If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çizgi İntegrali Örneği 2 (2. Bölüm)

Kapalı bir iz üzerinde çizgi integrali alma örneğinin 2. kısmı. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

Bir önceki videoda bu garip görünümlü binanın duvarlarının yüzey alanını bulmaya başlamıştık. Tavan, f x y eşittir x artı y kare fonksiyonuyla tanımlanmıştı. Tabanda da şöyle bir iz vardı, önce yarıçapı 2 olan çember, sonra y ekseni boyunca gidiyorduk ve sola dönüp x ekseni boyunca gidiyorduk. Bir önceki videoda bu duvarın yüzey alanını bulmuştuk. Orijinal soruda, kapalı iz boyunca çizgi integrali bulmamız isteniyordu. Kapalı c eğrisi üzerinde f x y'yi bir d s ile, küçük bir iz uzaklığıyla çarpıyorduk. Bunu olabilecek en soyut haliyle yazıyoruz. Bir önceki videoda, bunu bulmanın en kolay yolunun, birden çok ize veya soruya ayırmak olduğunu görmüştük. Bu izin tamamına c dersek, bir önceki videoda c 1'deki integrali bulduk. Bu kısma c 2, şu noktaya da c 3 diyelim. Yani bu çizgi integralini 3 kapalı olmayan çizgi integraline ayırmış olduk. Bu, c 1 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integrali artı c 2 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integrali artı c 3 üzerindeki f x y d s'nin çizgi integraline eşit. Bir önceki videoda bu ilk kısmı, bu kıvrımlı duvarı bulmuştuk. Yüzey alanını 4 artı 2 Pi olarak hesaplamıştık. Şimdi diğer iki parçayı bulmamız gerekiyor. İlk olarak c 2'yi bulalım, bu çizgi integralini hesaplayalım. Bunun için, x ve y'ye başka parametrik denklemler bulmamız gerekiyor. Bu kısımdaki parametrik denklemlerden farklı denklemler bulacağız, çünkü artık çember üzerinde değiliz. y ekseni üzerindeyiz. Bu doğru üzerinde x 0'a eşit olacak. Parametrik denklemim de şöyle olacak, x eşittir 0. y ekseni üzerindeysek, x eşittir 0. y değeri de 2'den başlayacak. y eşittir 2 eksi t diyebiliriz, t büyük eşit 0, ve küçük eşit 2 olacak. t 0'a eşit olduğunda, şu noktadayız. t 2'ye doğru arttığında y ekseni üzerinde aşağı doğru gideceğiz. t 2 olduğunda ise, bu noktaya geliriz. Parametrik denklemlerimiz böyle. Türevlerimizi de bulalım. d x d t nedir? Gayet kolay. 0'ın türevi 0'dır ve d y d t de bunun türevine eşit. Eksi 1, değil mi? 2 eksi t, eksi t'nin türevi eksi 1. c 2 üzerindeki integral t eşittir 0'dan 2'ye gidecek. f x y, yani x artı y kare, çarpı d s. Önceki birkaç videodan d s'nin karekök, d x d t'nin karesi, 0 kare, artı d y d t'nin karesi, yani eksi 1 kare oda 1 eder, çarpı d t olarak yazıldığını biliyoruz. 0 artı 1, karekökü de 1 olacak. Peki, x nedir? Parametrik denklemimize göre x her zaman 0'a eşit, ve y kare de 2 eksi t kare olacak. Yani bu 2 eksi t kare olacak. Evet bu çılgın ifadeyi sadeleştirdik. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye, x kaybolur, ve y kare, y 2 eksi t olduğu için 2 eksi t kare ve d t de burada duruyor. Her ne kadar aklınızdan yapabilecek olsanızda, terstürev bulurken binom açılımı tercih ediyorum. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye 4 eksi 4 t artı t kare d t'nin terstürevi olacak. Bu da son derece basit.Bunun terstürevi, 4 t eksi 2 t kare, öyle değil mi? Türev alırsanız, 2 çarpı eksi 2 eşittir eksi 4 t. Ve artı 1 bölü 3 t küp. Bunlar basit terstürevler, ve 0 ve 2 için değerini bulmamız gerekiyor. 2'deki değerini bulalım. 4 çarpı 2 eşittir 8, eksi 2 çarpı 2 kare, yani 2 çarpı 4, 8, artı 1 bölü 3 çarpı 2 küp. 1 bölü 3 çarpı 8. Bunlar sadeleşir. 8 eksi 8 ve 8 bölü 3. Bu da, 8 bölü 3 olur. Bir de 0 koymam lazım, eksi 0'ın değeri, ama bu da 0 olacak. 4 çarpı 0, 2 çarpı 0, bunların hepsi 0 olacak. Yani eksi 0. Böylece ikinci duvarın yüzey alanını da bulmuş olduk ve alan 8 bölü 3 çıktı. Şimdi son duvar kaldı, sonra hepsini toplayabiliriz. Son duvarımız burada. Başka bir parametrik denklem kullanıyoruz. Grafiği buraya taşıyalım. İşte grafiğimiz. Şimdi son duvarı buluyoruz. Son duvar, buradaki, buna c 3 demiştik. c 3 üzerinde f x y d s'nin integralini alıyoruz. Şimdi parametrik denklemleri bulalım. Bu eğri üzerinde, x eşittir t diyelim. t büyük eşit 0 ve küçük eşit 2 olsun. x ekseni üzerinde olduğumuzdan y 0 olacak. Gayet basit bir parametrik denklem. t eşittir 0'dan t eşittir 2'ye f x y, x artı y kare, çarpı d s'nin integrali. Şuraya d s yazayım. Çarpı d s. d s'nin ne olduğunu biliyoruz. d s eşittir karekök d x d t kare artı d y d t kare, çarpı d t. Bunu ilk videoda ispatlamıştık. Belki tam olarak ispatlamadık, ama neden doğru olduğunu anlamıştık. Şimdi x'in t'ye göre türevi nedir? 1'dir, yani bu 1 olacak, y'nin t'ye göre türevi de 0. Yani bu 0, 1 artı 0 eşittir 1, karekök 1 eşittir 1. Bu ifade d t olur. d s eşittir d t, yani bu durumda, bu, d t olacak. Parametrik denklemimize göre, x eşittir t ve y eşittir 0, yani onu yok sayabiliriz. 0'dan 2'ye t d t'nin integrali olarak sadeleşir. Terstürevi de 1 bölü 2 t kare olur. 0 ve 2 için değerlerini bulurum. 1 bölü 2 çarpı 2'nin karesi. 2'nin karesi eşittir 4, çarpı 1 bölü 2 eşittir 2. Ve, eksi 1 bölü 2 çarpı 0 kare, eksi 0. Bu da üçüncü duvarın alanı, 2. Yani şu alan sadece 2. Sorumuza dönersek, bu kapalı eğri üzerindeki f x y çizgi integralinin değeri nedir? Şimdi bu sayıları toplamanız kafi. 4 artı 2 Pi artı 8 bölü 3 artı 2. 8 bölü 3 ne eder ? 2 tam 2 bölü 3 eder. 4 artı 2 tam 2 bölü 3 eşittir 6 tam 2 bölü 3 eder artı 2, 8 tam 2 bölü 3, yani bunun tamamı 8 tam 2 bölü 3 artı 2 Pi. Ve bitti. Bittirdik. Şimdi vektör değerli fonksiyonlarla çizgi integrali bulmaya başlayabiliriz. Şahane .