Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 11: Yüzey İntegralleri (Makaleler)

Yüzey İntegralleri

Google Classroom

Bir yüzeydeki noktalarla bağlantılı olan, sonsuz küçük sonsuz çok miktarı nasıl toplarsınız?

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama mantığını kavramak için yararlıdır:

Çizgi integralleri

Neye ulaşıyoruz

Prensipte, yüzey integrali fikri çift katlı integralle aynıdır, sadece düz iki boyutlu bir bölgedeki noktaları "toplamak" yerine, yüzeyde, eğri olabilen, bir yüzey üzerindeki noktaların topluyorsunuz. Yüzey integralinin soyut gösterimi, çift katlı integralinkine çok benzerdir:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ bir yüzeyi temsil eder}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{$S$'de küçük bir alan parçası}} \end{aligned}$ - Yüzey integralini hesaplamak, çift katlı integral kullanarak yüzey alanı hesaplamakla neredeyse aynıdır; tek fark integralin içine bir fonksiyon koymanızdır:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} }_{\text{Küçük alan parçası}} \end{aligned}$

Burada start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612 düzleminin T bölgesinden S yüzeyini parametrelendiren bir fonksiyondur.

(Bu, çizgi integralleri hesaplamanın yay uzunluğu aralıkları hesaplamayla aynı olduğuyla benzerlik gösterir, fonksiyonu integralin içine atmanız hariç.)

Bu integrallerin birisine ilişkin bir örneği sonraki makalede bulabilirsiniz.

Yüzey integralleri fikri

Çift katlı integralleri anlıyorsanız, ve parametrik bir yüzey alanını hesaplamayı anlıyorsanız, yüzey integrallerini anlıyorsunuz demektir. Sadece bu iki fikri birleştirmeniz gerekir. Az sonra, yüzey integrali hesaplamasını bir örnekle göstereceğim, ama ilk olarak, yüzey integralin ne olduğunu anlamanızın önemli olduğunu düşünüyorum.

Çift katlı integraller için hatırlatma

Bir çift katlı integralin ne yaptığını hatırlayın:

$\begin{aligned} \iint_R f(x, y)\,dA \end{aligned}$

Burada, R x, y-düzleminde belirli bir bölgeyi temsil eder, ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis R'nin her bir noktasını bir sayıyla ilişkilendirmenin bir yoludur.

Belki R metal bir tabakayı, ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis her noktadaki yoğunluğu temsil etmektedir.
Veya belki R coğrafi bir bölgeyi, ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis her noktadaki sıcaklığı temsil eder.

Çift katlı integral f'nin bu bölgedeki değerlerini "toplamak" için bir yol sağlar. Ancak, sürekli bir bölgede noktaları "toplamak" fikri belirsizdir, o nedenle şu süreci kafamda canlandırırım:

R bölgesini birçok minik parçaya doğrayın.
Her parçanın d, A olarak düşünülen alanını, bu parçanın içindeki noktalardan birindeki f değeriyle çarpın.
Elde edilen değerleri toplayın.

Örneğin,

Eğer R bir metal plakayı temsil ediyorsa ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis bir yoğunluk fonksiyonuysa, çift katlı integral size plakanın kütlesini verecektir. (Neden?)
Eğer R bir coğrafi bölgeyi temsil ediyorsa ve f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis her konumdaki sıcaklığı veriyorsa, bu çift katlı integrali almak ve sonra R'nin alanıyla bölmek size o bölgedeki ortalama sıcaklığı verecektir. (Neden?)

Eğri bölgelerde çift katlı integraller

Ancak, neden bu kadar düz kalalım ki? Sürekli iki-boyutlu bir bölgede değerleri toplama fikri, eğrili yüzeyler için de faydalı olabilir.

Yoğunluğu değişen, kıvrımlı bir uçak kanadının yüzeyini ele alır ve bunun toplam kütlesini bulmak isterseniz ne yapabiliriz?
Dünyanın eğimli yüzeyinin her noktası için sıcaklığı bilseydiniz ve ortalama sıcaklığı bulmak isteseydiniz?

Bu sefer, yoğunluğu, sıcaklığı, vb. temsil eden f fonksiyonu, üç boyutlu bir noktayı almalıdır, çünkü yüzeydeki noktalar üç boyutta yaşar. Üç boyutlu bir f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis fonksiyonunun bir yüzey üzerinde integralini alma gösterimi, çift katlı integrallerin soyut gösterimiyle neredeyse benzerdir:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ bir yüzeyi temsil eder}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{d\Sigma}^{\text{$S$'deki küçük bir alan parçası}} \end{aligned}$

(Farklı yazarlar farklı gösterimler kullanabilir).

