Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 11: Yüzey İntegralleri (Makaleler)

Yüzey integrali örneği

Google Classroom

Bir kürede bir yüzey integrali alma alıştırması yapın.

Arka plan

Yüzey integralleri

Görevimiz: Küredeki yüzey integrali.

Son makalede, yüzey integrallerinin ne olduğundan ve bunları nasıl yorumlayabileceğinizden bahsettim. Burada, bir örneğin detaylarının tamamını bulacaksınız. Eğer videoları tercih ediyorsanız, Salman'ın farklı bir örneği çözmesini izleyin.

Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı

2

olan bir çember düşünün.

Göreviniz aşağıdaki fonksiyonun bu kürenin yüzeyi boyunca integralini almaktır:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

Adım 1: Kürenin simetrisinin avantajından yararlanın

Yarıçapı

2

olan küre, tanıma göre, aşağıdaki özelliği sağlayan üç boyutlu uzaydaki tüm noktalardır:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2}$ ‍

Bu ifade, fonksiyonla oldukça benzerdir:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

Aslında, bunu avantajımıza kullanabiliriz...

Kavram kontrolü:

f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}

'yi yarıçapı

2

olan kürenin üstündeki noktalarda hesapladığınızda, hangi daha basit ifadeyi elde edersiniz?

[Cevap]

f (x, y, z)

'nin her yerde bu daha basit ifadeye eşit olmadığına, sadece

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

olan noktalarda eşit olduğunu aklınızda tutun. Bununla birlikte, sadece bu kürenin üstündeki noktalarda integral alacağımızdan, integraldeki

f

fonksiyonunun yerine bu değeri koyabiliriz.

$\begin{array}{r} \iint_{Küre} ((x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}) d Σ = \iint_{Küre} (- 2 x + 5) d Σ \end{array}$ ‍

Tabii ki, bu her yüzey integrali için yapabileceğiniz bir şey değildir; ancak bu integralleri basitleştirmek için uygun durumlarda simetrinin avantajından yararlanmak, iyi bir derstir.

Adım 2: Küreyi parametrelerle tanımlayın

Bu yüzey integralini düz bir düzlemdeki bir çift katlı integralle ilişkilendirmek için, önce küreyi parametrelendiren bir fonksiyon bulmalıyız.

Kavram kontrolü: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, yarıçapı

2

olan küreyi parametrize eder?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
$0 \leq t \leq 2 π$ ‍ ve $0 \leq s \leq π$ ‍ olan bölgede.
(B şıkkı)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \cos (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
$0 \leq t \leq 2 π$ ‍ ve $0 \leq s \leq 2 π$ ‍ olan bölgede.

[Cevap]

Harika! Şimdi kürenin

\vec{v} (t, s)

parametrelendirmesi ve

t s

düzleminde eşleşen bölge için bir formül elde ettik. Yüzey integralimizi şu şekilde açmaya başlayabiliriz:

$\begin{aligned} \iint_{Küre} (- 2 x + 5) d Σ \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 \underset{parametrelendirmenin x değeri}{\underset{⏟}{(2 \cos (t) \sin (s))}} + 5) \underset{Bunu bulmalıyız}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} d t d s \end{aligned}$ ‍

Adım 3: Kısmi türevlerin ikisini de hesaplayın

Herhangi bir yüzey integralinde uğraşmanız gereken esas canavar bu küçük adımdır:

$\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | \end{array}$ ‍

Kavram kontrolü: Başlangıç olarak, parametrik fonksiyonumuzun kısmi türevlerini hesaplayın:

$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Adım 4: Çarpraz çarpımı hesaplayın

Az önce bulduğunuz iki kısmi türev vektörünün iç çarpımını hesaplayın.

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Adım 5: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun.

Az önce bulduğunuz iç çarpımın büyüklüğünü bulun.

$| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | =$ ‍

[Cevap]

Dikkat ederseniz, teknik olarak, cevapta bir mutlak değer işareti olmalıdır. Bununla birlikte, parametrelendirmemiz sadece

0 \leq s \leq π

olan bölgeye uygulandığından,

\sin (s)

değeri daima pozitif olacaktır, dolayısıyla buna dikkat etmesek de olur.

Adım 6: İntegrali hesaplayın

Yaptığımız her şeyi birleştirirsek, yüzey integrali şu hali alır:

$\begin{aligned} \iint_{Küre} f (x, y, z) d Σ \\ = \iint_{Sphere} (- 2 x + 5) d Σ \leftarrow Adım 1 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) \sin (s)) + 5) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \leftarrow Adım 2 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) \sin (s)) + 5) (4 \sin (s)) d t d s \leftarrow Adım 3, 4, 5 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) \sin^{2} (s) + 20 \sin (s)) d t d s \end{aligned}$ ‍

Son adım olarak, bu çift katlı integrali hesaplayın.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) \sin^{2} (s) + 20 \sin (s)) d t d s = \end{array}$ ‍

[Cevap]

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.