If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Yüzey alanı integralleri

Parametrik bir yüzeyin yüzey alanını nasıl bulursunuz? Buradan hareketle, daha genel bir kavram olan yüzey integraline geçeceğiz.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

  • Kurulum:
    • S üç boyutlu uzaydaki bir yüzeydir.
      • v(t,s) S'yi parametrelendiren vektör değerli bir fonksiyondur.
      • T, ts düzleminin (ayrıca parametre uzayı olarak da bilinir) S ile eşleşen bölgesidir.
  • S'nin yüzey alanı aşağıdaki çift katlı integralle hesaplanabilir:
    T|vt×vs|dtds
  • Bu integralleri hesaplamak, oldukça fazla emek gerektirebilir.

Yüzey alanı

Geometriden, belirli bazı şekillerin yüzey alanına oldukça aşina olabilirsiniz. Örneğin, yarıçapı r olan bir kürenin yüzey alanı 4πr2'dir.
Ama biri size herhangi bir yüzey verirse, iki boyutlu bir parametre uzayının bir bölgesini üç boyutlu uzayla eşleştiren parametrik bir fonksiyonla tanımlanmış bir yüzey? Bunun yüzey alanını nasıl bulursunuz?
Buradaki cevap belirli bir integrali kullanmaktır, ya da daha doğrusu, öğrenmek üzere olduğunuz çift katlı bir integrali kullanmaktır. Bu, herhangi bir eğrinin uzunluğunu bir integralle, veya garip şekilli bir cismin hacmini uygun üç katlı integralle bulmaya benzerdir.

Örnek: Yüzey alanını ayrıştırma

Khan Akademi video wrapper
Aşağıdaki fonksiyonla parametrik bir yüzeyi tanımlama:
v(t,s)=[t2sts]
Bu yüzeyi S olarak adlandıralım.
Elbette, parametrik yüzeylerde, hangi fonksiyonun onu parametrize ettiğini belirtmek yeterli değildir. Parametre uzayının yüzeye eşleştirilen bölgesini de bilmemiz gerekir. "Parametre uzayı" (t,s) noktasının yaşadığı yer için fiyakalı bir sözcüktür, buna "tanım kümesi" de denir. Bu durumda, şöyle tanımlanan dikdörtgen diyelim
1t10s3
Bu dikdörtgene T diyelim. v'nin parametre uzayında T dikdörtgenini üç boyutlu uzayda S yüzeyine dönüştürmesi şöyle olur.
Khan Akademi video wrapper
Bu yüzey alanını hesaplama stratejimiz, temel olarak üç adımdan oluşur:
  • Adım 1: Yüzeyi küçük parçalara bölün.
  • Adım 2: Her bir parçanın alanını hesaplayın.
  • Adım 3: Bu alanları toplayın.
Çizgi integrallerini, çift katlı integralleri ve üç katlı integralleri öğrendikten sonra, bu ayırıp parçaları toplamanın integralin problem çözmede nasıl kullanıldığıyla ilgili daha genel bir örüntü sağladığının farkına varabilirsiniz. O örneklerde olduğu gibi, sonuçtaki hesaplamamız yüzeyi belirli bir sayıda parçaya ayırıp toplamayı gerçekten gerektirmeyecek; integral bizim için bunu halleder.

Adım 1: Yüzeyi parçalayın

Başlangıç olarak, parametre uzayında T dikdörtgenini birçok minik dikdörtgene ayırmayı düşünelim. Çizimde, her birini görebilmek ve ifade edebilmek için sadece birkaç dikdörtgene böleceğiz, ama esasında pek çok minik dikdörtgeni düşünmeniz gerekir.
Bu minik dikdörtgenlerin birini düşündüğünüzde, enini t parametresinde minik bir değişim, dt olarak düşünebilirsiniz. Benzer şekilde, yüksekliğini s parametresinde minik bir değişim olan ds olarak düşünebilirsiniz.
Şimdi v(t,s) fonksiyonunun bu küçük dikdörtgenlerden birisini S yüzeyine nasıl eşleştirdiğini düşünün. Aşağıdaki animasyonda T'nin S'ye dönüşmesini izleyeceğiz, burada yüzeyin çoğunu gri renk yapacağım ve küçük dikdörtgenlerden sadece bir tanesini renkli bırakacağım.
Khan Akademi video wrapper
Daha net belirtmek gerekirse, S'ye yapıştırıldığında, dikdörtgen bir eğri hale gelecek. Ancak, gitgide daha küçük dikdörtgenleri düşündüğümüzde, bu eğrilik gittikçe daha önemsiz hale gelir, ve bu minik parçayı düz gibi düşünebiliriz.
Aslında, parametre uzayında gitgide daha küçük dikdörtgenleri düşünürsek, bu dikdörtgenlerin eşleştiği S yüzeyinin parçaları gittikçe daha çok paralelkenara benzeyecektir.
O zaman, birinci görevimiz bu paralelkenarların alanını veren bir formül bulmaktır.

