Yüzey İngtegrali Hesaplama Örneği 1

Birkaç video önce bir simidin konum vektör değerli fonksiyonunu iki parameter kullanarak yazmıştık. Ve sonucu böyle bulmuştuk. Bunun birkaç video sürdüğünü hatırlıyorum, çünkü işlemler biraz zordu. Öncelikle konum vektör değerli fonksiyonumuzu yazayım. r'yi s ve t parametreleri cinsinden bir fonksiyon olarak yazmıştık. Sonra da s, t, a ve b'nin neyi temsil ettiğini bir tekrar edelim. Bu, b artı a kosinüs s'ye eşit. Bunu birkaç video önce gördük. Yüzeyin iki parametreli parametrik denklemlerle ifade edilmesi hakkında ki videolara bir bakmak isteyebilirsiniz. Ne dedik ? Çarpı sinüs t. s ve t'li terimleri farklı renklerde göstereceğim. Çarpı i birim vektörü. Birim vektörlerini turuncuyla göstereceğim. Artı b artı a kosinüs s çarpı kosinüs t çarpı j birim vektörü, y yönündeki birim vektör. Artı a sinüs s çarpı k birim vektörü veya z yönündeki birim vektör. Simidi oluşturmak için, simidin etrafında birden fazla tur atmamak için, s ve t'nin 0 ile 2 Pi arasında olması gerekiyor. Bunun nereden geldiğini tekrar edelim. Bir simit çizeyim. Simit şimdi.. Evet bu, bir simide benzedi. Bu simidi iki çemberin ürünü olarak düşünebilirsiniz. Simidin herhangi bir noktasındaki kesit, bir çember verir. Şurada kesit alabilirsiniz, veya burada. Bir de bu çemberleri saran bir çember hayal edebilirsiniz. Bu formülü bulurken, a, bu kesit çemberlerin yarıçapıydı.a, bu. Bu a'lı terimlerin anlamı bu. b de bu kesitlerin merkezlerinin simidin merkezine olan uzaklığıydı.b de buydu. b'yi kesitin merkezinden geçen bir çemberin yarıçapı olarak düşünebilirsiniz. Ve a kesit çemberlerin yarıçapı. Parametrik denklemleri bulurken, s parametresi bize bu çemberin üzerinde ne kadar gittiğimizi söylüyordu. s, 0 ile 2 Pi arasında, bu çemberin neresinde olduğumuzu belirten bir açı. Ve t, büyük çember üzerinde ne kadar döndüğümüzü gösteriyor. Bu simit veya yüzey üzerinde herhangi bir nokta belirtmek için bize gereken, bir s ve t değeridir. Bu nedenle, bu parametrik denklemleri oluşturmak için bu parametreleri seçtik. Birkaç video önce gördüğümüz bu konuya geri dönmemin sebebi ise, yüzey integrali bulmak için bu parametrik denklemleri kullanacak olmamız. Hesaplayacağımız yüzey integrali bize bu simidin yüzey alanını verecek. Bu yüzeye sigma diyelim ve bu konum vektör değerli fonksiyonla ifade edelim. Bu konum vektör değerli fonksiyon şu iki parametreyi kullanıyor. Yüzey alanını bulmak için, bir önceki videodaki gibi bir yüzey integrali kuracağız. Buradaki büyük sigma toplam alanı temsil etmiyor, küçük d sigmaların, küçük yüzey parçalarının birleşimini ifade ediyor. Hatırlarsanız, d sigma şöyle bir yüzey parçasıydı. Örneğin, bu bir d sigma. d sigmaları iki yönde toplayacağımız için, burada çift katlı bir integral var. Bir yönün şöyle simit etrafında döndüğünü, diğerinin de diğer yönde olduğunu düşünebilirsiniz. Çift katlı integralin sebebi bu. Bu integral size yüzey alanını verecek. Eğer bu sigmaları bir başka skaler değerle çarpmak isterseniz, yani bir skaler alanı