Konservatif (Tutarlı) Vektör Alanlarının Kapalı Eğri Çizgi İntegralleri

Son videoda bir skaler alanın gradyanı olarak bir vektör alanı bulduğumuzda, veya büyük F'nin x'e göre kısmisi çarpı i artı büyük F'nin y'ye göre kısmisi çarpı j'yi aldığımızda, bu gradyanın konservatif bir vektör alanı olduğunu gördük. Buna göre, f konservatif bir vektör alanıdır. Bir önceki videodaki kazanım f'nin iki nokta arasındaki çizgi integrali ile ilgiliydi. İki noktayı şimdi x y düzleminde göstereyim. x eksenimiz, y eksenimiz. Bu nokta ve şu nokta. Bu iki nokta arasında iki farklı iz olduğunu varsayalım. Birinci iz şöyle olsun, adına c 1 diyelim ve şu yönde gitsin. c 2 de şöyle olsun. İkisi de buradan başlayıp şuraya gidiyor. Önceki videoda çizgi integralinin izden bağımsız olduğunu öğrenmiştik değil mi. Bu durumda f iç çarpım d r'nin c 1 üzerindeki çizgi integrali f iç çarpım d r'nin c 2 izi üzerindeki çizgi integraline eşit olacak. Eğer bir alan üzerinde bir potansiyel varsa herhangi iki nokta arasındaki çizgi integrali izden bağımsız olur. Konservatif bir alanın özelliği budur. Şimdi bir önceki videoda öğrendiklerimizi biraz daha genişletmek biraz daha detaylandırmak istiyorum. Belki size bariz gelecek, ama önemli bir özellikten bahsedeceğim. Bunu zaten yazmıştım. Şimdi şu denklemdeki terimlerin yerlerini değiştirebilirim. Evet böyle yapalım. Şunu tekrardan yazıyorum. Şimdi bunu iki taraftan çıkarırsam c 1 üzerindeki f iç çarpım d r'nin çizgi integrali eksi c 2 üzerindeki f iç çarpım d r'nin çizgi integrali eşittir 0. Şimdi bir önceki videodaki eşitliği alıp, şunu iki taraftan çıkardım. Birkaç video önce, vektör alanının çizgi integralinde iz yönünün önemli olduğunu öğrenmiştik. f iç çarpım d r'nin c 2 üzerindeki çizgi integralinin eksi c 2 üzerindeki integralinin eksisine eşit olduğunu öğrenmiştik. Buradaki eksi c 2, c 2 ile aynı iz ama ters yön anlamına geliyordu. Örneğin, eksi c 2, c 2 ile aynı iz oluyordu, ama bu yön yerine şu yönde gidiyordum. Şimdi c 2 oklarını yok sayın buradan başlayın ve bu tarafa doğru gelin. Bu, eksi c 2. Veya eksiyi öteki tarafa alabiliriz f iç çarpım d r'nin c 2 üzerindeki çizgi integralinin eksilisi f iç çarpım d r'nin ters yöndeki izi üzerindeki çizgi integraline eşittir. Burada sadece iki tarafı eksi 1 ile çarptım. Bu denklemde, c 2 izinin eksilisi var, şurada da var. O zaman bunu şunun yerine koyalım. Önce şu kısmı yazayım. c 1 üzerindeki f iç çarpım d r'nin integrali eksi c 2 üzerindeki çizgi integral yerine, artı, eksi c 2 üzerindeki integral diyeceğim. Bu ikisinin aynı şey olduğunu gösterdik. Bu eğrinin negatifi veya bu iz üzerindeki çizgi integrali, ters yöndeki iz üzerindeki çizgi integraliyle aynı. O zaman f iç çarpım d r'nin eksi c 2 üzerindeki çizgi integrali 0'a eşittir, diyebiliriz. Burada ilginç bir şey bulduk. c 1 ve eksi c 2 izlerinin birleşimine bakalım. c 1 buradan başlıyor. c 1 şu noktada başlıyor. c 1 eğrisi boyunca hareket edip bu noktaya ulaşıyoruz. Sonra da eksi c 2 yönüne, yönünde gidiyoruz. Eksi c 2 de bu noktadan başlıyor ve orijinal noktaya geri dönüyoruz ve bu bir döngü oluşturur. Yani bu kapalı bir çizgi integrali olur. Bunları birleştirdiğinizde baştan yazabilirsiniz. Bunun döngü olduğunu unutmayın. Bunu ters çevirerek, buradan başlayıp şuraya giderim ve c 2'nin ters izinde geri dönerim. Yani bu, kapalı bir çizgi integraline denktir. Kapalı bir iz üzerindeki integralle aynı şeydir. c 1 eksi c 2 izine kapalı iz diyebiliriz. c 1 ve eksi c 2'yi rastgele çizdiğim için, vektör alanının bir skaler alanın gradyanı olduğu, konservatif olduğu, potansiyeli olduğu her iz için bu doğrudur, diyebiliriz. Bunu f iç çarpım d r'nin c 1 artı ters c 2 üzerindeki integralleri olarak yazarım ve bu, şunun farklı bir gösterimidir ve 0'a eşittir. Bu videodan çıkarımımız budur ve buna bir doğal sonuç diyebiliriz. Bu sonucun ortaya çıkardığı bir başka sonuçtur. Bir alanda veya x y düzleminin tamamında bir vektör alan, bir skaler alanın gradyanı varsa buna f'nin potansiyel fonksiyonu diyoruz. Genelde potansiyel vektör alanın negatifi olacak, eğer skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanımız varsa, bu vektör alanın konservatif olduğunu söylüyoruz. Bunun geçerli olduğu alandaki her noktada, bir noktadan başka bir noktaya çizgi integrali izden bağımsız olur. Bunu bir önceki videodan çıkarmıştık. İzden bağımsızlığın bir sonucu olarak da bir kapalı eğri integrali veya kapalı döngü üzerindeki vektör alanının çizgi integrali 0'a eşit olacak. Bu videodan çıkarımımız şu: Vektör alanının konservatif veya izden bağımsız veya bir başka fonksiyonun gradyanı olduğunu bildiğimiz takdirde, f iç çarpım d r'yi gördüğünüz zaman ve birisi bunun değerini bulmanızı isterse hemen 0'a eşit olduğunu söyleyebilirsiniz.