Buna yüzey integrali denir. Çift katlı integral işaretinin altındaki küçük S yüzeyi temsil eder, ve d, \Sigma terimi bu yüzeyin minik bir alan parçasını gösterir. Yüzey integrallerini çift katlı integraller gibi düşünebilirsiniz:

S yüzeyini birçok küçük parçaya doğrayın.
Her küçük parçanın alanını, bu parçanın içindeki noktalardan birindeki f fonksiyonunun değeriyle çarpın.
Bu değerleri toplayın.

d, A yerine neden d, \Sigma yazıyoruz? Gerçekte bir fark yoktur; bunların ikisi de integral aldığımız şeyin minik bir alanını temsil eder. Ancak, bir şeyleri hesaplama zamanı geldiğinde, eğri bir yüzey üzerinde minik bir alan parçasını işlemek, düz bir yüzeyde bunu yapmaktan temelde farklıdır, onun için bu farkı farklı bir değişken kullanarak vurgulamak önemlidir.

Yüzey integralinin hesaplanması

Soyut gösterim ve uçak kanatlarını parçalama görüntüleri çok güzel, ama bu yüzey integrallerini nasıl hesaplarsınız? Buradaki hile, bunu sıradan, düz, çift katlı bir integrale çevirmektir.

Özellikle, bir yüzeyi matematiksel olarak genelde bir parametrik fonksiyonla tanımlarsınız. İki boyutlu t, s düzlemindeki (sevimli ve düz) noktaları alan ve üç boyutlu uzayda noktalar veren bir vektör değerli start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis fonksiyonunuz olacak. Ayrıca t, s düzleminin, S yüzeyiyle eşleşen T bölgesini belirlemeniz gerekecek.

Yüzey integrallerinin hilesi, S eğri yüzeyine göre integral almayla aynı etkiyi veren T düz bölgesinde integral almanın bir yolunu bulmaktır. Bu, S'nin "minik alan parçasını" parametre içinde bir şey cinsinden ifade etmeyi gerektirir.

Bunun için tüm iş, yüzey alanı ile ilgili makalede yapılmıştır. Burada, T'nin içinde alanı start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 olan minik bir dikdörtgenin alanı

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}

olan bir S paralelkenarında dönüştüğünü görmüştük

Yüzey integrali isteklerimiz için, bunun anlamı d, \Sigma'ı aşağıdaki gibi açmamız gerektiğidir:

d, \Sigma, equals, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Özellikle, parametre uzayına göre bir yüzey integralini şöyle yazarız:

$\displaystyle \iint_S f(x, y, z)\, d\Sigma = \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds}$ \iint, start subscript, S, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, d, \Sigma, equals, \iint, start subscript, T, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Bunu biraz inceleyelim:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{Integral over surface}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{$S$'nin küçük bir parçasının alanı}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! = \underbrace{ \iint_T }_{\substack{ \text{Integral in}\\ \text{parameter space} }} \!\!\!\! \overbrace{ f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) }^{\substack{ \text{Her}\\ \text{$(t, s)$ noktasının $S$'de nereye geldiğini görün, sonra }\\ \text{$f$'yi hesaplayın} }} \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| }_{\substack{ \text{}\\ \text{$T$'nin küçük bir parçası,} \\ \text{ $\vec{\textbf{v}}$ ile $S$'ye eşleştirildikten sonra ne kadar ölçeklenir} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \blueE{dt}\,\redE{ds} }^{\substack{ \text{Küçük}\\ \text{$T$ parçasının alanı} }} \end{aligned}$

Burada odaklanmanız gereken, ve hesaplamaları zorlu yapan şey, d, \Sigma'yı ifade etme yoludur.

Sonraki makalede, bu yüzey integrallerinden birisine ilişkin tam bir örneği görebilirsiniz.

Özet

Yüzey üzerindeki noktalarla ilgili birkaç değeri toplamak istediğinizde, yüzey integrali kullanırsınız. Bu, çizgi integrallerinin iki boyutlu benzeridir. Alternatif olarak, çift katlı integralleri eğri yüzeylere genelleme olarak düşünebilirsiniz.

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ bir yüzeyi temsil eder}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{$S$'deki küçük bir alan parçası}} \end{aligned}$

Yüzey integralini hesaplamak, çift katlı integral kullanarak yüzey alanı hesaplamakla neredeyse aynıdır; tek fark integralin içine bir fonksiyon koymanızdır:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Çok değişkenli analizin birçok kısmında olduğu gibi, yüzey integrallerin arkasındaki teori çok güzeldir, bunlardan birini hesaplamak çok iş gerektirebilir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.