Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 4: Vektör Alanlarının Çizgi İntegralleri (Makaleler)

Bir vektör alanındaki çizgi integralleri

Google Classroom

Bir skaler alandaki çizgi integrallerini öğrendikten sonra, vektör alanlarındaki çizgi integrallerini öğrenin.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Diyelim ki, bir start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 vektör alanı ve bu alanda gezinine bir start color #a75a05, C, end color #a75a05 eğrisi var. Bu eğri boyunca yürüdüğünüzü, ve her adımda aşağıdaki iki vektörün iç çarpımını aldığınızı hayal edin:
- start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 alanından durduğunuz noktadaki vektör.
- Bu eğri boyunca attığınız bir sonraki adımla ilgili yer değiştirme vektörü.
Bu iç çarpımları toplarken, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin start color #a75a05, C, end color #a75a05 boyunca çizgi integralini kestirmiş olursunuz
Bu çizgi integrali için kısa gösterim,
$\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}$
(Bunun iç çarpımı olduğuna özellikle dikkat edin)
start color #a75a05, C, end color #a75a05'nin bir parametrizasyonu start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis verildiğinde, daha açık gösterim şöyle olur
$\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}$
Çizgi integralleri fizikte hareketli bir nesneye etki eden kuvvetin yaptığı işi hesaplamakta faydalıdır.
Eğriyi t artıkça ters yönde hareket edecek şekilde parametrize ederseniz, çizgi integralinin değeri minus, 1 ile çarpılır.

Gökyüzünden düşen balina

Diyelim ki, gökyüzünden düşmekte olan bir balinamız var, adına Whilly diyorum. Hava yolları onu farklı yönlerde ittiği için, eğri bir yol boyunca düştüğünü varsayalım.

Bu örnekte, bir kuvvetin hareketli bir nesneye iş yaptığı, ve bu işin kuvvet vektörüyle yer değiştirme vektörü arasındaki iç çarpım olarak tanımlandığı fikrine aşina olduğunuzu varsayıyorum.

[Bu fikir için hızlı bir bilgi tazelemeye mi ihtiyacınız var?]

Önemli soru: C eğri yolunda düşerken yerçekiminin Whilly'ye yaptığı iş nedir?

Genellikle, hesaplama çalışması düz bir kuvvet vektörü ve düz bir yer değiştirme vektörüne göre yapılır, o zaman bu eğri izle ne yapabiliriz? Eğrinin birçok küçük yer değiştirme vektöründen oluştuğunu düşünerek başlayabilirsiniz:

Devam edin ve bu yer değiştirme vektörlerinin her birine bir isim verin,

delta, s, with, vector, on top, start subscript, 1, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 3, end subscript, dots

Bu yer değiştirme vektörlerinin her biri boyunca yerçekiminin yaptığı iş yerçekimi kuvveti vektörünün, bunu F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top belirtiyorum, yer değiştirme vektörüyle iç çarpımıdır:

F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top, dot, delta, s, with, vector, on top, start subscript, i, end subscript

Bu durumda, eğri boyunca yer çekiminin yaptığı iş şu şekilde kesitirilir.

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^N \vec{F_g} \cdot \vec{\Delta s}_n \end{aligned}$

Ama tabii ki, bu analiz, onun için C eğrisi boyunca sadece belirli bir sonlu adım sayısına bakmıyoruz. Bu adımların boyutu küçüldükçe, bu toplamın oluşturduğu sınırlayan değeri düşünüyoruz. Bu, aşağıdaki integralle yakalanır:

$\begin{aligned} \int_C \vec{F_g} \cdot \vec{ds} \end{aligned}$

Bu skaler alanda çizgi integraliyle benzerlik gösterir, ama önemli bir fark var: Minik adım, d, s, with, vector, on top, şimdi skaler uzunluk olarak değil, vektör olarak düşünülür. Üstteki integralde, hem F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top'yi, hem de d, s, with, vector, on top'yi üstünde oklarla yazdım ki, vektör olduklarını vurgulayayım. Bunların vektör miktarları olduğunu vurgulamanın daha ince ve yaygın bir yöntemi değişkeni kalın harflerle yazmaktır:

$\begin{aligned} \int_C \textbf{F}_g \cdot d\textbf{s} \end{aligned}$

Önemli fikir: C boyunca gittikçe topladığımız şey, start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript'nin her bir noktadaki tam değeri değildir, ama start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript'nin d, start bold text, s, end bold text vektörüyle aynı yöndeki bileşenidir. Yani, kuvvetin eğri yönündeki bileşeni.

1. Örnek: Whilly'nin düşüşüne sayıları koyma.

Hesaplamayı yaptığımızda, bunun neye benzediğine bakalım.

