If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Yüzey integrali örneği

Bir kürede bir yüzey integrali alma alıştırması yapın.

Görevimiz: Küredeki yüzey integrali.

Son makalede, yüzey integrallerinin ne olduğundan ve bunları nasıl yorumlayabileceğinizden bahsettim. Burada, bir örneğin detaylarının tamamını bulacaksınız. Eğer videoları tercih ediyorsanız, Salman'ın farklı bir örneği çözmesini izleyin.
Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 2 olan bir çember düşünün.
Göreviniz aşağıdaki fonksiyonun bu kürenin yüzeyi boyunca integralini almaktır:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

Adım 1: Kürenin simetrisinin avantajından yararlanın

Yarıçapı 2 olan küre, tanıma göre, aşağıdaki özelliği sağlayan üç boyutlu uzaydaki tüm noktalardır:
x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 2, squared
Bu ifade, fonksiyonla oldukça benzerdir:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared
Aslında, bunu avantajımıza kullanabiliriz...
Kavram kontrolü: f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared'yi yarıçapı 2 olan kürenin üstündeki noktalarda hesapladığınızda, hangi daha basit ifadeyi elde edersiniz?

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis'nin her yerde bu daha basit ifadeye eşit olmadığına, sadece x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 4 olan noktalarda eşit olduğunu aklınızda tutun. Bununla birlikte, sadece bu kürenin üstündeki noktalarda integral alacağımızdan, integraldeki f fonksiyonunun yerine bu değeri koyabiliriz.
Ku¨re((x1)2+y2+z2)dΣ=Ku¨re(2x+5)dΣ\begin{aligned} \iint_{\text{Küre}} \Big((x-1)^2 + y^2 + z^2 \Big) \,d\Sigma = \iint_{\text{Küre}} (-2x+5)\,d\Sigma \end{aligned}
Tabii ki, bu her yüzey integrali için yapabileceğiniz bir şey değildir; ancak bu integralleri basitleştirmek için uygun durumlarda simetrinin avantajından yararlanmak, iyi bir derstir.

Adım 2: Küreyi parametrelerle tanımlayın

Bu yüzey integralini düz bir düzlemdeki bir çift katlı integralle ilişkilendirmek için, önce küreyi parametrelendiren bir fonksiyon bulmalıyız.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, yarıçapı 2 olan küreyi parametrize eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Harika! Şimdi kürenin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis parametrelendirmesi ve t, s düzleminde eşleşen bölge için bir formül elde ettik. Yüzey integralimizi şu şekilde açmaya başlayabiliriz:
Ku¨re(2x+5)dΣ=0π02π(2(2cos(t)sin(s))parametrelendirmenin x deg˘eri+5)vt×vsBunu bulmalıyız ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣dtds\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{Küre}} (-2x+5)\,d\Sigma \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left( -2 \underbrace{ (2\cos(t)\sin(s)) }_{\text{parametrelendirmenin $x$ değeri}} +5 \right)\, \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| }_{\text{Bunu bulmalıyız}} \!\!\!\!\!\! \,dt \,ds \end{aligned}

Adım 3: Kısmi türevlerin ikisini de hesaplayın

Herhangi bir yüzey integralinde uğraşmanız gereken esas canavar bu küçük adımdır:
vt×vs\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \end{aligned}
Kavram kontrolü: Başlangıç olarak, parametrik fonksiyonumuzun kısmi türevlerini hesaplayın:
v(t,s)=[2cos(t)sin(s)2sin(t)sin(s)2cos(s)]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Adım 4: Çarpraz çarpımı hesaplayın

Az önce bulduğunuz iki kısmi türev vektörünün iç çarpımını hesaplayın.
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Adım 5: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun.

Az önce bulduğunuz iç çarpımın büyüklüğünü bulun.
open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, close vertical bar, equals

Dikkat ederseniz, teknik olarak, cevapta bir mutlak değer işareti olmalıdır. Bununla birlikte, parametrelendirmemiz sadece 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi olan bölgeye uygulandığından, sine, left parenthesis, s, right parenthesis değeri daima pozitif olacaktır, dolayısıyla buna dikkat etmesek de olur.

Adım 6: İntegrali hesaplayın

Yaptığımız her şeyi birleştirirsek, yüzey integrali şu hali alır:
Ku¨ref(x,y,z)dΣ=Sphere(2x+5)dΣAdım 1=0π02π(2(2cos(t)sin(s))+5)vt×vsdtdsAdım 2=0π02π(2(2cos(t)sin(s))+5)(4sin(s))dtdsAdım 3, 4, 5=0π02π(16cos(t)sin2(s)+20sin(s))dtds\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{Küre}} f(x, y, z)\,d\Sigma \\\\ &= \iint_{\text{Sphere}} (-2x+5)\,d\Sigma \quad \leftarrow \text{Adım 1} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Adım 2} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, (4\sin(s)) \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Adım 3, 4, 5} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds \end{aligned}
Son adım olarak, bu çift katlı integrali hesaplayın.
0π02π(16cos(t)sin2(s)+20sin(s))dtds=\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds = \end{aligned}