Yüzey İngtegrali Hesaplama Örneği 2

Bir önceki videoda, bu simidin yüzey alanını buluyorduk. Bunu yaparken yüzey integrali kullanıyorduk. Yüzey integralini alırken s'ye göre kısmi türev ve t'ye göre kısmi türev bulmamız gerekiyordu. Şimdi vektör çarpımı almaya hazırız. Sonra da vektör çarpımının büyüklüğünü bulabiliriz. Son olarak da bu çift katlı integrali hesaplarız ve yüzey alanını buluruz. Şimdi adım adım gidelim. Burada vektör çarpımı alıyoruz, bu zor bir işlem değil. Bu iki vektörün vektör çarpımını alalım. r'nin s'ye göre kısmisi ile r'nin t'ye göre kısmisinin vektör çarpımı. Bu kısım, vektör çarpımının tekrarı olacak. Bunun bir determinant olduğunu hatırlarsınız. Birim vektörleri buraya yazıyorum. İlk satır, i, j ve k. Sonraki iki satır, bunların bileşenleri. Bunları kopyalayayım. Bu buraya. Bu arkadaş da şuraya. Kopyala, yapıştır. Bu bize zaman kazandıracak. Bunu buraya koyalım. En son satır da bu arkadaşın bileşenleri olacak. Kes, yapıştır. Bunu buraya koy. Neredeyse bitti. Bunların ayrı ayrı terimler olduğunun farkında olmalıyız. Diğer terimler için yaptığımı 0 için de yapacağım. Bunların vektör çarpımı bu matrisin determinantıdır. Determinant konusunda hatırlatma gerekirse, burada i çarpı alt matris determinantı, alt matrisi şu satır ve bu sütunu silerek elde ediyorum. Birim vektörün başa yazılmasına alışkın değilsiniz, ama sonra sırayı değiştirebiliriz. i çarpı bu alt matris. i çarpı bu alt matris. bu terim çarpı 0 yani 0 Yani eksi bu terim çarpı şu terim, Yani eksi bu terim Çarpı şu terim eksiler birbirini götürür bu artı olur Yani, i çarpı, burada eksi işareti olmadan, bu terim çarpı şu terim. i çarpı bu terim, a kosinüs s. Aslında bu terim çarpı şu terim eksi şu terim çarpı bu terim, Eksi şu terim çapı şu terim . Ama eksiler birbirini götürür. Bu çarpı şu eşittir 0. Böylece sadeleştirebiliyoruz. a kosinüs s çarpı b artı a kosinüs s, sinüs t. Vektör çarpımındaki i'li terimi bulduk. Şimdi, eksi j, hatırlarsanız, determinant alırken artı eksi artı eksi diye işaret değiştirmeniz gerekiyordu. Eksi çarpı eksi, b artı a kosinüs s kosinüs t çarpı a kosinüs s. Biraz düzene sokalım. Bu iki eksi birbirini götürür. Her şeyi çarpıyoruz. Son olarak, k'li terim. Artı k çarpı, bu satır ve şu sütunu kapatalım, bu çarpı şu eksi şu çarpı bu. Adım adım ilerlersek, çok zor olmayacağını düşünüyorum. Bu çarpı şu. Eksiler birbirini götürür. Bu terim, sinüs t sinüs s olacak. Şu terim de b artı a kosinüs s sinüs t olacak. Bu çarpı şu -eksiler gitti- eksi bu çarpı şu. Bu çarpı şu negatif bir sayı olacak. Bunun eksilisi ise, pozitif olacak. Yani artı a kosinüs t sinüs s çarpı b artı a kosinüs s kosinüs t olacak. Şimdi yüzey integrali çözümlerinin neden yaygın olmadığını anlıyorsunuzdur. Bunu biraz düzenleyeyim, özellikle son terimi. Bakalım nasıl sadeleştirebiliriz. İlk terim. Çarpabiliriz, sanıyorum en kolay yol bu olur. Aslında, ilk olarak b artı a kosinüs s'yi dışarı alabiliriz. Çünkü her terimde b artı a kosinüs s var. b artı a kosinüs s. b artı a kosinüs s. b artı a kosinüs s. Bunu dışarı çıkaralım. Bu çılgın ifadeyi şöyle yazabiliriz: b artı a kosinüs s'yi dışarı almıştık - çarpı- buraya parantez koyalım. Bunu dışarı çıkardığımızda, i bileşeni a kosinüs s sinüs t olacak. Yeşille yazayım. a kosinüs s sinüs t çarpı i -i'yi buraya yazıyorum- ve artı, bunu dışarı almıştık, kosinüs t a kosinüs s kalır. Veya a kosinüs s kosinüs t de yazabiliriz, çarpı j birim vektörü. Bunu dışarı aldığımız için bunu ve şunu silebiliriz. Bunları çarparsak ne elde ederiz? Yine yeşille yazayım. Şuradaki ifadeyi sinüs t ile çarparsanız, a sinüs s, sinüs kare t buluruz, öyle değil mi? Sinüs t çarpı sinüs t. Burası böyle. Artı - burada ne var? a sinüs s çarpı kosinüs kare t. Bunun tamamı çarpı k birim vektörü. Şimdi ifade biraz daha sadeleşmiş görünüyor, ama bir şeyin daha farkına varabiliriz. Sinüs kare ve kosinüs kare var. Bunu sinüs kare t artı kosinüs kare t yapabilirsem, bunlar 1 olarak sadeleşir. Böyle yapabiliriz. Şuradaki iki terime cebir uygularsak, a sinüs s'yi dışarı aldığımızda, sinüs kare t artı kosinüs kare t, çarpı k birim vektörü olur. Şu terimleri a sinüs s parantezine aldım. Bu, birim çemberden çıkan en temel trigonometrik özdeşliktir. Bu 1'e eşittir. Bu son terim sinüs s çarpı k olarak sadeleşir. Evet baya ilerledik. Vektör değerli fonksiyonun kısmi türevlerinin vektör çarpımını bulduk. Büyüklüğünü almadan önce, bu vektör çarpımını şu ifade olarak açtık. Bunu baştan yazayım. Temize çekeyim, bir sonraki videoda kullanacağız. b artı a kosinüs s çarpı, aç parantez, a kosinüs s sinüs t çarpı i artı a kosinüs s kosinüs t çarpı j artı -burası güzel sadeleşti- a sinüs s çarpı k.Çarpı k birim vektörü. Buradaki, bu ifadeye eşit. 10 dakikayı geçtiğim için, bu videoyu bitiriyorum.Bir sonraki videoda bunun büyüklüğünü bulacağız. Ve eğer zamanımız kalırsa, çift katlı integrali hesaplayacağız.