Adım 2: Paralelkenar parçanın alanını arama

T'yi böldüğümüz bu küçük dikdörtgenlerden birisi için, (tA,sA) bu dikdörtgenin sol alt köşesini ve (tB,sB) bu dikdörtgenin sağ alt köşesini temsil ediyor olsun.
Şimdi yüzeyde v(tA,sA)'dan v(tB,sB)'ye doğru olan vektörü düşünün. Bu vektörü a olarak adlandıralım.
Kavram kontrolü: Eğer (tA,sA) ve (tB,sB) arasındaki uzaklığı dt ile tanımlarsak, aşağıdaki ifadelerden hangisi a'nın iyi bir kestirimini temsil eder?
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bir önceki problemdeki kurulumu kullanın, ancak küçük dikdörtgenin sol üst köşesi (tC,sC) olsun. v(tA,sA)'dan v(tC,sC)'ye doğru olan vektörü b olarak adlandıralım.
Eğer (tA,sA) ve (tC,sC) arasındaki uzaklığı ds olarak tanımlarsak, b'nin en iyi kestirimi aşağıdakilerden hangisidir?
1 cevap seçin:

Tamam, şimdi elimizde şunlar var: Parametre uzayında aşağıdaki özelliklere sahip minik bir dikdörtgeni düşünüyoruz
  • Sol alt köşe: (tA,sA)
  • Genişlik: dt
  • Yükseklik: ds
Bu dikdörtgene v fonksiyonunu uyguladığınızda, S yüzeyinde bir paralelkenar elde edersiniz. Son iki soruya göre, bu paralelkenarın kenarları şu vektörlerle belirlenir:
vt(tA,sA)dt
ve
vs(tA,sA)ds
Kavram kontrolü: Eğer üç boyutlu uzaydaki bir paralelkenarın kenar uzunlukları -sağ tarafta gösterildiği gibi- a ve b vektörleriyle tanımlanmışsa, aşağıdakilerden hangisi bu paralelkenarın alanını temsil eder?
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bunları birleştirdiğimizde, v(t,s) sol alt köşesi (tA,sA) olan bir dt-ile-ds dikdörtgenini S yüzeyinde bir paralelkenarla eşleştirirse, bu paralelkenarın alanı ne olur?
1 cevap seçin:

Bu emek yoğunlaştığında

Bu çok karmaşık bir ifadedir. Vektör değerli bir fonksiyonun iki kısmi türevini, bunların iç çarpımını almayı, sonra da büyüklük almayı içerir. Sanki biri hayal edebildikleri en zor ifadeyi oluşturmaya çalışıyordu.
Şimdi bu küçük paralelkenarların biri için tamamen teorik bir ifademiz var:
|(vt(tA,sA)dt)×(vs(tA,sA)ds)|
Ancak, bunun aslında ne içerdiği hakkında bir fikir edinmek isterseniz, bunu yapmanızı öneririm.
Bunu çözün: Başlangıçtaki v(t,s) tanımına göre,
v(t,s)=[t2sts]
bir önceki soruda bulunan ifadenin değerini bularak t, s, dt veds cinsinden bir fonksiyon elde edelim.
Paralelkenarın alanı:
dtds