Diyelim ki, Whilly'nin düşüşünün eğrisi şu parametrik fonksiyonlar tanımlansın

$\begin{aligned} \textbf{s}(t) = \left[ \begin{array}{c} 100(t - \sin(t)) \\ 100(-t - \sin(t)) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$

Eğri boyunca küçük bir adımı temsil eden d, start bold text, s, end bold text vektörü, bu fonksiyonun türevi çarpı d, t olarak verilebilir:

d, start bold text, s, end bold text, equals, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, divided by, d, t, end fraction, d, t, equals, start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t

Bu yabancı görünürse, parametrik fonksiyonların türevlerini tanımlayan makaleye bakabilirsiniz. Bunu görselleştirmenin yolu, t parametresine d, t. boyutunda minik bir artışı düşünmektir. Bu, eğri boyunca start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t vektörüyle verilen, start bold text, s, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis tanımlanan minik bir itmeyle sonuçlanır.

Bu türev vektörünün değerini bulmak, her bir bileşenin türevini almayı gerektirir:

$\begin{aligned} \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} 100(t - \sin(t)) \\\\ \dfrac{d}{dt} 100(-t - \sin(t)) \\\\ \end{array} \right] \\\\ \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} 100(1 - \cos(t)) \\\\ 100(-1 - \cos(t)) \\\\ \end{array} \right] \\\\ \end{aligned}$

Yerçekimi kuvveti 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction ivmesi çarpı Whilly'nin kütlesiyle verilir. Aslında önemli olmasa da, bir mavi balinanın tipik kütlesini araştırdım, ve 170, point, 000, start text, k, g, end text civarında, o zaman bu sayıyı kullanalım.

Bu kuvvet tamamen aşağı doğru olduğundan, kuvvet olarak yer çekimi şöyle görünür:

$\begin{aligned} \textbf{F}_g &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -(170{.}000)(9,8) \end{array} \right] \\\\ \end{aligned}$

Diyelim ki, yerçekiminin t, equals, 0 ile t, equals, 10 arasında yaptığı işi bulmak istiyoruz. Bu bilgiyi integral, start subscript, C, end subscript, start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript, dot, d, start bold text, s, end bold text integralinde yerine koyarsak ve integralin değerini bulursak, neyi elde edersiniz? Cevaba bakış atmadan önce, bir anlığına bunu yazmayı deneyin.

[Cevap]

(Aranızdaki fizik öğrencileri, Whilly'nin düşmesinin başlangıcı ve sonundaki yerçekimsel potansiyelini hesaplamanın ve aradaki farkı bulmanın daha kolay olacağını fark edecektir, konservatif alanlar konusuna bayılacaksınız!)

Vektör alanındaki daha genel çizgi integrallerini görselleştirme

Bir önceki örnekte, yerçekimi vektör alanı sabittir. Yerçekimi her yerde aynı miktarla direkt aşağı doğru olur. Bir vektör alanındaki çoğu integralde, alandaki vektörler farklı noktalarda farklı olur, onun için d, start bold text, s, end bold text ile iç çarpımı alınan değer değişir. Aşağıdaki animasyon bunun neye benzediğini göstermektedir.

(Dikkat ederseniz, bu animasyon eğriyi parametrize etmek için start bold text, s, end bold text yerine start bold text, r, end bold text değişkenini kullanır, ama, tabii ki, bu fark yaratmaz.)

Burada neler olduğunu inceleyelim. Çizgi integralinin kendisi şöyle yazılabilir

$\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}(\textbf{r})} \cdot \redE{d\textbf{r}} = \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}$

burada

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 uzayda her bir noktayı bir vektörle eşleştiren bir vektör alanıdır. Bunu bir kuvvet alanı olarak da düşünebilirsiniz.
start color #a75a05, C, end color #a75a05 uzaydaki bir eğridir.
start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis start color #a75a05, C, end color #a75a05 eğrisini a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b aralığında parametrize vektör değerli bir fonksiyondur
start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 start bold text, r, end bold text'nin türevidir, hız vektörünü temsil eder t sabit bir orange artarken konumu start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis olarak verily bir parçacık için. Bunu zamanda minik bir adımla, d, t, çarparsanız, bu minik bir yer değiştirme verir, bunu eğri boyunca minik bir adım olarak düşünürüm. Teknik olarak, eğriye teğet yönde minik bir adımdır, yeterince küçük d, t'ler için bu aynı şeye gelir.
Dikkat ederseniz, bu animasyonda start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612'nin uzunluğu sabit kalır. Bu start color #a75a05, C, end color #a75a05'nin birçok parmaetrizasyonu için geçerli olmayabilir, çünkü konumunuz start bold text, r, end bold text'ye göre değişirken hızlanabilir veya yavaşlayabilirsiniz. Örneğin, düşüşü sırasında Whilly muhtemelen hızlanıyordu, ve hız vektörü zamanla büyüyordu.
Şemanın sağ altındaki dönen çember başlangıçta biraz kafa karıştırıcı olabilir. start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 vektörünün start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 teğet vektörüyle ne kadar hizalandığını gösterir. Gri x ve y vektörleri, bu vektörlerin x, y-düzlemine göre genel olarak nasıl yönlendiğini görmek için gösterilmiştir.

Kavram kontrolü: start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f iç çarpımı neyi temsil eder?

(A şıkkı)
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 kuvvetinin t'ye göre değiştiği oran.
(B şıkkı)
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99'nin start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis eğrisi boyunca minik bir adımla aynı yönde duran bileşeninin, bu minik adımın boyutuyla çarpımı.

