunu görselleştirmenin yolu,

t

parametresine

d t

. boyutunda minik bir artışı düşünmektir. Bu, eğri boyunca

s^{'} (t) d t

vektörüyle verilen,

s (t)

tanımlanan minik bir itmeyle sonuçlanır.

Bu türev vektörünün değerini bulmak, her bir bileşenin türevini almayı gerektirir:

$\begin{aligned} \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} 100 (t - \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \\ \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} 100 (1 - \cos (t)) \\ 100 (- 1 - \cos (t)) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Yerçekimi kuvveti

9, 8 \frac{m}{s^{2}}

ivmesi çarpı Whilly'nin kütlesiyle verilir. Aslında önemli olmasa da, bir mavi balinanın tipik kütlesini araştırdım, ve

170.000 kg

civarında, o zaman bu sayıyı kullanalım.

Bu kuvvet tamamen aşağı doğru olduğundan, kuvvet olarak yer çekimi şöyle görünür:

$\begin{aligned} F_{g} & = [\begin{array}{c} 0 \\ - (170.000) (9, 8) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Diyelim ki, yerçekiminin

t = 0

ile

t = 10

arasında yaptığı işi bulmak istiyoruz. Bu bilgiyi

\int_{C} F_{g} \cdot d s

integralinde yerine koyarsak ve integralin değerini bulursak, neyi elde edersiniz? Cevaba bakış atmadan önce, bir anlığına bunu yazmayı deneyin.

[Cevap]

(Aranızdaki fizik öğrencileri, Whilly'nin düşmesinin başlangıcı ve sonundaki yerçekimsel potansiyelini hesaplamanın ve aradaki farkı bulmanın daha kolay olacağını fark edecektir, konservatif alanlar konusuna bayılacaksınız!)

Vektör alanındaki daha genel çizgi integrallerini görselleştirme

Bir önceki örnekte, yerçekimi vektör alanı sabittir. Yerçekimi her yerde aynı miktarla direkt aşağı doğru olur. Bir vektör alanındaki çoğu integralde, alandaki vektörler farklı noktalarda farklı olur, onun için

d s

ile iç çarpımı alınan değer değişir. Aşağıdaki animasyon bunun neye benzediğini göstermektedir.

(Dikkat ederseniz, bu animasyon eğriyi parametrize etmek için

s

yerine

r

değişkenini kullanır, ama, tabii ki, bu fark yaratmaz.)

Burada neler olduğunu inceleyelim. Çizgi integralinin kendisi şöyle yazılabilir

$\begin{array}{r} \int_{C} F (r) \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}$ ‍

burada

$F$ ‍ uzayda her bir noktayı bir vektörle eşleştiren bir vektör alanıdır. Bunu bir kuvvet alanı olarak da düşünebilirsiniz.
$C$ ‍ uzaydaki bir eğridir.
$r (t)$ ‍ $C$ ‍ eğrisini $a \leq t \leq b$ ‍ aralığında parametrize vektör değerli bir fonksiyondur
$r^{'} (t)$ ‍ $r$ ‍'nin türevidir, hız vektörünü temsil eder $t$ ‍ sabit bir orange artarken konumu $r (t)$ ‍ olarak verily bir parçacık için. Bunu zamanda minik bir adımla, $d t$ ‍, çarparsanız, bu minik bir yer değiştirme verir, bunu eğri boyunca minik bir adım olarak düşünürüm. Teknik olarak, eğriye teğet yönde minik bir adımdır, yeterince küçük $d t$ ‍'ler için bu aynı şeye gelir.
Dikkat ederseniz, bu animasyonda $r^{'} (t)$ ‍'nin uzunluğu sabit kalır. Bu $C$ ‍'nin birçok parmaetrizasyonu için geçerli olmayabilir, çünkü konumunuz $r$ ‍'ye göre değişirken hızlanabilir veya yavaşlayabilirsiniz. Örneğin, düşüşü sırasında Whilly muhtemelen hızlanıyordu, ve hız vektörü zamanla büyüyordu.
Şemanın sağ altındaki dönen çember başlangıçta biraz kafa karıştırıcı olabilir. $F (r (t))$ ‍ vektörünün $r^{'} (t)$ ‍ teğet vektörüyle ne kadar hizalandığını gösterir. Gri $x$ ‍ ve $y$ ‍ vektörleri, bu vektörlerin $x y$ ‍-düzlemine göre genel olarak nasıl yönlendiğini görmek için gösterilmiştir.

Kavram kontrolü:

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

iç çarpımı neyi temsil eder?

