Yüzey alanı integralleri

Arka plan

• Parametrik yüzeylerin kısmi türevleri
  • Özellikle, bir yüzeyi parametrelendiren bir fonksiyonun kısmi türevlerini ve bunların neyi temsil ettiğini iyice bildiğinizden emin olun.
• Çift katlı integraller
• Vektör çarpımı (video)

Neye ulaşıyoruz

• Kurulum:
  • $S$S üç boyutlu uzaydaki bir yüzeydir.
    • $\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis $\blueE{S}$start color #0c7f99, S, end color #0c7f99'yi parametrelendiren vektör değerli bir fonksiyondur.
      [Bu ne anlama gelir?]
    • $T$T, $ts$t, s düzleminin (ayrıca parametre uzayı olarak da bilinir) $S$S ile eşleşen bölgesidir.
• $S$S'nin yüzey alanı aşağıdaki çift katlı integralle hesaplanabilir:

  $\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

• Bu integralleri hesaplamak, oldukça fazla emek gerektirebilir.

Yüzey alanı

Örnek: Yüzey alanını ayrıştırma

• Adım 1: Yüzeyi küçük parçalara bölün.
• Adım 2: Her bir parçanın alanını hesaplayın.
• Adım 3: Bu alanları toplayın.

Adım 1: Yüzeyi parçalayın

Adım 2: Paralelkenar parçanın alanını arama

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \end{aligned}$
• (D şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \end{aligned}$

  D

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \end{aligned}$
• (D şıkkı)  

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \end{aligned}$

  D

  $\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

• Sol alt köşe: $(\blueE{t_A}, \redE{s_A})$left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis
• Genişlik: $\blueE{dt}$start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99
• Yükseklik: $\redE{ds}$start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} |\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}| \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} |\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}| \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} |\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}}| \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} |\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}}| \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \right| \end{aligned}$

  A

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \right| \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \right| \end{aligned}$

  B

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A}) \right) \right| \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \right) \right| \end{aligned}$

  C

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \right) \right| \end{aligned}$
• (D şıkkı)  

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \right) \right| \end{aligned}$

  D

  $\,\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\blueE{dt} \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}, \redE{s_A})\,\redE{ds} \right) \right| \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Bu emek yoğunlaştığında

Paralelkenarın alanı:

$\,\blueE{dt}\,\redE{ds}$start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Kontrol et

[Cevap]

Adım 3: Her şeyin integralini alma

• $(\blueE{t}, \redE{s})$left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis başlangıçtaki küçük dikdörtgenin konumunu tanımlar.
• $\blueE{dt}$start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 bunun genişliğidir.
• $\redE{ds}$start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 bunun yüksekliğidir.

Özet: Bu kolay değil

• İlk olarak, vektör-değerli fonksiyonların iki kısmi türevini almanız gerekir, her bileşeni sayarsanız, toplamda $6$6 kısmi türev eder.
• Sonra bu iki kısmi türev vektörünün vektör çarpımını almanız gerekir, bu da bileşenleri vektör ve fonksiyonlar olan bir determinantı almayı gerektirir.
• Sonra bu vektör çarpımının normunu hesaplamamız gerekir.
• Ne de olsa, hala karşınızda çift katlı bir integral var. Ve unutmayın ki, sadece çift katlı integral kurmak çok da kolay değildir, özellikle de integral aldığınız bölge dikdörtgensel değilse.
• Bunun tümünde, $\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis fonksiyonunu ve $T$T bölgesini zaten bildiğiniz varsayılmaktadır. Bazen size sadece örtük olarak tanımlanmış bir yüzey verilir, $x^2 + y^2 +z^2 = 1$x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 1 ile tanımlanmış bir küre gibi. Bu durumda, bu yüzeyi parametrelendiren bir fonksiyon bulmanız ve ayrıca parametre uzayının hangi belirli bölgesinin bu yüzeye karşılık geldiğini bulmanız gerekir.