Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4
Ders 11: Yüzey İntegralleri (Makaleler)Yüzey integrali örneği
Bir kürede bir yüzey integrali alma alıştırması yapın.
Arka plan
Görevimiz: Küredeki yüzey integrali.
Son makalede, yüzey integrallerinin ne olduğundan ve bunları nasıl yorumlayabileceğinizden bahsettim. Burada, bir örneğin detaylarının tamamını bulacaksınız. Eğer videoları tercih ediyorsanız, Salman'ın farklı bir örneği çözmesini izleyin.
Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 2 olan bir çember düşünün.
Göreviniz aşağıdaki fonksiyonun bu kürenin yüzeyi boyunca integralini almaktır:
Adım 1: Kürenin simetrisinin avantajından yararlanın
Yarıçapı 2 olan küre, tanıma göre, aşağıdaki özelliği sağlayan üç boyutlu uzaydaki tüm noktalardır:
Bu ifade, fonksiyonla oldukça benzerdir:
Aslında, bunu avantajımıza kullanabiliriz...
Kavram kontrolü: f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared'yi yarıçapı 2 olan kürenin üstündeki noktalarda hesapladığınızda, hangi daha basit ifadeyi elde edersiniz?
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis'nin her yerde bu daha basit ifadeye eşit olmadığına, sadece x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 4 olan noktalarda eşit olduğunu aklınızda tutun. Bununla birlikte, sadece bu kürenin üstündeki noktalarda integral alacağımızdan, integraldeki f fonksiyonunun yerine bu değeri koyabiliriz.
Tabii ki, bu her yüzey integrali için yapabileceğiniz bir şey değildir; ancak bu integralleri basitleştirmek için uygun durumlarda simetrinin avantajından yararlanmak, iyi bir derstir.
Adım 2: Küreyi parametrelerle tanımlayın
Bu yüzey integralini düz bir düzlemdeki bir çift katlı integralle ilişkilendirmek için, önce küreyi parametrelendiren bir fonksiyon bulmalıyız.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, yarıçapı 2 olan küreyi parametrize eder?
Harika! Şimdi kürenin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis parametrelendirmesi ve t, s düzleminde eşleşen bölge için bir formül elde ettik. Yüzey integralimizi şu şekilde açmaya başlayabiliriz:
Adım 3: Kısmi türevlerin ikisini de hesaplayın
Herhangi bir yüzey integralinde uğraşmanız gereken esas canavar bu küçük adımdır:
Kavram kontrolü: Başlangıç olarak, parametrik fonksiyonumuzun kısmi türevlerini hesaplayın:
Adım 4: Çarpraz çarpımı hesaplayın
Az önce bulduğunuz iki kısmi türev vektörünün iç çarpımını hesaplayın.
Adım 5: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun.
Az önce bulduğunuz iç çarpımın büyüklüğünü bulun.
Dikkat ederseniz, teknik olarak, cevapta bir mutlak değer işareti olmalıdır. Bununla birlikte, parametrelendirmemiz sadece 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi olan bölgeye uygulandığından, sine, left parenthesis, s, right parenthesis değeri daima pozitif olacaktır, dolayısıyla buna dikkat etmesek de olur.
Adım 6: İntegrali hesaplayın
Yaptığımız her şeyi birleştirirsek, yüzey integrali şu hali alır:
Son adım olarak, bu çift katlı integrali hesaplayın.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.