If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç katlı integraller

Üç katlı integraller çift katlı integralin üç boyuttski benzeridir.  Üç boyutlu bir bölgedeki noktalarla ilgili sonsuz sayıda sonsuz küçüklükte miktarları toplamanın bir yoludur.

Arka plan

Bunu okumadan önce, çift katlı integralleri daha iyi kavradığınızdan emin olun. Çoklu integralleri anlamadaki temel zorluk, tekli integralden çift katlı integrale geçiştir. Bundan sonra, üç katlı integrallerde olduğu gibi, zihinsel çabanın çoğu aynı prensipleri görselleştirmesi biraz daha zor durumlara uygulamaya harcanır.

Neye ulaşıyoruz

Üç boyutlu bölgede bir örnek
  • Malumu açıklama risking karşılık, üç katlı integraller çift katlı integrallerle aynıdır, sadece üç boyuttadırlar. Bunlar soyut olarak şöyle yazılırlar
    RfdV
    burada
    • R üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
    • f(x,y,z) üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
    • dV küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda dV=dxdydz olarak yazılır.
  • Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y,z)x2(y,z)f(x,y,z)dxBu tamamen y ve z’nin bir fonksiyonudurdyBu tamamen z’nin bir fonksiyonudurdz
    Çift katlı integrallerde olduğu gibi, iç integrallerin sınırları da dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir. Bu sınır fonksiyonları R şeklini kodlar.
  • Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik dV hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
  • Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.

Örnek 1: Değişken yoğunluklu dikdörtgen prizma

Boyutları 3×2×5 olan dikdörtgenler prizması formunda bir metal blok düşünün. Bu metal blok yeknesak yoğunluğa sahip değildir. Bunun yoğunluğunu üç değişkenli bir fonksiyonla tanımlayabilmek için, bu bloğu üç boyutlu kartezyen uzayda hayal ederek başlayalım.
Khan Akademi video wrapper
Özellikle, blok şu şekilde konumlandırılmıştır
  • Köşelerden birisi başlangıç noktasındadır.
  • Uzunluğu 3 olan kenarlardan birisi pozitif x ekseninin üstündedir.
  • Uzunluğu 2 olan kenarlardan birisi pozitif y ekseninin üstündedir.
  • Uzunluğu 5 olan kenarlardan birisi pozitif z ekseninin üstündedir.
Bunun her noktadaki yoğunluğunun aşağıdaki fonksiyonla verildiğini düşünelim:
ρ(x,y,z)=x2y(cos(πz)+2)
(ρ sembolü ''rho" olarak okunur ve üç boyutlu yoğunluğu temsil etmek için kullanılan değişkendir.)
Önemli soru: Tüm bloğun kütlesi nedir?
Diğer integral alma problemlerinde olduğu gibi, bu bölgeyi birçok küçük parçaya ayırmayı gözümüzde canlandırmayla başlayabiliriz. Bir çizgi minik dx uzunluğunda parçalara ayırdığımız sıradan integrallerin ve iki boyutlu bir alanı dA alanlı minik parçalara ayırdığımız çift katlı integrallerin aksine, bu sefer her bir minik parçada bir dV hacmi bulunur. Sonunda, bu minik hacim üç minik uzunluğun çarpımı olarak ayrılır, ama problemi kurduğunuzda, bunu minik bir hacim olarak düşünmek faydalıdır.
Somut olarak, bu bloğu minik parçalara ayırmanın bir yolu, üç yöne bölmektir:
  • Bunu x'in sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
  • Bunu y'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
  • Bunu z'nin sabit değerlerini temsil eden düzlemlerle dilimleyin.
Khan Akademi video wrapper
ρ(x,y,z) sürekli bir fonksiyon olduğundan, bu minik parçalar yeterince küçük olduğunda, bunların herhangi birinin içindeki yoğunluk sabit olur. Örneğin, belirli bir parça (2,1,3) noktasının etrafında küçülürse, yoğunluğu ρ(2,1,3)=(22)(1)(cos(π3)+2)=(4)(1)(1)=4'e yaklaşır. Dolayısıyla, bu minik parçaların kütlelerinin her biri
ρ(x,y,z)yoğunlukdVhacim
Burada (x,y,z) parçanın içindeki herhangi bir nokta, ve dV parçanın hacmidir (bunun özellikleri integrale özgüdür).
Her bir parça ayrıt uzunlukları dx, dy ve dz, x, y ve z-yönlerinde minik doğrusal değişimler olan minik bir dikdörtgenler prizması olur. Böylece, minik hacim
dV=dxdydz
dV'nin neden böyle açıldığını düşünmenin, minik dikdörtgenler prizmasını ve ayrıt uzunluklarını somut olarak düşünmenin, önemli olduğunu düşünüyorum. Böyle söylüyorum, çünkü silindirik ve küresel koordinat sistemlerindeki gibi başka koordinat sistemlerinde açmak o kadar da kolay değildir.
Bunların tümünü birleştirirsek, küçük parçalarımızdan bir tanesinin kütlesi şudur:
ρ(x,y,z)dV=x2y(cos(πz)+2)yoğunlukdxdydzhacim
Bu minik kütlelerin hepsini toplamak yerine, üç iç içe integral kurduk, bunların her biri farklı bir koordinat ekseni yönünde integral almaktır.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz
Dikkat ederseniz, içteki integraldeki sınırlar x-değerlerini yansıtır, çünkü dx dy ile dz'den önce yazılmıştır. Benzer şekilde, ortadaki integral y değerleriyle sınırlanır, çünkü dy listedeki ikinci diferansiyel terimdir, ve dıştaki integral sondaki terimi dz'yi yansıtır.
Kavram kontrolü: Bu üç katlı integrali çözün. İpucu olarak, içteki integrallerden terimleri dışarı alarak, temiz bir çözüm elde edebilirsiniz.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz=