da bu hesaba katmak isterseniz, bu skaler değeri buraya koyarsınız.Ama burada sadece 1 ile çarpıyoruz. Bir önceki videoda bu integralin fikir olarak faydalı olduğunu ama bu haliyle hesaplamanın zor olduğunu görmüştük. Bu integralin, şununla aynı olduğunu söylersek, o zaman hesaplayabileceğimiz bir şekle, bir forma sokmuş oluruz. Bunun son birkaç videoda gördük. Bu, parametrelerimizin tanımlı olduğu bölge üzerindeki çift katlı integrale eşit s ve t'nin 0'dan 2 Pi'ye gittiği bu bölge üzerinde. Burada 1 var, istersek yazabiliriz, fark etmez. Çarpı r'nin s'ye göre kısmi türevi ile r'nin t'ye göre kısmi türevinin vektör çarpımının büyüklüğü, d s. Sıra fark etmez, ama d s d t. Bunu bir önceki videoda görmüştük. Şimdi bunu hesaplayacağız.Bu videodaki amacımız bu. Bu iki vektörün vektör çarpımını alacağız. Önce vektörleri bulalım.Bir sonraki videoda vektör çarpımını alırız. Daha sonraki videoda ise, bu çift katlı integralin değerini buluruz. Bunun bayağı karmaşık bir problem olduğunu göreceksiniz.Bu sebepten, çok az kişi tahminen bir yüzey integralinin hesaplanmasına tanık olmuştur.Biz yine de bulalım. r'nin s'ye göre kısmi türevi bu terim. Vektör çarpımını bir sonraki videoda yaparız. Peki bu terim nedir? t'yi sabit tutup s'ye göre kısmi türev almak istiyoruz. Burada sinüs t çarpı b'yi dağıtırsanız, bu s'ye göre sadece bir sabit olacak, yani yok sayabiliriz. Burada da sinüs t çarpı bu var.Sinüs t ve a sabit. Sonra kosinüs s'nin türevini alıyoruz. Eksi sinüs s. Buna göre, bunun s'ye göre kısmi türevi eşittir eksi a sinüs t sinüs s. Bunun türevi eksi sinüs s. Eksi buradan geldi. Şuraya sinüs s yazarım.Çarpı i birim vektörü. Bu, x teriminin s'ye göre kısmisi. Şimdi y veya j terimiyle aynı şeyi yapacağız. Artı b çarpı kosinüs t'nin s'ye göre türevi. Bunun kısmi türevi 0. Burası da eksi a olacak, çünkü kosinüs s'nin türevi eksi sinüs s. Burada eksi a olacak.Bu, kosinüs t. Eksi a kosinüs t. Bunlar sabit terimler. Sinüs s. Sadece kısmi türev alıyorum. Sinüs s j. En son olarak, bunun s'ye göre türevini alıyoruz.Bu gayet kolay. Kosinüs s olacak. Artı a kosinüs s k. Kosinüsün türevi eksi sinüs olduğu için, eksi sinüs var. Eksi sinüs s. Eksi sinüs s çarpı bu sabit. Eksi sinüs s çarpı sabit, kosinüs t sinüs t. Umarım, bu, kısmi türevin tekrarı olarak da işe yaramıştır. Şimdi aynı şeyi t ile yapacağız. Şimdi r'nin t'ye göre göre kısmisini alıyoruz. r'nin t'ye göre kısmisi eşittir bu terim sabit olduğu için, bu terim çarpı bunun t'ye göre türevi, yani kosinüs t, olacak. b artı a kosinüs s çarpı kosinüs t i. Eksi sinüs t ve bu sabit dışarıda kalacak. t'ye göre bu sabit. b artı a kosinüs s. b artı a kosinüs s. Bu, buradaki terim. Kosinüs t'nin türevi eksi sinüs t çarpı j. Ve bunun t'ye göre kısmisi bu, t'ye göre sabit. Yani kısmisi 0 olacak. Artı 0 k yazacağım. Artı 0 çarpı k birim vektörü. Kısmi türevleri bulduk.Vektör çarpımını alacağız, vektör çarpımının büyüklüğünü bulacağız ve bu çift katlı integrali hesaplayacağız. Ama bunları önümüzdeki videolarda yapacağım. Hoşçakalın..