Çizgi İntegrali

Eğer iki boyutta, bir eğrinin altındaki alanı bulmak istiyorsak, bunun için birçok yöntemimiz var Şurası x ekseni, burası da y ekseni. Şuraya bir fonksiyon çizeyim, x eşittir a ile, x eşittir b arasındaki alanı bulmak istiyoruz. Bunu, daha önceki videolarda yapmıştık.Çok küçük x farkları alabiliriz, ve buna delta x veya dx diyebiliriz. Sonsuz küçüklükteki x farkları. Sonra, bu değerleri, x'in o noktalardaki fonksiyon değerleriyle çarpıyoruz. dx'i, o noktadaki yükseklikle, yani x'in fonksiyon değeriyle, çarpıyoruz. Fonksiyon değeriyle, bu sonsuz küçüklükteki n' I çarparsak, şu sonsuz incelikteki dikdörtgenin alanını bulmuş oluruz. İnceliği sebebiyle, dikdörtgenlerin, ancak sonsuz adedi bu alanı doldurabilir. Yani, bunlardan sonsuz tane alacağız, öyle değil mi? Dolayısıyla, burada belirli integrali kullanıyoruz.Belirli integral, bu sonsuz incelikteki sonsuz adet dikdörtgenin alanının toplamı anlamına geliyor. Ve notasyona göre, integral a'dan b'ye gidiyor. Belirli integralin değerinin nasıl bulunduğu hakkında Belirli integralin değerinin nasıl bulunduğu hakkında çok video yaptık.Size burada, yalnızca, kavramı hatırlatmak istedim. Kavramsal olarak şunu diyoruz: x'de küçük bir fark alalım. Bunu, o noktadaki yükseklikle çarpalım. Bunlardan sonsuz adette olacak, çünkü bu farklar, sonsuz derecede küçük O zaman, x eşittir a'dan, x eşittir b'ye, sonsuz adetteki dikdörtgenin alanlarını toplayalım. Bu, bizim standart belirli integralimiz.Şimdi, bu videoda, bunu biraz genişletmek biraz daha farklı ve zor sorular çözmek istiyorum. Şimdi, üç boyuta geçelim.Öncelikle, x y düzlemini çiziyorum.Benzerliği göstermek için, şurayı aynı tutayım. Perspektif oluşturmak için, şurayı biraz düzleştireyim.Şurası y ekseni diyelim, ekranın arkasına kadar uzanıyor. Şurayı itip düşürdüğümü farzedin. Burası, y ekseni, burası da x ekseni.xy düzleminde bir iz tanımlayalım. Bu izi tanımlamak için, x ve y değişkenlerini parametrik olarak belirtmem gerekir. Diyelim ki, x ve y, bir t parametresinin fonksiyonları olarak yazılmış. t parametresi de a'dan b'ye gidiyor Bu, bize xy düzlemindeki izin tanımını verir. Eğer, kafanız karıştıysa, şimdi parametrik denklemlerle ilgili videoları tekrar seyretmek isteyebilirsiniz. Temel olarak, t, a'ya eşit olduğunda, x de a'nın g fonksiyon değerine eşit olur. Ve, y de, a'nın h fonksiyon değerine eşit olur. Buna göre, bu noktayı elde edeceğiz. t, a'ya eşit olduğunda, a'nın g fonksiyon değerini, noktanın x değeri olarak alacağız. a'nın g fonksiyon değeri, burada. y koordinatı da, a'nın h fonksiyon değeri olacak.Öyle değil mi? Bu denklemlere, t eşittir a'yı verdiğimizde, x ve y için birer değer elde ederiz. Bu koordinat, a'nın h fonksiyon değeri olur. Sonra, t'yi, b'ye ulaşana kadar, azar azar artırırız. Bu şekilde, şuna benzeyen bir noktalar kümesi elde ederiz Bu, xy düzleminde bir iz. Şimdi sorabilirsiniz: Bunun, şununla ne ilgisi var.Burada ne yapıyoruz? Şuraya, izimizi belirtmek için, bir c yazayım. Şimdi de diyelim ki, xy düzleminde her noktaya bir değer veren bir fonksiyon var. x ve y cinsinden bir f fonksiyonu. xy düzlemindeki her noktaya bir değer veren bir fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiğini çizeyim.Şuraya bir düşey eksen çizeyim.Buna f ekseni veya z ekseni diyebiliriz. Bana bir noktanın x ve y'si verildiğinde, ve bu koordinatları fonksiyonuma girdiğimde, bana bir koordinat daha verecek. Dolayısıyla, fonksiyonumun temsil ettiği bir yüzeyi çizebilirim. Örnek yaptığımda, şimdi çok daha somut olarak anlayacağız. Diyelim ki, f fonksiyonu, şöyle bir şey. Elimden geldiğince yine iyi çizeceğim. f fonksiyonu. Şöyle bir yüzey. Bir kısmını çizeyim. Şuna benzeyen bir yüzey. Unutmayın, x ve y koordinatlarını fonksiyona koyduğumda elde ettiğim değeri, üçüncü bir koordinat olarak, şu düşey yönde kullanıyorum. f fonksiyonuna bir örnek vermek istersek, x artı y diyebiliriz.