If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç katlı integraller

Üç katlı integraller çift katlı integralin üç boyuttski benzeridir.  Üç boyutlu bir bölgedeki noktalarla ilgili sonsuz sayıda sonsuz küçüklükte miktarları toplamanın bir yoludur.

Arka plan

Bunu okumadan önce, çift katlı integralleri daha iyi kavradığınızdan emin olun. Çoklu integralleri anlamadaki temel zorluk, tekli integralden çift katlı integrale geçiştir. Bundan sonra, üç katlı integrallerde olduğu gibi, zihinsel çabanın çoğu aynı prensipleri görselleştirmesi biraz daha zor durumlara uygulamaya harcanır.

Neye ulaşıyoruz

Üç boyutlu bölgede bir örnek
  • Malumu açıklama risking karşılık, üç katlı integraller çift katlı integrallerle aynıdır, sadece üç boyuttadırlar. Bunlar soyut olarak şöyle yazılırlar
    RfdV\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}
    burada
    • start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
    • f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
    • start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z olarak yazılır.
  • Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y,z)x2(y,z)f(x,y,z)dxBu tamamen y ve z’nin bir fonksiyonudurdyBu tamamen z’nin bir fonksiyonudur  dz\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{Bu tamamen $y$ ve $z$'nin bir fonksiyonudur}}\,dy }_{\text{Bu tamamen $z$'nin bir fonksiyonudur}}\;dz \end{aligned}
    Çift katlı integrallerde olduğu gibi, iç integrallerin sınırları da dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir. Bu sınır fonksiyonları start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 şeklini kodlar.
  • Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik d, V hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
  • Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.