[Cevap]

Fizik açısından, şu iç çarpımı düşünebilirsiniz

start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f

olarak

start color #0d923f, d, W, end color #0d923f

Yani, start color #a75a05, C, end color #a75a05 boyunca hareket eden bir parçacığın üzerinde start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 kuvvet alanının yaptığı iş.

2. Örnek: Kasırganın yaptığı iş

Şu fonksiyonun tanımladığı vektör alanı düşünün:

$\begin{aligned} \textbf{F}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] \end{aligned}$

Vektör alanı böyle gözükür:

Bir kuvvet olarak düşünüldüğünde, bu vektör alanı nesneleri başlangıç noktası etrafında saat yönünün tersine yönde iter. Örneğin, belki bu bir kasırga içinde hava direncine bağlı kuvveti temsil eder. Bu biraz gerçek dışıdır çünkü kasırganın merkezinden uzaklaştıkça, kuvvetin güçlü hale geldiğini ima eder, ama biz bunun "basitleştirilmiş bir model" olduğunu söyleyebilir ve yolumuza devam edebiliriz.

Diyelim ki, bu vektör alanıda yarıçapı 1, merkezi left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis olan bir çember boyunca bir çizgi integralini hesaplamak istiyoruz.

Burada yönelimin önemli olduğunu belirtmem gerekiyor. Çemberin etrafında saat yönünün tersine yürürken kasırga güç alanının yaptığı iş, bunun etrafında saat yönünde yürürken yapılan işten farklı olabilir (bunu biraz sonra açık olarak göreceğiz).

Çember etrafında saat yönünün tersine bir yürüyüşü düşünürsek, eğriyi şu fonksiyonlar parametrize edebilirsiniz.

$\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

burada t, 0 ile 2, pi arasında değişir.

Yine, işi temsil eden çizgi integralini kurmak için, her bir noktadaki kuvvet vektörünü, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, düşünürsünüz ve eğri boyunca minik bir adımla, d, start bold text, r, end bold text iç çarpımını alırsınız:

$\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}$

1. Adım: İntegrali açın

Kavram kontrolü: Aşağıdaki integrallerden hangisi

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

ile aynı şeyi temsil eder?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t)dt \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \int_a^b \textbf{F}(\textbf{r}(t), \textbf{r}'(t))dt \end{aligned}$

[Açıklamayı göster]

2. Adım: Her bir bileşeni açın

Kavram kontrolü: Yukarıdaki tanımlara göre, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis nedir?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t)+2 \\ \sin(t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\sin(t) \\ \cos(t)+2 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Cevap]

Kavram kontrolü: start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis nedir?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

[Cevap]

3. Adım: İntegrali çözün

Kavram kontrolü: İntegrali bulmak için, son üç cevabı birleştirin.

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

[Cevap]

Bu son cevap, kasırga kuvvet alanının üstteki resimdeki çemberin etrafında saat yönünün tersine giden bir parçacığın üzerinde yaptığı işi verir.

Yansıma sorusu: Bu cevabın pozitif olması neden mantıklıdır?

[Cevap]

Yönelim önemlidir

Çemberi saat yönünde yöneltseydik, bir önceki örnekte ne olurdu? Örneğin, şu fonksiyonlar parametrize edebilirdik

$\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ -\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

İsterseniz, bunu yerine koyabilirsiniz ve neler olduğunu görmek için hesaplamaların hepsini yapabilirsiniz. Ancak, neler olduğu hakkında mantık yürümek için daha basit bir yol vardır.

$\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}$ ,

eğri boyunca minik bir adımı gösteren her d, start bold text, r, end bold text vektörü, ters yönü gösterecek şekilde döndürülür.

Kavram kontrolü: Diyelim ki, start bold text, v, end bold text ve start bold text, w, end bold text şeklinde iki vektörünüz var, ve start bold text, v, end bold text, dot, start bold text, w, end bold text, equals, 3. start bold text, v, end bold text'yi diğer yöne bakacak şekilde döndürüyoruz, yeni bir vektör elde ediyoruz, start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, e, w, end text, end subscript, equals, minus, start bold text, v, end bold text. İç çarpımına ne olur?

start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, e, w, end text, end subscript, dot, start bold text, w, end bold text, equals

[Cevap]

Her bir d, start bold text, r, end bold text'nin yönü değiştiğinde, integralin içindeki iç çarpım minus, 1 ile çarpıldığından, aşağıdaki sonuca varabiliriz:

Önemli Fikir: Bir vektör alanındaki çizgi integrali eğrinin yönelimi tersine döndüğünde, minus, 1 ile çarpılır.

Özet

Bir vektör alanındaki çizgi integralinin kısa gösterimi
$\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}$
start color #a75a05, C, end color #a75a05'nin bir parametrizasyonu start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis verildiğinde, daha açık gösterim şöyle olur
$\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}$
Çizgi integralleri fizikte hareketli bir nesneye etki eden kuvvetin yaptığı işi hesaplamakta faydalıdır.
Eğriyi t artıkça ters yönde hareket edecek şekilde parametrize ederseniz, çizgi integralinin değeri minus, 1 ile çarpılır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.