Çizgi İntegrali Örneği 2 (2. Bölüm)

Bir önceki videoda bu garip görünümlü binanın duvarlarının yüzey alanını bulmaya başlamıştık. Tavan, f x y eşittir x artı y kare fonksiyonuyla tanımlanmıştı. Tabanda da şöyle bir iz vardı, önce yarıçapı 2 olan çember, sonra y ekseni boyunca gidiyorduk ve sola dönüp x ekseni boyunca gidiyorduk. Bir önceki videoda bu duvarın yüzey alanını bulmuştuk. Orijinal soruda, kapalı iz boyunca çizgi integrali bulmamız isteniyordu. Kapalı c eğrisi üzerinde f x y'yi bir d s ile, küçük bir iz uzaklığıyla çarpıyorduk. Bunu olabilecek en soyut haliyle yazıyoruz. Bir önceki videoda, bunu bulmanın en kolay yolunun, birden çok ize veya soruya ayırmak olduğunu görmüştük. Bu izin tamamına c dersek, bir önceki videoda c 1'deki integrali bulduk. Bu kısma c 2, şu noktaya da c 3 diyelim. Yani bu çizgi integralini 3 kapalı olmayan çizgi integraline ayırmış olduk. Bu, c 1 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integrali artı c 2 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integrali artı c 3 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integraline eşit. Bir önceki videoda bu ilk kısmı, bu kıvrımlı duvarı bulmuştuk. Yüzey alanını 4 artı 2 Pi olarak hesaplamıştık. Şimdi diğer iki parçayı bulmamız gerekiyor. İlk olarak c 2'yi bulalım, bu çizgi integralini hesaplayalım. Bunun için, x ve y'ye başka parametrik denklemler bulmamız gerekiyor. Bu kısımdaki parametrik denklemlerden farklı denklemler bulacağız, çünkü artık çember üzerinde değiliz. y ekseni üzerindeyiz. Bu doğru üzerinde x 0'a eşit olacak. Parametrik denklemim de şöyle olacak, x eşittir 0. y ekseni üzerindeysek, x eşittir 0. y değeri de 2'den başlayacak. y eşittir 2 eksi t diyebiliriz, t büyük eşit 0, ve küçük eşit 2 olacak. t 0'a eşit olduğunda, şu noktadayız. t 2'ye doğru arttığında y ekseni üzerinde aşağı doğru gideceğiz. t 2 olduğunda ise, bu noktaya geliriz. Parametrik denklemlerimiz böyle. Türevlerimizi de bulalım. d x d t nedir? Gayet kolay. 0'ın türevi 0'dır ve d y d t de bunun türevine eşit. Eksi 1, değil mi? 2 eksi t, eksi t'nin türevi eksi 1. c 2 üzerindeki integral t eşittir 0'dan 2'ye gidecek. f x y, yani x artı y kare, çarpı d s. Önceki birkaç videodan d s'nin karekök, d x d t'nin karesi, 0 kare, artı d y d t'nin karesi, yani eksi 1 kare oda 1 eder, çarpı d t olarak yazıldığını biliyoruz. 0 artı 1, karekökü de 1 olacak. Peki, x nedir? Parametrik denklemimize göre x her zaman 0'a eşit, ve y kare de 2 eksi t kare olacak. Yani bu 2 eksi t kare olacak. Evet bu çılgın ifadeyi sadeleştirdik. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye, x kaybolur, ve y kare, y 2 eksi t olduğu için 2 eksi t kare ve d t de burada duruyor. Her ne kadar aklınızdan yapabilecek olsanızda, terstürev bulurken binom açılımı tercih ediyorum. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye 4 eksi 4 t artı t kare d t'nin terstürevi olacak. Bu da son derece basit.Bunun terstürevi, 4 t eksi 2 t kare, öyle değil mi? Türev alırsanız, 2 çarpı eksi 2 eşittir eksi 4 t. Ve artı 1 bölü 3 t küp. Bunlar basit terstürevler, ve 0 ve 2 için değerini bulmamız gerekiyor. 2'deki değerini bulalım. 4 çarpı 2 eşittir 8, eksi 2 çarpı 2 kare, yani 2 çarpı 4, 8, artı 1 bölü 3 çarpı 2 küp. 1 bölü 3 çarpı 8. Bunlar sadeleşir. 8 eksi 8 ve 8 bölü 3. Bu da, 8 bölü 3 olur. Bir de 0 koymam lazım, eksi 0'ın değeri, ama bu da 0 olacak. 4 çarpı 0, 2 çarpı 0, bunların hepsi 0 olacak. Yani eksi 0. Böylece ikinci duvarın yüzey alanını da bulmuş olduk ve alan 8 bölü 3 çıktı. Şimdi son duvar kaldı, sonra hepsini toplayabiliriz. Son duvarımız burada. Başka bir parametrik denklem kullanıyoruz. Grafiği buraya taşıyalım. İşte grafiğimiz. Şimdi son duvarı buluyoruz. Son duvar, buradaki, buna c 3 demiştik. c 3 üzerinde f x y d s'nin integralini alıyoruz. Şimdi parametrik denklemleri bulalım. Bu eğri üzerinde, x eşittir t diyelim. t büyük eşit 0 ve küçük eşit 2 olsun. x ekseni üzerinde olduğumuzdan y 0 olacak. Gayet basit bir parametrik denklem. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye f x y, x artı y kare, çarpı d s'nin integrali. Şuraya d s yazayım. Çarpı d s. d s'nin ne olduğunu biliyoruz. d s eşittir karekök d x d t kare artı d y d t kare, çarpı d t. Bunu ilk videoda ispatlamıştık. Belki tam olarak ispatlamadık, ama neden doğru olduğunu anlamıştık. Şimdi x'in t'ye göre türevi nedir? 1'dir, yani bu 1 olacak, y'nin t'ye göre türevi de 0. Yani bu 0, 1 artı 0 eşittir 1, karekök 1 eşittir 1. Bu ifade d t olur. d s eşittir d t, yani bu durumda, bu, d t olacak. Parametrik denklemimize göre, x eşittir t ve y eşittir 0, yani onu yok sayabiliriz. 0'dan 2'ye t d t'nin integrali olarak sadeleşir. Terstürevi de 1 bölü 2 t kare olur. 0 ve 2 için değerlerini bulurum. 1 bölü 2 çarpı 2'nin karesi. 2'nin karesi eşittir 4, çarpı 1 bölü 2 eşittir 2. Ve, eksi 1 bölü 2 çarpı 0 kare, eksi 0. Bu da üçüncü duvarın alanı, 2. Yani şu alan sadece 2. Sorumuza dönersek, bu kapalı eğri üzerindeki f x y çizgi integralinin değeri nedir? Şimdi bu sayıları toplamanız kafi. 4 artı 2 Pi artı 8 bölü 3 artı 2. 8 bölü 3 ne eder ? 2 tam 2 bölü 3 eder. 4 artı 2 tam 2 bölü 3 eşittir 6 tam 2 bölü 3 eder artı 2, 8 tam 2 bölü 3, yani bunun tamamı 8 tam 2 bölü 3 artı 2 Pi. Ve bitti. Bittirdik. Şimdi vektör değerli fonksiyonlarla çizgi integrali bulmaya başlayabiliriz. Şahane .