Örnek olarak, x çarpı y olabilir. x eşittir 1, y eşittir 2 ise, f, 1 çarpı 2 olur. f fonksiyonunun grafiğini çizdiğimizde, şu yüzeyi elde ettiğimizi düşünelim. Şimdi ilginç bir şey yapalım.Eğrinin altındaki alanı bulmak istemiyoruz, ilk yaptığımızda çok kolay gelmişti. Bu iz üzerinde bir perde veya çit varmış gibi düşünelim, ve o alanı bulmak istiyoruz. x ekseninde a'dan b'ye giden çok düz bir iz olarak düşünebiliriz. Veya, xy düzleminde eğriler çizen bir iz de olabilir. Şimdi, buradan f değerine doğru bir duvar, perde veya çit çizdiğimizi hayal edersek, bunu çizmeye çalışalım. Yani, bu nokta buraya çıkacak, belki de bu noktanın değeri şurada olacak.Ve, perdeyi çektiğimizde, kesişecek. Şuna benziyor, diyelim.Yani, buradaki nokta, şu noktanın karşılığı. Perde benzetmesinde, f'yi tavan, şuradaki eğriyi de duvarın alt kısmı olarak düşünelim. Çok çılgın bir duvar oldu. Bu nokta, şu noktaya karşılık geliyor. Kesiştiği noktayı izlediğimizde, şöyle bir şey çıkabilir.Şuna benzer bir şey. Elimden geldiğince, bu görsellemeyi sağlamaya çalışıcam. Şuraya gölge yapayım da, daha bir katı görünsün. f fonksiyonunun grafiğinin biraz şeffaf olduğunu düşünelim.Ama, şurada, şu eğri duvar var. Bu videoda öğrenmeye çalıştığımız, bu eğri duvarın alanını bulmak. Şimdi bu alanı nasıl bulacağımızı düşünelim. Eğrimizin uzunluğunda küçük bir fark alalım, ve buna ds diyelim. Eğrimizin uzunluğunda az bir fark bu. Bu farkı f değeriyle çarparsam, şu küçük dikdörtgenin alanını bulmuş olacağım değil mi? Bu ds'ye bakarsak, buradaki yay uzunluğunun çok küçük bir farkı olarak düşünebiliriz. ds, izin, o noktadaki yay uzunluğunun farkıdır. ds budur işte.Buna göre, tahmin edersiniz ki, şu küçük dikdörtgenin alanı, ds s'yi büyük harfle yazayım çarpı o noktadaki yükseklik olacak.Yükseklik, f değerine eşit. Bu ds'lerin eni sonsuz küçüklükte olduğu için, a'dan b'ye t değerleriyle oluşan sonsuz sayıda dikdörtgenin alanını toplarsam, istediğim alanı bulurum. Yukarıda kullandığım mantığın aynısını uyguluyorum. Bunun tabanını kıvırarak, düz bir duvar yerine, eğri bir duvar elde ettik.. Şöyle şöyle diyebilirsiniz: bu çok soyut, bana anlamlı gelmiyor.Burada s var, x var, y var, t var. Bunu nasıl hesaplayacağım? Bu videonun geri kalanında biraz karmaşık işlemler göreceksiniz.Ama, bir soruya uyguladığımızda, çok da zor olmadığını anlayacaksınız. Şimdi, bunların hepsini t cinsinden ifade edelim. Önce, ds'ye bakalım. x y eksenini tekrar ele alayım. x y'yi çevirdiğimizi düşünelim, evet yeşili kullanayım, aynı eksenler olduğuna dikkat edin. Yani, bu y ekseni, bu da x ekseni. Buradaki iz ise, şöyle bir şeye benziyor.Şöyle bir şeye benziyor öyle değil mi? Bu benim izim, yayım. Burada, t eşittir a, Bu da t eşittir b. İkisi aynı şey. Bunu görsellemeniz için, tekrar göstermek istedim.Şimdi, yay uzunluğunda bir değişim olduğunu varsayıyoruz.Şurada, diyelim. Bu yay uzunluğundaki değişime de ds diyelim. Bu ds ile, x ve y yönündeki sonsuz küçüklükteki farklar arasında bir bağlantı kurabilir miyiz? Size ispat yapmadığımı hatırlatmakla beraber, şunu söylemek istiyorum: Eğer, y ve x yönlerindeki farkları biliyorsak, ds'yi de buluruz. Yani, şuradaki uzunluk dx ise, bu uzunluk da dy, öyle değil mi? O zaman, ds'yi çok basit bir şekilde Pisagor teoreminden bulabiliriz ds, şu üçgenin hipotenüsü olur. ds o zaman eşittir, karekök, dx kare artı dy kare. ds'den kurtulduğumuz için, işimizin şimdi kolaylaşması lazım.