Örnek 1: Değişken yoğunluklu dikdörtgen prizma

Boyutları 3, times, 2, times, 5 olan dikdörtgenler prizması formunda bir metal blok düşünün. Bu metal blok yeknesak yoğunluğa sahip değildir. Bunun yoğunluğunu üç değişkenli bir fonksiyonla tanımlayabilmek için, bu bloğu üç boyutlu kartezyen uzayda hayal ederek başlayalım.
Khan Akademi video wrapper
Özellikle, blok şu şekilde konumlandırılmıştır
  • Köşelerden birisi başlangıç noktasındadır.
  • Uzunluğu 3 olan kenarlardan birisi pozitif x ekseninin üstündedir.
  • Uzunluğu 2 olan kenarlardan birisi pozitif y ekseninin üstündedir.
  • Uzunluğu 5 olan kenarlardan birisi pozitif z ekseninin üstündedir.
Bunun her noktadaki yoğunluğunun aşağıdaki fonksiyonla verildiğini düşünelim:
rho, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, squared, y, left parenthesis, cosine, left parenthesis, pi, z, right parenthesis, plus, 2, right parenthesis
(rho sembolü ''rho" olarak okunur ve üç boyutlu yoğunluğu temsil etmek için kullanılan değişkendir.)
Önemli soru: Tüm bloğun kütlesi nedir?
Diğer integral alma problemlerinde olduğu gibi, bu bölgeyi birçok küçük parçaya ayırmayı gözümüzde canlandırmayla başlayabiliriz. Bir çizgi minik d, x uzunluğunda parçalara ayırdığımız sıradan integrallerin ve iki boyutlu bir alanı d, A alanlı minik parçalara ayırdığımız çift katlı integrallerin aksine, bu sefer her bir minik parçada bir d, V hacmi bulunur. Sonunda, bu minik hacim üç minik uzunluğun çarpımı olarak ayrılır, ama problemi kurduğunuzda, bunu minik bir hacim olarak düşünmek faydalıdır.
Somut olarak, bu bloğu minik parçalara ayırmanın bir yolu, üç yöne bölmektir:
  • Bunu start color #0c7f99, x, end color #0c7f99'in sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
  • Bunu start color #bc2612, y, end color #bc2612'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
  • Bunu start color #0d923f, z, end color #0d923f'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
Khan Akademi video wrapper
rho, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis sürekli bir fonksiyon olduğundan, bu minik parçalar yeterince küçük olduğunda, bunların herhangi birinin içindeki yoğunluk sabit olur. Örneğin, belirli bir parça left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 3, right parenthesis noktasının etrafında küçülürse, yoğunluğu rho, left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 3, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, squared, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, left parenthesis, cosine, left parenthesis, pi, 3, right parenthesis, plus, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, 4, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 4'e yaklaşır. Dolayısıyla, bu minik parçaların kütlelerinin her biri
ρ(x,y,z)yog˘unlukdVhacim\begin{aligned} \underbrace{ \rho(x, y, z) }_{\text{yoğunluk}} \underbrace{ dV }_{\text{hacim}} \end{aligned}
Burada left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis parçanın içindeki herhangi bir nokta, ve d, V parçanın hacmidir (bunun özellikleri integrale özgüdür).
Her bir parça ayrıt uzunlukları d, x, d, y ve d, z, x, y ve z-yönlerinde minik doğrusal değişimler olan minik bir dikdörtgenler prizması olur. Böylece, minik hacim
d, V, equals, d, x, d, y, d, z
d, V'nin neden böyle açıldığını düşünmenin, minik dikdörtgenler prizmasını ve ayrıt uzunluklarını somut olarak düşünmenin, önemli olduğunu düşünüyorum. Böyle söylüyorum, çünkü silindirik ve küresel koordinat sistemlerindeki gibi başka koordinat sistemlerinde açmak o kadar da kolay değildir.
Bunların tümünü birleştirirsek, küçük parçalarımızdan bir tanesinin kütlesi şudur:
ρ(x,y,z)dV=x2y(cos(πz)+2)yog˘unlukdxdydzhacim\begin{aligned} \\ \rho(x, y, z)\,dV = \underbrace{ x^2y(\cos(\pi z)+2) }_{\text{yoğunluk}} \underbrace{ \,dx\,dy\,dz }_{\text{hacim}} \end{aligned}
Bu minik kütlelerin hepsini toplamak yerine, üç iç içe integral kurduk, bunların her biri farklı bir koordinat ekseni yönünde integral almaktır.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz\begin{aligned} \int_{\greenE{0}}^{\greenE{5}} \int_{\redE{0}}^{\redE{2}} \int_{\blueE{0}}^{\blueE{3}} \blueE{x}^2\redE{y}(\cos(\pi \greenE{z})+2) \,\blueE{dx} \,\redE{dy} \,\greenE{dz} \end{aligned}
Dikkat ederseniz, içteki integraldeki sınırlar start color #0c7f99, x, end color #0c7f99-değerlerini yansıtır, çünkü start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99 start color #bc2612, d, y, end color #bc2612 ile start color #0d923f, d, z, end color #0d923f'den önce yazılmıştır. Benzer şekilde, ortadaki integral start color #bc2612, y, end color #bc2612 değerleriyle sınırlanır, çünkü start color #bc2612, d, y, end color #bc2612 listedeki ikinci diferansiyel terimdir, ve dıştaki integral sondaki terimi start color #0d923f, d, z, end color #0d923f'yi yansıtır.
Kavram kontrolü: Bu üç katlı integrali çözün. İpucu olarak, içteki integrallerden terimleri dışarı alarak, temiz bir çözüm elde edebilirsiniz.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz=\begin{aligned} \int_{\greenE{0}}^{\greenE{5}} \int_{\redE{0}}^{\redE{2}} \int_{\blueE{0}}^{\blueE{3}} \blueE{x}^2\redE{y}(\cos(\pi \greenE{z})+2) \,\blueE{dx} \,\redE{dy} \,\greenE{dz} = \end{aligned}

Bu hesaplamalardan birisinin üstünde çalışırken, bunun neyi temsil ettiğini gözden kaçırmak oldukça kolaydır.
  • En içteki integral x-eksenine paralel doğrular boyunca minik kütle parçaları toplamak şeklinde düşünebilirsiniz. y ve z cinsinden bir ifade verir ki, bunun anlamı
    "x eksenine parallel olan doğrumuzun y ve z koordinatlarının seçimine göre, doğru boyunca sonsuz küçüklükteki kütlelerin toplamı şöyle olur."
  • y'ye göre olan bir sonraki integral, bu çizgilerin sonsuz küçüklükte kütlelerini y yönünde toplar, x, y düzlemine paralel bir tabakanın sonsuz küçüklükteki kütlesini verir. sadece z cinsinden bir ifade verecektir,
    "x, y-düzleminin üstünde kağıdınızın yüksekliğine göre, sonsuz küçüklükteki değer şöyle olur".
  • Son olarak, en dıştaki integral z 0 ile 5 arasında değiştikçe, bu plakaların kütlelerini toplar. Sonuç olarak bir sabit verir, bu metal bloğunun (artık minik olmayan) kütlesidir.

