Çizgi İntegrali Örneği 2 (1. Bölüm)

Diyelim ki elimde x ve y cinsinden bir fonksiyon var; f eşittir x artı y kare. Bu fonksiyonu çizmeyi deneyelim Burası y ekseni Burası x ekseni Y sıfıra eşit olduğunda şöyle sarıyla yapalım sadece böyle düz bir çizgi olur. Diğer tüm değerler için y cinsinden bir parabol çizeceğiz. y şöyle bir şey olur. Pozitif çeyrekte çiziyorum. İşte böyle böyle böyle bir şey oldu Aslında eksi y yönünde de parabolün diğer yarısını göreceksiniz ama şimdi bunu düşünmeyelim. Yüzeyimiz böyle. Burası tavan. Ve bir de x,y düzleminde bir yol olacak. 2'ye 0 noktasından başlayacağım. Bu noktada x, 2'ye y de 0'a eşit. Bir önceki videoda olduğu gibi bir çember boyunca hareket edeceğim ama bu defa bu sefer çemberin yarıçapı 2 olacak. Çember üzerinde saat yönünün tersinde hareket ediyoruz. Doğru görsellemeniz için bunun x y düzleminde olduğunu hatırlatayım. Şu nokta 0'a 2. Ve y ekseni boyunca geri dönüyorum. y ekseni boyunca döneceğim şurada sola sapacağım burada bir sol daha ve x ekseni boyunca geri geleceğim. Yeşillerle yolumuzu çizdik. Bu bizim kontür integralimiz. Çatısı f x y eşittir x artı y kare olan bu küçük binanın yüzey alanını hesaplayacağız. Duvarlarının yüzey alanını hesaplayacağız. Tabanı x ekseni olan bu duvar var. Şurada da eğri boyunca duran bu garip duvar var. Şöyle kıvrılıyor ve sonra y ekseni boyunca gidiyor. Şurada yarım parabol şeklinde bir duvar olacak. Evet bayağı güzel çizdim Y eksenindeki duvarı çizelim. Onu da morla yapayım. y ekseni üzerindeki arka duvarı çizdik. Sonra x ekseni üzerindeki ön duvar var. Bunu da sarıya boyayalım. Ve bu, garip yamuk yumuk duvarımız var. Yarıçapı 2 olan çemberin parçası üzerinde duruyor. Bunu da maviyle yapalım. Umarım gözününüzde canlanıyordur. Grafik programı kullanmadığım için biraz daha karmaşık duruyor. Bu üç duvarın toplam yüzey alanını bulmak istiyorum. O halde, yüzey alanı eşittir bu eğri üzerinde, f x y yani x artı y kare d s'nin çizgi integrali yada kontür integrali diyebiliriz. Buradaki d s kontürün küçük bir parçasıdır. Bu kapalı bir eğri olduğu için, buna kapalı çizgi integrali diyoruz. Bazen kitaplarda şöyle bir işaret görebilirsiniz. İntegral işaretinin üzerinde bir çember. Bunun anlamı, kullandığımız eğrinin kapalı olduğudur. yani başladığımız yere geri döneriz. Peki, bunu nasıl çözeceğiz? Eğriyi bulmak iyi bir başlangıç olur. İşimizi kolaylaştırmak için bunu üç parçaya bölelim ve üç ayrı çizgi integrali bulalım. Çünkü bu, pek sürekli bir eğri değil. Öncelikle yarıçapı 2 olan çembere bakalım. Eğrinin her bir kısmını farklı bi renkle yapayım. x eşittir 2 kosinüs t ve y eşittir 2 sinüs t . Geçen videoda t 0'dan büyük eşittir 0 ve küçük eşittir pi bölü 2 demiştik. T bu çemberdeki açımız. Eğer bunu nasıl oluşturduğumu nasıl yaptığımı anlamakta zorlanıyorsanız, parametrik denklemler konulu videoyu bir izleyin tavsiye ederim. Evet bu yolumuzun ilk kısmı. Bu duvarın yüzey alanını hesaplamak için d x d t ve d y d t'yi bulmamız gerekecek. O zaman hemen bunu aradan çıkaralım. d x d t eşittir eksi 2 sinüs t ve d y d t eşittir 2 kosinüs t. Yalnızca bunların türevlerini aldım. Bunu daha önce defalarca gördük ve bu işlemlerde zorlanırsanız unutmayın bu kullanacağımız formülü şimdi kullanacağımız formülü oluşturduğumuz iki videomuz var. Şimdi bu turuncu duvarın yüzey alanını bulmak için t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye x artı y kare çarpı d s'nin integralini alacağız. x artı y kare her kutucuğun yüksekliğini verecek. Kutucuğun eni ise d s'dir. d s'yi karekök d x d t kare yani eksi 2 sinüs t kare artı y'nin t'ye göre türevinin karesi yani 2 kosinüsün karesi d t olarak yazabiliriz. Bu, turuncu kısmı verecek, sonra da diğer iki duvarı hesaplarız. Bunu nasıl sadeleştirebiliriz? Durun bir saniye her şeyi t cinsinden yazayım. 