[Cevap]

Fizik açısından, şu iç çarpımı düşünebilirsiniz

$F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$ ‍

olarak

$d W$ ‍

Yani,

C

boyunca hareket eden bir parçacığın üzerinde

F

kuvvet alanının yaptığı iş.

2. Örnek: Kasırganın yaptığı iş

Şu fonksiyonun tanımladığı vektör alanı düşünün:

$\begin{aligned} F (x, y) & = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Vektör alanı böyle gözükür:

Bir kuvvet olarak düşünüldüğünde, bu vektör alanı nesneleri başlangıç noktası etrafında saat yönünün tersine yönde iter. Örneğin, belki bu bir kasırga içinde hava direncine bağlı kuvveti temsil eder. Bu biraz gerçek dışıdır çünkü kasırganın merkezinden uzaklaştıkça, kuvvetin güçlü hale geldiğini ima eder, ama biz bunun "basitleştirilmiş bir model" olduğunu söyleyebilir ve yolumuza devam edebiliriz.

Diyelim ki, bu vektör alanıda yarıçapı

1

, merkezi

(2, 0)

olan bir çember boyunca bir çizgi integralini hesaplamak istiyoruz.

Burada yönelimin önemli olduğunu belirtmem gerekiyor. Çemberin etrafında saat yönünün tersine yürürken kasırga güç alanının yaptığı iş, bunun etrafında saat yönünde yürürken yapılan işten farklı olabilir (bunu biraz sonra açık olarak göreceğiz).

Çember etrafında saat yönünün tersine bir yürüyüşü düşünürsek, eğriyi şu fonksiyonlar parametrize edebilirsiniz.

$\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ \sin (t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

burada

t

0

ile

2 π

arasında değişir.

Yine, işi temsil eden çizgi integralini kurmak için, her bir noktadaki kuvvet vektörünü,

F (x, y)

, düşünürsünüz ve eğri boyunca minik bir adımla,

d r

iç çarpımını alırsınız:

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

1. Adım: İntegrali açın

Kavram kontrolü: Aşağıdaki integrallerden hangisi

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

ile aynı şeyi temsil eder?

[Açıklamayı göster]

2. Adım: Her bir bileşeni açın

Kavram kontrolü: Yukarıdaki tanımlara göre,

F (r (t))

nedir?

[Cevap]

Kavram kontrolü:

r^{'} (t)

nedir?

[Cevap]

3. Adım: İntegrali çözün

Kavram kontrolü: İntegrali bulmak için, son üç cevabı birleştirin.

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

[Cevap]

Bu son cevap, kasırga kuvvet alanının üstteki resimdeki çemberin etrafında saat yönünün tersine giden bir parçacığın üzerinde yaptığı işi verir.

Yansıma sorusu: Bu cevabın pozitif olması neden mantıklıdır?

[Cevap]

Yönelim önemlidir

Çemberi saat yönünde yöneltseydik, bir önceki örnekte ne olurdu? Örneğin, şu fonksiyonlar parametrize edebilirdik

$\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ - \sin (t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

İsterseniz, bunu yerine koyabilirsiniz ve neler olduğunu görmek için hesaplamaların hepsini yapabilirsiniz. Ancak, neler olduğu hakkında mantık yürümek için daha basit bir yol vardır.

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍,

eğri boyunca minik bir adımı gösteren her

d r

vektörü, ters yönü gösterecek şekilde döndürülür.

Kavram kontrolü: Diyelim ki,

v

w

şeklinde iki vektörünüz var, ve

v \cdot w = 3

v

'yi diğer yöne bakacak şekilde döndürüyoruz, yeni bir vektör elde ediyoruz,

v_{new} = - v

. İç çarpımına ne olur?

v_{new} \cdot w =

[Cevap]

Her bir

d r

'nin yönü değiştiğinde, integralin içindeki iç çarpım

- 1

ile çarpıldığından, aşağıdaki sonuca varabiliriz:

Önemli Fikir: Bir vektör alanındaki çizgi integrali eğrinin yönelimi tersine döndüğünde, $- 1$ ‍ ile çarpılır.

Özet

Bir vektör alanındaki çizgi integralinin kısa gösterimi
$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍
$C$ ‍'nin bir parametrizasyonu $r (t)$ ‍ verildiğinde, daha açık gösterim şöyle olur
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}$ ‍
Çizgi integralleri fizikte hareketli bir nesneye etki eden kuvvetin yaptığı işi hesaplamakta faydalıdır.
Eğriyi $t$ ‍ artıkça ters yönde hareket edecek şekilde parametrize ederseniz, çizgi integralinin değeri $- 1$ ‍ ile çarpılır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.