Örnek 2: Hacmi hesaplamak için bir üç katlı integral kullanma

Çift katlı integrallerin iki değişkenli bir fonksiyonun altındaki grafiğin hacmini nasıl hesapladığını gördünüz. Gerçekten de, düşünebileceğiniz birçok bölge için, zekanızla bir tür çift katlı integral kullanarak hacmi bulabilirsiniz.
Unutmayın, çift katlı integrallerin hacim hesaplamasının nedeni, x, y-düzleminde alanı d, A olan minik parçaları almaları, ve her birini fonksiyonun o noktanın üstündeki yüksekliği, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, ile çarpmalarıdır, bu da alanı d, A olan parçanın üstünde ve grafiğin altındaki bir sütunun sonsuz küçüklükteki hacmini verir.
Khan Akademi video wrapper
Üç katlı integrallerle, tüm bir bölgeyi tarayabileceğimiz ve minik birim hacimler toplayabileceğimiz daha güçlü bir aracımız var. En azından, bunu yapmanın içindeki fonksiyona takılmadan üç katlı bir integrale sınır koyma alıştırması görevi gördüğünü söyleyebiliriz.
Örneğin, aşağıdaki iki yüzeyle sınırlı R bölgesini düşünün:
  • z, equals, x, squared, plus, y, squared paraboloidi
  • z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis düzlemi
Bu iki yüzey böyle gözükecektir:
Khan Akademi video wrapper
Bunların arasında sınırlanmış olan, üç boyutlu R bölgesi böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
Bunun hacmini bulmak için, bu bölgeyi kesebileceğiniz küçük parçaların hepsinin hacimlerini toplayacak, yanıltıcı şekilde basit gözüken bir integral oluşturarak başlayalım.
RdV\begin{aligned} \iiint_R dV \end{aligned}
Zorluğun tamamı R bölgesini doğru kodlamak için bu üç integralin sınırlarını doğru almaktadır.
R'nin tanımından, z'nin sınırlarını kolayca elde ederiz:
x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, z, is less than or equal to, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis
z'nin sınırları x ve y'nin fonksiyonları olarak verilmiştir; bu, üç katlı integralimizin en içteki integralinin z'ye göre olması gerektiğini belirtir. Üç katlı integrali aşağıdaki gibi yazarak başlayabiliriz:
????x2+y22(x+y+1)dzI˙çteki integral z’ye go¨redirdxdy\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \underbrace{ \int_{x^2 + y^2}^{2(x+y+1)} \,dz }_{\text{İçteki integral $z$'ye göredir}} \,dx \,dy \end{aligned}
Ama dıştaki iki integralin sınırı olarak neyi koyarız? x ve y ne kadar uzağa gidebilir? Bunun için, R'yi tanımlayan iki yüzeyin nerede kesiştiğini incelememiz gerekir. Bu kesişim üç boyutlu uzayda kapalı bir eğridir, aşağı kırmızı bir çizgiyle gösterilmiştir.
Şimdi tüm R bölgesinin x, y-düzlemine izdüşümünü aldığınızı hayal edin, bu da sadece önemli olan x ve y değerlerine odaklanmanın bir yoludur.
Khan Akademi video wrapper
z, equals, x, squared, plus, y, squared ve z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis arasındaki kesişimi gösteren kırmızı döngü, x, y düzleminde ilgilendiğimiz bölgenin sınırı olur.
Bu tamamen görseldir; ancak bu eğrinin analitik tanımını bulmak için, iki yüzeyimizin her birisini tanımlayan denklemleri birbirine eşitleyin:
x2+y2=2(x+y+1)\begin{aligned} x^2 + y^2 = 2(x+y+1) \end{aligned}
Hem x hem y için kareyi tamamlayarak, geometik olarak yorumlaması daha kolay bir ifade elde edebiliriz.
x2+y2=2(x+y+1)x22x+y22y=2x22x+1tam kare+y22y+1tam kare=2+2(x1)2+(y1)2=4çember denklemi\begin{aligned} x^2 + y^2 = 2(x+y+1) \\\\ x^2 - 2x + y^2 - 2y = 2 \\\\ \underbrace{ x^2 - 2x + \greenE{1} }_{\text{tam kare}} + \underbrace{ y^2 - 2y + \greenE{1} }_{\text{tam kare}} = 2 + \greenE{2} \\\\ \underbrace{ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 }_{\text{çember denklemi}} \end{aligned}
Kavram kontrolü: Bu denklem hangi şekli tanımlar?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Bu bölgede x ve y'nin nasıl değiştiğini tanımlamak için, bunu düşey şeritlere veya yatay şeritlere ayırabilirsiniz. Ben yatay şeritleri tercih edeceğim, ancak bunun belirli bir sebebi yok.
Şeritlerin düşey konumlarının minus, 1 ila 3 arasında olduğunu kodlamak için, bunları y'nin sınırları yaparız.
13??x2+y22(x+y+1)dzdxdy\begin{aligned} \int_{-1}^{3} \int_{?}^{?} \int_{x^2 + y^2}^{2(x+y+1)} \,dz \,dx \,dy \end{aligned}
Çemberimizdeki her yatay şeridin sol ve sağ bitimlerini tanımlayan, x için sınırlar, çemberi tanımlayan denklemde x'in iki çözümüdür:
(x1)2+(y1)2=4(x1)2=4(y1)2(x1)=±4(y1)2x=1±4(y1)2\begin{aligned} (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \\\\ (x-1)^2 = 4 - (y-1)^2 \\\\ (x-1) = \pm \sqrt{4 - (y-1)^2} \\\\ x = 1 \pm \sqrt{4 - (y-1)^2} \\\\ \end{aligned}
Bu, nihai integralimizin böyle gözükeceği anlamını taşır:
1314(y1)21+4(y1)2x2+y22(x+y+1)dzdxdy\begin{aligned} \int_{-1}^{3} \int_{1 - \sqrt{4 - (y-1)^2}}^{1 + \sqrt{4 - (y-1)^2}} \int_{x^2 + y^2}^{2(x+y+1)} \,dz \,dx \,dy \end{aligned}
Bu saçma, değil mi? Üç katlı integrallerin dünyasına hoş geldiniz.
Hatırlatma olarak, diferansiyel terimleri doğru sırada yazmak süper önemlidir, bu durumda, sıralama d, z, d, x, d, y olur. İçteki integralin sınırları z-değerlerini tanımlar, onun için d, z ilk olarak yazılır, bir sonraki integral x-değerlerini kapsar, onu için d, x ikinci sıradadır, vs.
Burada uygulamasını yaptığımız ana beceri, bizim yaptığımız gibi integrali kurmaktır. Bundan sonrasını bir bilgisayar tamamlayabilir. Ama bu üç katlı integrallerden birinin hesaplanması pratiğini yapmak istiyorsunuz, tabii ki yapın. Bu integral çabucak çok zor bir hal alır.