Adım 3: Her şeyin integralini alma

Şimdi buraya radar geldik. Parametre uzayının T dikdörtgenini birçok küçük dikdörtgene böldükten sonra, bu dikdörtgenlerin S yüzeyinde paralelkenarlara dönüştüğünü söylemiştim. Daha doğrusu, her biri S'nin biraz eğri bir parçasına dönüşür, bu da bir paralelkenarla kestirilebilir. Başlangıçtaki dikdörtgeniniz ne kadar küçükse, kestirim o kadar doğru olur.
Sonra, birçok hesaplama sonunda, bu paralelkenarların birinin ifadesi için bir ifade buldunuz:
(s2+4t2+4t4)dtds
Burada
  • (t,s) başlangıçtaki küçük dikdörtgenin konumunu tanımlar.
  • dt bunun genişliğidir.
  • ds bunun yüksekliğidir.
Bu küçük paralelkenarların tümünün alanlarını toplamak için, bu miktarın T bölgesinde çift katlı integralini alırız. Hatırlatalım, T bölgesi şu şekilde tanımlanmıştı:
1t10s3
Bu sınırları kullanırsak, S'nin alanını temsil eden çift katlı integral budur:
0311(s2+4t2+4t4)dtds
Bunu elle yaprak zor gibi görünüyor, çünkü s2+4t2+4t4'ün terstürevini bulmak zor olacak. Ama bir hesap makinesi (veya Wolfram Alpha) kullanarak cevabı bulabiliriz:
0311(s2+4t2+4t4)dtds12,6153
Burada hatırlanması gereken önemli şey, uygun çift katlı integralin nasıl kurulacağı ve yüzeyin üstündeki pek çok küçük alanın toplanmasına ilişkin düşünmektir.

Özet: Bu kolay değil

Bir önceki örnekte yaptıklarımızın tümünü genelleştirirsek, S parametrik yüzeyimizin yüzey alanı bu integral kullanılarak tanımlanır:
T|vt×vs|dtds
burada S v(t,s) parametrik fonksiyonunun ts-düzleminde bir T bölgesine uygulanmasıyla tanımlanır.
Bunu daha önce gördünüz, ama hesaplanması zor bir şey olduğunu söylemeye değer.
  • İlk olarak, vektör-değerli fonksiyonların iki kısmi türevini almanız gerekir, her bileşeni sayarsanız, toplamda 6 kısmi türev eder.
  • Sonra bu iki kısmi türev vektörünün vektör çarpımını almanız gerekir, bu da bileşenleri vektör ve fonksiyonlar olan bir determinantı almayı gerektirir.
  • Sonra bu vektör çarpımının normunu hesaplamamız gerekir.
  • Ne de olsa, hala karşınızda çift katlı bir integral var. Ve unutmayın ki, sadece çift katlı integral kurmak çok da kolay değildir, özellikle de integral aldığınız bölge dikdörtgensel değilse.
  • Bunun tümünde, v(t,s) fonksiyonunu ve T bölgesini zaten bildiğiniz varsayılmaktadır. Bazen size sadece örtük olarak tanımlanmış bir yüzey verilir, x2+y2+z2=1 ile tanımlanmış bir küre gibi. Bu durumda, bu yüzeyi parametrelendiren bir fonksiyon bulmanız ve ayrıca parametre uzayının hangi belirli bölgesinin bu yüzeye karşılık geldiğini bulmanız gerekir.
Bunu bitirirken yapılması gereken, düzenli devam etmek ve sabırlı olmaktır. Bunu düşünmenin bir yolu da şöyledir, bu yüzey alan integrallerinden sadece birini kurmanın ve hesaplamanın tek değişkenli analizde 10 problem çözmeye eşdeğerdir.
Bunun için gereken tüm düşünce süreci aslında, yüzey alanı bulmanın ötesinde, genelde yüzeyleri ve üç boyutlu düşünmek için çok faydalıdır. Örneğin, bilgisayar grafikleri nasıl çalışır? Çoğunlukla, üç boyutlu bir şekli göstermek, yüzeyi çokgenlere ayırtmayı ve bilgisayarın bu çokgenleri göstermesini sağlamayı içerir. Bu, yüzey alanı integrali bulmayı içermese de, bunu yapmanın mantığı çok benzerdir, kısmi türevlerin vektör çarpımlarını bulmak, vb.
Bunu daha çok uygulamak isterseniz bir sonraki makale başka bir örneği çözüyor. Siz de çözmek isterseniz, bir sürü kağıda yazmaya hazırlanın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.