2 kosinüs t artı y yani 2 sinüs t ve bunun tamamının karesini alacağız. Çarpı bu çılgın köklü ifade. Şu anda çok zor bir terstürev veya integral gibi çok zor bir integral gibi görünüyor ama o kadar da karmaşık olmadığını az sonra göreceğiz. Bu, 4 sinüs kare t artı 4 kosinüs kare t olacak. 4'ü dışarı alabiliriz. d t'yi unutmayalım. Şu ifadeyi sadeleştireyim de devamlı yazmak zorunda kalmayayım. Bu eşittir karekök 4 çarpı sinüs kare t artı kosinüs kare t. Bunun ne olduğunu biliyoruz, 1. Bunun tamamı karekök 4 olarak sadeleşir, yani 2. Bunun tamamı 2 oldu. Evet bu, işlemleri bayağı kolaylaştırır değil mi. Daha hesaplamamız gereken iki duvarımız var ama şimdiden yerimiz bitmek üzere Şunu da belirtmeden geçmeyeyim. x ve y için mümkün olan en kolay parametrik denklemleri seçtim. Başka parametrik denklemler de seçebilirdim ama o zaman t'yi ona göre değiştirmem gerekirdi. Tutarlı olursanız, dikkatli olursanız sonucu her şekilde bulursunuz. Bu eğri için sadece bir parametrik denklem yoktur eğri üzerinde hangi hızla gitmek istediğinize göre farklı denklemler seçebilirsiniz. Ve bu konuda daha derinlemesine bilgi istiyorsanız parametrik fonksiyon videolarını seyredin. Evet nerede kaldık bu ifade sadeleşir. Burada 2 var 2 çarpı kosinüs t yani 4 kosinüs t. Şurada da 2 sinüs t kare yani 4 sinüs kare t. Evet bunu yine 2 ile çarpmam lazım, yani 8 oldu. 8 çarpı sinüs kare t, d t. Sinüs kare t'nin terstürevini bulmak zor gibi görünebilir ama sinüs kare u'nun 1 bölü 2 çarpı 1 eksi kosinüs 2 u olduğunu unutmayın. Bu özdeşliği kullanalım. t'yi deneyelim sinüs kare t eşittir 1 bölü 2 çarpı 1 eksi kosinüs 2 t. Böyle yazarsam integrali çözmek çok kolaylaşır. 0'dan Pi bölü 2'ye 4 kosinüs t artı 8 çarpı bu ifadenin integrali. 8 çarpı bu ifade ve bu ifade, sinüs kare t ile aynı şey. 8 çarpı 1 bölü 2 eşittir 4 4 çarpı 1 eksi kosinüs 2 t ve d t. Bunun terstürevini bulmak artık kolaylaştı. Terstürevi bulalım. Kosinüs t'nin terstürevi sinüs t. Sinüsün türevi kosinüs. Bu, 4 sinüs t skalerler bunu değiştirmez şimdi bu 4'ü dağıtayım. 4 çarpı 1 yani 4 eksi 4 kosinüs 2 t. 4'ün terstürevi 4 t artı 4 t ve eksi 4 kosinüs 2 t'nin terstürevi nedir? Sinüs 2 t olacak. Sinüs 2 t'nin türevi, 2 kosinüs 2 t olur. Burada bir eksi işareti ve 2 olacak. Şimdi oldu. Eksi 2 sinüs 2 t'nin türevi nedir? İçteki 2 çarpı eksi 2 eşittir eksi 4. Ve sinüsün türevi de kosinüs 2 t. Ve böylece terstürevi almış olduk. Şimdi bunun 0 ve Pi bölü 2 için değerini bulalım. Ne elde ederiz? 4 sinüs Pi bölü 2 artı 4 çarpı Pi bölü 2 yani 2 Pi eksi 2 sinüs 2 çarpı Pi bölü 2 yani sinüs Pi. Eksi bunun tamamının 0'daki değeri. Bu tarafı kolay, çünkü sinüs 0 eşittir 0. 4 çarpı 0 eşittir 0 sinüs 2 çarpı 0 bu da 0. 0'lı kısımlar güzelce sadeleşti. Peki, burada ne kaldı? Sinüs Pi bölü 2 sinüs 90 derece yani 1. ve sinüs Pi eşittir 0 bu 180 derece. Bu da sadeleşir. Ve böylece 4 artı 2 Pi kalır. Bu ilk kıvrımlı duvarın alanını bulmuş olduk ve sorunun en zor kısmı da buydu. Eksenler boyunca uzanan kısımların çok daha kolay bulunduğunu göreceksiniz, ama bunlar için farklı parametrik denklemler bulmamız gerekiyor. Şimdi buradaki duvarı bulalım dedim ama bence buna bir sonraki videoda devam edelim, çünkü bu video biraz uzun oldu. Diğer iki duvarı sonra buluruz ve hepsini toplarız.