örnek 3: Konik bir bölgenin hacmi

Problem: Aşağıdaki özelliklerle tanımlanan bir R bölgesinin hacmini bulan üç katlı bir integral kurunuz:
  • y, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root
Bölge böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
"Ama bir dakika,"
Şunu dediğinizi duyuyorum,
"Bir koninin hacminin nasıl hesaplandığını zaten biliyorum!"
Sorun değil, ama bu hacmi üç katlı integralle bulma yolu üç katlı integral kaslarımızı germenin iyi bir yolu olur.
Kavram kontrolü: R bölgesi y'win sınırlarını kullanarak tanımlanır, öyleyse aşağıdakilerden hangisi integrali kurmak için geçerli bir yoldur?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bölgemizi tanımlayan iki koşula göre, y, is greater than or equal to, 0 ve y, is less than or equal to, 2, minus, square root of, x, squared, plus, y, squared, end square root, R'nin içinde x ve z değerlerini nasıl bulabilirsiniz?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bir önceki sorunun cevabına göre, aşağıdakilerden hangisi, x, z-düzleminde üç katlı integralimizin kapsaması gereken tüm x ve z değerlerinden oluşan bölgeyi tanımlar.
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi hacim integralini kurmanın doğru yolunu gösterir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Özet

  • Üç katlı integraller soyut olarak şu şekilde yazılır
    RfdV\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}
    burada
    • start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
    • f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
    • start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z olarak yazılır.
  • Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y,z)x2(y,z)f(x,y,z)dxBu tamamen y ve z’nin bir fonksiyonudurdyBu tamamen z’nin bir fonksiyonudur  dz\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{Bu tamamen $y$ ve $z$'nin bir fonksiyonudur}}\,dy }_{\text{Bu tamamen $z$'nin bir fonksiyonudur}}\;dz \end{aligned}
    Çift katlı integrallerle olduğu gibi, içteki integrallerin sınırları dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir.
  • Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik d, V hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
  • Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

  • Ömer DEMİR kullanıcısının avatarı blobby green style
    üç katlı integrali hesaplarken dV=dxdydz yi istediğimiz biçimde değiştirebilir miyiz yani dV=dydxdz veya dV=dxdzdy biçiminde hesaplamak istesem sınırlarda nasıl değişiklikler yapmam gerekir umarım açıklayıcı olmuşumdur cevabınızı bekliyorum
    (1 oy)
     kullanıcısının avatarı Default Khan Academy avatar
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.