Yüzey İngtegrali Hesaplama Örneği 3

Son birkaç videoda, bu simidin yüzey alanını bulmak konusunda yavaş yavaş ilerliyorduk. Bunu yaparken bir yüzey integrali kullanıyorduk, yüzey integralini hesaplarken parametrik denklemlerin s ve t'ye göre kısmi türevlerini almamız gerekti ve bunu ilk videoda yaptık. Sonra ikinci videoda vektör çarpımını aldık.Şimdi vektör çarpımının büyüklüğünü almaya hazırız. Böylece çift katlı integralin ifadesini hesaplayabiliriz ve bir yüzey integrali bulmuş olacağız. Bu, eğitim hayatınızda çok ender rastlayacağınız bir olaydır.O yüzden bence çok heyecan verici. Vektör çarpımımız buydu.Şimdi bunun büyüklüğünü bulalım. Hatırlarsanız, vektör büyüklüğünü Pisagor teoremine benzer bir yöntemle bulduk. Bu durumda, üç boyutlu uzaklık formülü veya Pisagor teoremi kullanıyoruz. r'nin s'ye göre kısmisinin r'nin t'ye göre kısmisiyle vektör çarpımının büyüklüğünü alıyorum. Bu, şuna eşit.Eşittir işaretini koyayım.Bu iki ifade birbirine eşit. Şimdi büyüklüğü bulmak istiyorum. Bunun büyüklüğünü almak istersem, bu sadece bir skaler. Dışarı alalım. b artı a kosinüs s çarpı bunun büyüklüğü. Bunun büyüklüğü de, kendisiyle çarpımının karekökü olacak. Veya terimlerin karelerini toplayıp 1 bölü 2'nci kuvvetini alabiliriz. Böyle yazayım. Karelerin toplamını yazayım. Bunun karesini alırsak, a kare kosinüs kare s sinüs kare t çıkar. Bu terim, bu. Artı şu terimin karesi. Artı a kare kosinüs kare s kosinüs kare t. Bu da o terim. Ve son olarak, bu terimin karesi. Artı a kare sinüs kare s. Bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvvetini alacağım. Bu ifade, şunun büyüklüğüne eşit. Bu sadece bir skaler. Şimdi bu ifadeyi sadeleştirmeye çalışalım. Burada a kare kosinüs kare s var. Burada da a kare kosinüs kare s var, bunu dışarı alalım ve neler kaldığına bakalım. Bu ikinci kısmı baştan yazacağım. a kare kosinüs kare s çarpı sinüs kare t parantez koyayım artı kosinüs kare t. Bu, artı a kare sinüs kare s. Ve bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvveti. Bu nedir? Sinüs kare t artı kosinüs kare t. Güzel. Bu en temel trigonometrik özdeşliğe göre, bu, 1'e eşit. Buna göre, bu ifade a kare kosinüs kare s olarak sadeleşir, artı a kare sinüs kare s. Bunun tamamı üzeri 1 bölü 2. a kareyi şimdi dışarı alabileceğinizi görmüşsünüzdür. a kare çarpı kosinüs kare s artı sinüs kare s. Bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvveti. Şimdi bu terime odaklanıyorum. Birazdan yazacağım. Yine, bir açının kosinüs kare artı sinüs karesi 1'e eşit. Yani, bu terim, a kare üzeri 1 bölü 2 oluyor. Veya karekök a kare, bu da a olur. Bu işlemlerin sonucunda, a çıktı. Yani, bu vektör çarpımın büyüklüğü, bu ifade çarpı a olarak sadeleşti. Bunu baştan yazayım. Bu, a çarpı şu olarak sadeleşir.Peki, sonuç nedir? a çarpı b, yani a b. a b artı a kare kosinüs s. Çok zor görünen işlemleri yapıp, basit bir sonuç çıkınca çok şık oluyor. Yaptıklarımızı tekrar etmek istersek, birkaç videodan beri süregelen amacımız, şu integralin yüzeyin tanımlı olduğu bölgede değerini bulmaktı. s ve t, 0 ile 2 Pi arasındaydı. Bu bölge. Bunun bu bölgedeki integralini almak istiyoruz. s'nin 0 ile 2 Pi arasındaki değerlerini alacağız. d s. Sonra da t'nin 0 ile 2 Pi arasındaki değerlerini alacağız, bu da d t. Hesapladığımız şey de bu. Parametrik denklemlerimizin kısmi türevlerinin vektör çarpımının büyüklüğünü buluyoruz. Bunu buraya koyabiliriz.İfadeler birden basitleşti. a b artı a kare kosinüs s. Peki, bu neye eşit? s'ye göre terstürev alalım. İntegralin dış tarafını yazayım. 0'dan 2 Pi'ye d t. Burada s'ye göre terstürev alırsak, a b sabit, yani a b s artı kosinüs s'nin terstürevi nedir? Sinüs s. Yani a kare sinüs s. 0'dan 2 Pi'ye değerini bulacağız. Peki, bu neye eşit olacak? Limitleri yeniden yazalım.Birazdan t'ye göre integral alacağız. Buraya 2 Pi koyunca, a b çarpı 2 Pi veya 2 Pi a b çıkacak değil mi? 2 Pi a b artı a kare sinüs 2 Pi. Sinüs 2 Pi eşittir 0, yani burada terim olmayacak. Sonra, eksi 0 çarpı a b, yani 0. Bir de eksi a kare sinüs 0 olacak ki o da 0.Yani bu terimler 0. Kalan ifadeler çok güzel sadeleşti.Bunun t'ye göre terstürevini alıyoruz. Bu sabit. t'ye göre terstürev alırsak, 2 Pi a b t ve bunun 0'dan 2 Pi'ye değerini alırız. Buraya 2 Pi koyarız. t yerine 2 Pi koyarsak, 2 Pi çarpı 2 Pi a b çıkar. Veya şöyle diyebiliriz, 2 Pi kare çarpı a b eksi 0 çarpı bu ifade. Bu 0 olacak, o nedenle yazmamıza gerek yok. Ve bitirdik. Bu, simidin yüzey alanını bitirdik. Yüzey alanı eşittir 4 Pi kare a b, bu çok temiz ve güzel bir formül. İçinde 2 Pi var. Karesini alıyoruz, ve bu mantıklı, çünkü şu iki çemberin çarpımını alıyoruz gibi düşünebiliriz. Çok soyut, genel ifadeler kullanıyorum, mantık yürütüyorum. Ve bu iki yarıçapın çarpımını alıyoruz. Şunu kopyalayayım. Yaptığımız tüm işlemler, bu şekilde sadeleşti. Artık biliyoruz ki, kesitinin yarıçapı a, merkezden kesit merkezlerine yarıçapı b olan bir simidin yüzey alanı 4 Pi kare çarpı a çarpı b'dir.Bence bu çok güzel bir sonuç.