Paramatrizasyon Yönündeki Değişim

Önümüzdeki birkaç videoda, izimizin yönünü değiştirdiğimizde çizgi integralinin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Şöyle bir c eğrimiz var, diyelim. x ve y eksenlerini çizelim. Bu y ekseni, bu x ekseni. Eğrimizin burada başladığını ve t arttıkça, şu şekilde devam ettiğini düşünelim. Bu y ekseni, bu x ekseni. Eğrimizin burada başladığını ve t arttıkça, şu şekilde devam ettiğini düşünelim. Bu yönde hareket ediyoruz. Geri yönde gitmek için farklı bir eğri tanımlamalıyım. Buna eksi c diyelim, şekli şöyle olur. Bu y ekseni, bu da x ekseni. Şekli aynı, ama burada başlıyor ve t arttıkça ilk eğrinin başlangıç noktasına doğru gidiyor. Yani şekli tamamen aynı, ama tam ters yönde hareket ediyor. Bu videoda, böyle bir durumda parametrik denklemleri nasıl oluşturacağımızı anlatmaya çalışacağım. Sonraki iki videoda ise, bunun çizgi integralini nasıl etkilediğini anlamaya çalışacağız. Bir adet s kaler alan örneği, bir de vektör alan örneği çözeceğiz. Şimdi bunları önceki temel tanıma göre parametrik hale dönüştürelim. x eşittir x t , y eşittir y t. t a'dan başlar. Yani t a ve b arasında olacak. Bu örnekte burada t eşittir a ve şu nokta, x a, y a. t b'ye eşit olduğunda ise, bu nokta x b, y b. Bu parametrik denklemlerin tekrarı gibi oldu. Burada yeni bir şey yok. Şimdi bu fonksiyonlara göre, aynı şekli olan ama buradan başlayan bir eğriyi nasıl oluştururuz? Bu noktanın t eşittir a olmasını istiyoruz. Bunun t eşittir a olmasını istiyorum ve t arttıkça, bunun t eşittir b olmasını istiyorum. Yani tam ters yönde hareket etmek istiyorum. t a'ya eşit olduğunda, noktanın koordinatlarının hala x b, y b olmasını istiyorum. t a'ya eşit olduğunda, bu fonksiyonlarda b olmasını istiyorum, t a'ya eşit olduğunda ise, noktanın koordinatlarının x a, y a olmasını istiyorum. Çok şey mi istiyorum ? Bunların birbirinin tersi olduğuna dikkat edin . Burada t eşittir a, x a, a. y a. Şurada da t eşittir b, bitim noktası. Şimdi bu noktadayım, x a, y a. Bunu nasıl oluştururum? a 'ya eşit olduğunda, bu iki fonksiyonun b'deki değerini istiyoruz. x'i tanımlarken, buraya t koyacağımıza a artı b eksi t koyalım ve bakalım ne olacak ? Ne olur? Bunu y için de yapayım. y eşittir y a artı b eksi t. Bunu böyle tanımladığımızda ne olur? Bu parametrik denklemler için de t'nin a'dan b'ye gittiğini söyleyelim. Bu parametrik denklemleri deneyip, aynı şeklin ters yönde hareketi olduğunu doğrulayalım. Veya en azından mantığa oturtalım. t a'ya eşit olduğunda x eşittir a artı b eksi a, öyle değil mi? Bu neye eşit? a eksi a sadeleşir, yani bu x b'ye eşit. Benzer şekilde t a'ya eşit olduğunda, y eşittir a artı b eksi a'nın y değeri. a'lar sadeleşir, yani bu y b'ye eşit. Yani bu işe yaradı. t a'ya eşit olduğunda, parametrik denklemlerime göre, koordinatlar x b, y b olur. t eşittir a için x b, y b. t eşittir b için de aynı şeyi yapabilirim. t eşittir b için, x neye eşit olur? a artı b eksi b'nin x değeri, öyle değil mi? a artı b eksi b eşittir a. Yani x a'ya eşit. a artı b eksi b, a olduğu için, y değeri de y a olacak. Başlangıç ve bitim noktaları için bu parametrik denklemler işe yaradı. Bunun üzerinde biraz düşünürseniz, t a olduğundaki noktanın x b, y b olduğunu görmüştük. Bunu burada görmüştük. Ve t arttıkça bu değer azalacak. x b y b'de başladık ve t arttıkça bu değer a'ya doğru azalacak, öyle değil mi? b'den başlayıp a'ya gidiyor. Bu a'dan başlayıp b'ye gidiyordu. Umarım, bunların aynı eğriyi verdiğini anlatabildim. Sadece birbirlerinin ters tersi ters yönde konuşamadım... Sadece birbirlerinin tersi yönünde hareket ediyorlar. Şimdi bunların birbirlerinin tersi yönde aynı eğri boyunca hareket ettiğini kabul ederseniz. -Bir sonraki videoda bu çizgi integralinin, f x d s'nin değerini bulup bu çizgi integraliyle karşılaştıracağım. Bu skaler bir alan, yani burada skaler bir alanın bu eğri üzerindeki çizgi integralini alıyoruz. Peki, aynı skaler alan üzerinde ters yönde bir çizgi integrali alırsak ne olur? Bir sonraki videoda bunu göreceğiz. Ondan sonraki videoda ise, aynı şeyi vektör alanlar için yapacağız.