Yüzey alanı örneği

Bu kimin için?

Yüzey alanı integralinin hızlı bir tekrarı

• Yüzeyi parametrize edin. Başka bir deyişle, iki boyutlu $\blueE{t}\redE{s}$start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612 düzleminin belirli bir $T$T bölgesini üç boyutlu yüzeyinizle eşleştiren vektör değerli bir $\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis fonksiyonu bulun. Bazen bu parametrizasyon size verilecektir, yüzeyiniz böyle tanımlanırsa. Başka zamanlarda, yüzey başka türlü tanımlanır, ve bunu sizin bulmanız gerekir.

• Yatay ve düşey doğrularla parametre uzayını ayırdığınızı, böylece $T$T bölgesini küçük dikdörtgenlere böldüğünüzü düşünün. Bu dikdörtgenlerin her biri yüzeyin paralelkenarla iyi kestirilen bir parçasıyla eşleştirilir. Küçük dikdörtgeniniz $(\blueE{t}, \redE{s})$left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis noktasında durursa, ve eni $\blueE{dt}$start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 ve yüksekliği $\redE{ds}$start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 ise, alanını aşağıdaki ifadeyle kestirebilirsiniz:

  $\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

  Başlangıçtaki dikdörtgenler ne kadar küçükse, yüzeyinizin parçası düz bir paralelkenara o kadar benzer, ve bu ifade bu parçanın gerçek alanına o kadar yaklaşır.
• Bu parçaların alanlarını bir çift katlı integralle toplayın:

  $\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Bir simitin yüzey alanı

• Diyelim ki, başlangıç noktasıyla bu jöle dolgusunun en iç tarafı arasındaki uzaklık $3$3 olsun. Buna "dış yarıçap" diyelim.
• Ayrıca, jöle dolgusunun en iç tarafıyla şekerli kısmın arasındaki uzaklık $1$1 olsun. Buna "iç yarıçap" diyelim

Adım 1: Her kısmi türevi hesaplayın

$\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) = \end{aligned}$

$\hat{\textbf{i}} +$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{j}} +$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{k}}$start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Kontrol et

[Cevap]

$\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) = \end{aligned}$

$\hat{\textbf{i}} +$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{j}} +$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{k}}$start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Kontrol et

[Cevap]

Adım 2: Çarpraz çarpımı hesaplayın

$\dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) =$start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, equals

$\hat{\textbf{i}} +$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{j}} +$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{k}}$start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Kontrol et

[Cevap]

Adım 3: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun

$\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| = \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Adım 4: Uygun çift katlı integrali oluşturun

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{6\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{6\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^{6\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^{6\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Adım 5: Çift katlı integralin değerini bulun

Bu simitin yüzey alanı:

Kontrol et

[Cevap]

Tebrikler