Üç katlı integraller

Arka plan

• Hacmin ötesinde çift katlı integraller

Neye ulaşıyoruz

• Malumu açıklama risking karşılık, üç katlı integraller çift katlı integrallerle aynıdır, sadece üç boyuttadırlar. Bunlar soyut olarak şöyle yazılırlar

  $\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}$

  burada
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
  • $f(x, y, z)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
  • $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z olarak yazılır.
• Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{Bu tamamen $y$ ve $z$'nin bir fonksiyonudur}}\,dy }_{\text{Bu tamamen $z$'nin bir fonksiyonudur}}\;dz \end{aligned}$

  Çift katlı integrallerde olduğu gibi, iç integrallerin sınırları da dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir. Bu sınır fonksiyonları $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 şeklini kodlar.
• Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik $dV$d, V hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
• Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.

Örnek 1: Değişken yoğunluklu dikdörtgen prizma

• Köşelerden birisi başlangıç noktasındadır.
• Uzunluğu $3$3 olan kenarlardan birisi pozitif $x$x ekseninin üstündedir.
• Uzunluğu $2$2 olan kenarlardan birisi pozitif $y$y ekseninin üstündedir.
• Uzunluğu $5$5 olan kenarlardan birisi pozitif $z$z ekseninin üstündedir.

Önemli soru: Tüm bloğun kütlesi nedir?

• Bunu $\blueE{x}$start color #0c7f99, x, end color #0c7f99'in sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
• Bunu $\redE{y}$start color #bc2612, y, end color #bc2612'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
• Bunu $\greenE{z}$start color #0d923f, z, end color #0d923f'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.

• En içteki integral $x$x-eksenine paralel doğrular boyunca minik kütle parçaları toplamak şeklinde düşünebilirsiniz. $y$y ve $z$z cinsinden bir ifade verir ki, bunun anlamı

  "$x$x eksenine parallel olan doğrumuzun $y$y ve $z$z koordinatlarının seçimine göre, doğru boyunca sonsuz küçüklükteki kütlelerin toplamı şöyle olur."

• $y$y'ye göre olan bir sonraki integral, bu çizgilerin sonsuz küçüklükte kütlelerini $y$y yönünde toplar, $xy$x, y düzlemine paralel bir tabakanın sonsuz küçüklükteki kütlesini verir. sadece $z$z cinsinden bir ifade verecektir,

  "$xy$x, y-düzleminin üstünde kağıdınızın yüksekliğine göre, sonsuz küçüklükteki değer şöyle olur".

• Son olarak, en dıştaki integral $z$z $0$0 ile $5$5 arasında değiştikçe, bu plakaların kütlelerini toplar. Sonuç olarak bir sabit verir, bu metal bloğunun (artık minik olmayan) kütlesidir.

Örnek 2: Hacmi hesaplamak için bir üç katlı integral kullanma

• $z = x^2 + y^2$z, equals, x, squared, plus, y, squared paraboloidi
• $z = 2(x + y + 1)$z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis düzlemi

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $(1, 1)$left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis merkezli yarıçapı $2$2 olan bir çember

  A

  $(1, 1)$left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis merkezli yarıçapı $2$2 olan bir çember
• (B şıkkı)  

  $(-1, -1)$left parenthesis, minus, 1, comma, minus, 1, right parenthesis merkezli yarıçapı $4$4 olan bir çember

  B

  $(-1, -1)$left parenthesis, minus, 1, comma, minus, 1, right parenthesis merkezli yarıçapı $4$4 olan bir çember

Kontrol et

[Cevap]

örnek 3: Konik bir bölgenin hacmi

"Ama bir dakika,"

"Bir koninin hacminin nasıl hesaplandığını zaten biliyorum!"

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $R$R'deki verilen bir $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis noktası için, $x$x ve $z$z koordinatları $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root denklemini sağlamalıdır.

  A

  $R$R'deki verilen bir $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis noktası için, $x$x ve $z$z koordinatları $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root denklemini sağlamalıdır.
• (B şıkkı)  

  $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis'nin $R$R'de belirli bir $y$y değerinde olduğu tüm $(x, z)$left parenthesis, x, comma, z, right parenthesis noktalarının kümesi olsun. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root denklemiyle tanımlanan eğriyle sınırlanır

  B

  $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis'nin $R$R'de belirli bir $y$y değerinde olduğu tüm $(x, z)$left parenthesis, x, comma, z, right parenthesis noktalarının kümesi olsun. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root denklemiyle tanımlanan eğriyle sınırlanır

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  Yarıçapı $2$2 olan bir çember.

  A

  Yarıçapı $2$2 olan bir çember.
• (B şıkkı)  

  Yarıçapı $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root olan bir çember.

  B

  Yarıçapı $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root olan bir çember.
• (C şıkkı)  

  Yarıçapı $2$2 olan bir çemberin içindeki bölge.

  C

  Yarıçapı $2$2 olan bir çemberin içindeki bölge.
• (D şıkkı)  

  Yarıçapı $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root olan bir çemberin içindeki bölge

  D

  Yarıçapı $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root olan bir çemberin içindeki bölge

Kontrol et

[Cevap]

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (B şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (C şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$
• (D şıkkı)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  D

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

Kontrol et

[Cevap]

Özet

• Üç katlı integraller soyut olarak şu şekilde yazılır

  $\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}$

  burada
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
  • $f(x, y, z)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
  • $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z olarak yazılır.
• Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{Bu tamamen $y$ ve $z$'nin bir fonksiyonudur}}\,dy }_{\text{Bu tamamen $z$'nin bir fonksiyonudur}}\;dz \end{aligned}$

  Çift katlı integrallerle olduğu gibi, içteki integrallerin sınırları dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir.
• Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik $dV$d, V hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
• Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.