Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 11: Yüzey İntegralleri (Makaleler)

Yüzey alanı örneği

Burada, bir simit örneğini kullanarak, yüzey alanını hesaplama alıştırması yapma şansınız var.

Bu kimin için?

Bu makale, belirli bir çift katlı integral kullanarak parametrik yüzeylerin yüzey alanını hesaplamayla ilgili bir önceki makaleyi okuyan, ve bu kavramla alıştırma yapmak isteyenlere yöneliktir. Bu yöntemi kullanarak bir torusun (çörek şekli) yüzey alanını bulacaksınız, bu hiç de az hesaplama gerektirmez.

Bu hesaplamalarla ilgili pratik yapmak istemiyorsanız veya ihtiyaç hissetmiyorsanız, ve bu yüzey integrallerinin genel kavramıyla ilgili kendinizi rahat hissediyorsanız, bir sonraki makaleye atlayın.

Yüzey alanı integralinin hızlı bir tekrarı

Bir örneğe dalmadan önce, bir önceki makalede bir yüzeyin alanını bulma için tanımlanan yöntemi hatırlayalım.

Yüzeyi parametrize edin. Başka bir deyişle, iki boyutlu $t s$ ‍ düzleminin belirli bir $T$ ‍ bölgesini üç boyutlu yüzeyinizle eşleştiren vektör değerli bir $\vec{v} (t, s)$ ‍ fonksiyonu bulun. Bazen bu parametrizasyon size verilecektir, yüzeyiniz böyle tanımlanırsa. Başka zamanlarda, yüzey başka türlü tanımlanır, ve bunu sizin bulmanız gerekir.

Yatay ve düşey doğrularla parametre uzayını ayırdığınızı, böylece $T$ ‍ bölgesini küçük dikdörtgenlere böldüğünüzü düşünün. Bu dikdörtgenlerin her biri yüzeyin paralelkenarla iyi kestirilen bir parçasıyla eşleştirilir. Küçük dikdörtgeniniz $(t, s)$ ‍ noktasında durursa, ve eni $d t$ ‍ ve yüksekliği $d s$ ‍ ise, alanını aşağıdaki ifadeyle kestirebilirsiniz:
$\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍
Başlangıçtaki dikdörtgenler ne kadar küçükse, yüzeyinizin parçası düz bir paralelkenara o kadar benzer, ve bu ifade bu parçanın gerçek alanına o kadar yaklaşır.
Bu parçaların alanlarını bir çift katlı integralle toplayın:
$\begin{array}{r} \iint_{T} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍

Bir simitin yüzey alanı

Bu makalenin hedefi, bir simidin yüzey alanını bulmaktır:

Bu torusun boyutlarını tanımlamak zordur, ama çörek terminolojisiyle bunu deneyeceğim. Bu torusu çöreğin şekerli kısmı gibi düşünün.

Diyelim ki, başlangıç noktasıyla bu jöle dolgusunun en iç tarafı arasındaki uzaklık $3$ ‍ olsun. Buna "dış yarıçap" diyelim.
Ayrıca, jöle dolgusunun en iç tarafıyla şekerli kısmın arasındaki uzaklık $1$ ‍ olsun. Buna "iç yarıçap" diyelim

Bu boyutlara göre, torus aşağıdaki fonksiyonla parametrize edilebilir:

$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (s) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (s) \sin (t) \\ \sin (s) \end{array}] \end{array}$ ‍

Bu parametrizasyonun torusu sadece bir kere çevirmesi için,

t s

-düzlemindeki bölgeye uygulayın

$\begin{aligned} 0 \leq & t \leq 2 π \\ 0 \leq & s \leq 2 π \end{aligned}$ ‍

Bu parametrelendirmenin nereden geldiğinin bir tanımı için, bu makaledeki son örenği gözden geçirin.

Adım 1: Her kısmi türevi hesaplayın

$\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) = \end{array}$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

$\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) = \end{array}$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Unutmayın, bu vektörlerin torusu oluşturan küçük paralelkenarların kenarlarını temsil ettiğini düşünmelisiniz. Daha doğrusu, birincisini

d t

ve ikincisini

d s

ile çarparak bunları bu paralelkenarlardan birinin sonsuz küçüklükteki boyutuna indirmeniz gerekir.

Olduğu üzere, bu vektörler birbirine diktir (iç çarpım alarak bunu kontrol edebilirsiniz). Bu, torusu oluşturan bütün minik paralelkenarların dikdörtgen olduğuu ima eder, en azından bu parametrizasyonu kullandığımızda. Bunu üstteki torusun resminde görebiliriz.

[Bu bilgiyi nasıl kullanırız]

Adım 2: Çarpraz çarpımı hesaplayın

Bulduğunuz iki vektörün kapsadığı paralelkenarın alanını bulmak için, birinci adım vektör çarpımını almaktır. (Uyarı: Bu, çok karmaşıklaşacak)

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Adım 3: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun

Bu hesapladığınız vektör çarpımı bir vektördür. Bu iki kısmi türev vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanını bulmak için, bunun büyüklüğünü bulmamız gerekir. (Uyarı: Bu, daha da karmaşıklaşacaktır).

$\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) | = \end{array}$ ‍

[Cevap]

Bunu

d t d s

ile ölçeklediğinizde, bu size torusu oluşturan küçük paralelkenarların alanını

s

ile

t

cinsinden bir fonksiyon olarak belirtir. Neyse, bu durumda, cevap

s

cinsinden bir fonksiyondur, bu da

t

değiştikçe, bu paralelkenarların alanının değişmeyeceği anlamına gelir.

Adım 4: Uygun çift katlı integrali oluşturun

Aşağıdakilerden hangisi, bu torusun yüzey alanını temsil eden çift katlı integrale konulması gereken doğru sınırları temsil eder?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{6 π} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) | d t d s \end{array}$ ‍
(B şıkkı)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{6 π} \int_{0}^{2 π} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) | d t d s \end{array}$ ‍
(C şıkkı)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) | d t d s \end{array}$ ‍

[Cevap]

Adım 5: Çift katlı integralin değerini bulun

Bu simitin yüzey alanı:

[Cevap]

Tebrikler

Bu integraller çok iş gerektirir, onun için bunu tamamladığınız için kendinizi tebrik edin!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.