Şimdi, ds'nin, dx kare artı dy karenin karekökü olduğunu düşünerek, bu ifadeyi baştan yazalım. İspata pek girmiyorum, ama umarım şu ana kadar, size mantıklı gelmiştir. Şöyle diyebiliriz: Bu perdenin alanı, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye, f x y, çarpı karekök dx kare artı dy karenin, integrali Şimdi s'den kurtulduk. Ama, böyle bir integrali nasıl böyle belirli integrali nasıl çözeceğiz? Burada integral t cinsinden, burada ise, x ve y cinsinden. Buna göre, her şeyi t cinsinden yapmamız gerekiyor. x ve y'nin t cinsinden fonksiyonlar olduğunu bildiğimize göre, şöyle yazabiliriz. İntegrali, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye yazarız. f x y'yi de şöyle yazalım: f, x cinsinden bir fonksiyon, x de t cinsinden bir fonksiyon. Aynı zamanda, f, y cinsinden bir fonksiyon, y de t cinsinden bir fonksiyon. Yani, bana bir t değeri verirseniz, size x veya y değeri bulabilirim. x ve y değerinden de f değerini bulurum. Evet bunu yazdık ve bir de şu kısım var.Turuncu ile yazayım burayıda. dx kare artı dy karenin karekökü. Hala, elimizdekileri t'ye çeviremedik. Bu integralin değerini alabilmek için, bir yerlere dt koymamız lazım. Somut bir problem çözdüğüm zaman, yani bir sonraki videoda, bunu göreceğiz. Ama şimdi size, bu sürecin sonunda elde ettiğimiz sonucu anlatmak istiyorum. Diferansiyellerle çalışırken, ifadeyi dt ile çarpıp, dt'ye bölebiliriz. Şimdi bu turuncu kısmı alalım ve pembeyle yazalım. dx kare artı dy kareyi, dt bölü dt ile çarpalım. t'deki küçük bir fark, bölü t'deki küçük fark.Bu 1 olduğu için, bununla çarpabiliriz. Şimdi, şu kısmı karekökün içine alıyorum. Bu, eşittir 1 bölü dt çarpı, karekök dx kare artı dy kare, çarpı, şuradaki dt. Öyle değil mi? Size 1'le çarptığımı göstermek için bu şekilde yazdım.Yani, dt'yi alıyorum, şuraya yazıyorum ve bunu, burada bırakıyorum. Şimdi, bunu karekökün içine almak istersem, yavaş yapayım ki cebirsel işlemleri daha iyi kavrayın. Bu, 1 bölü dt kare, çarpı dx kare artı dy kare, ve bunun tamamı, çarpı dt. Hiçbir şey değiştirmedim, bunun karekökünü alsanız, yine 1 bölü dt elde edersiniz. Şunu dağıtırsam, karekök, dx bölü dt kare artı, dy bölü dt kare.Sonda da, dt var. dx kare bölü dt kare eşittir, dx bölü dt, kare. y'ler için de aynı şeyi uygulayalım. Ve, bir anda, şimdi bu, çok ilginç bir hal almaya başlıdı değil mi? Bu ifadeyi bunun yerine koyuyorum. Bu ikisinin birbirine denk olduğunu söylemiştik. Buna göre, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye, f x t ve y t, çarpı karekök dx dt, integrali. dx dt neydi? dx dt, g üssü t'ye eşit. Öyle değil mi? x, t cinsinden bir fonksiyon. g üssü t. dy dt de, h üssü t. Bunu açıklığa kavuşturmak istedim.Bu iki fonksiyonun t'ye göre türevlerini alabiliriz.Bunu, bu şekilde bırakıyorum. Yani, karekök, x'in t'ye göre türevinin karesi, artı y'nin t'ye göre türevinin karesi, ve bunun tamamı, çarpı dt. Bu garip yay uzunluğu problemini, çizgisel integrali sadeleştirdik, öyle değil mi? Yaptığımız işte bu. İntegrali, bir aralık yerine, bir eğri veya doğru üzerinde alıyoruz Bu çizgisel integrali aldık, ve her şeyi t'ye çevirdik. Bir sonraki videoda, her şey t'ye çevrildiğinde, bu integralin nasıl basit bir belirli integrale dönüştüğünü size göstereceğim. Umarım, iyice karışmamışsınızdır.Bir sonraki videoda, bu metodun çok kolay uygulandığını göreceksiniz.Bir hatırlatma yaparsak: Şurası, yay uzunluğu farkıydı. Bu da, fonksiyonumuzun, o noktadaki yüksekliğiydi.Ve, sonsuz küçüklükteki uzunlukların, sonsuz toplamını alıyoruz. Burada, yay uzunluğu farkının yükseklikle çarpımı vardı. Bu dikdörtgenlerden sonsuz sayıda toplayarak, şu çitin veya perdenin alanını buluyoruz. Bu belirli integral, bize bu alanı veriyor.Bir sonraki videoda da bunu uygulayacağız.