Bu hesaplamalardan birisinin üstünde çalışırken, bunun neyi temsil ettiğini gözden kaçırmak oldukça kolaydır.
  • En içteki integral x-eksenine paralel doğrular boyunca minik kütle parçaları toplamak şeklinde düşünebilirsiniz. y ve z cinsinden bir ifade verir ki, bunun anlamı
    "x eksenine parallel olan doğrumuzun y ve z koordinatlarının seçimine göre, doğru boyunca sonsuz küçüklükteki kütlelerin toplamı şöyle olur."
  • y'ye göre olan bir sonraki integral, bu çizgilerin sonsuz küçüklükte kütlelerini y yönünde toplar, xy düzlemine paralel bir tabakanın sonsuz küçüklükteki kütlesini verir. sadece z cinsinden bir ifade verecektir,
    "xy-düzleminin üstünde kağıdınızın yüksekliğine göre, sonsuz küçüklükteki değer şöyle olur".
  • Son olarak, en dıştaki integral z 0 ile 5 arasında değiştikçe, bu plakaların kütlelerini toplar. Sonuç olarak bir sabit verir, bu metal bloğunun (artık minik olmayan) kütlesidir.

Örnek 2: Hacmi hesaplamak için bir üç katlı integral kullanma

Çift katlı integrallerin iki değişkenli bir fonksiyonun altındaki grafiğin hacmini nasıl hesapladığını gördünüz. Gerçekten de, düşünebileceğiniz birçok bölge için, zekanızla bir tür çift katlı integral kullanarak hacmi bulabilirsiniz.
Unutmayın, çift katlı integrallerin hacim hesaplamasının nedeni, xy-düzleminde alanı dA olan minik parçaları almaları, ve her birini fonksiyonun o noktanın üstündeki yüksekliği, f(x,y), ile çarpmalarıdır, bu da alanı dA olan parçanın üstünde ve grafiğin altındaki bir sütunun sonsuz küçüklükteki hacmini verir.
Khan Akademi video wrapper
Üç katlı integrallerle, tüm bir bölgeyi tarayabileceğimiz ve minik birim hacimler toplayabileceğimiz daha güçlü bir aracımız var. En azından, bunu yapmanın içindeki fonksiyona takılmadan üç katlı bir integrale sınır koyma alıştırması görevi gördüğünü söyleyebiliriz.
Örneğin, aşağıdaki iki yüzeyle sınırlı R bölgesini düşünün:
  • z=x2+y2 paraboloidi
  • z=2(x+y+1) düzlemi
Bu iki yüzey böyle gözükecektir:
Khan Akademi video wrapper
Bunların arasında sınırlanmış olan, üç boyutlu R bölgesi böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
Bunun hacmini bulmak için, bu bölgeyi kesebileceğiniz küçük parçaların hepsinin hacimlerini toplayacak, yanıltıcı şekilde basit gözüken bir integral oluşturarak başlayalım.
RdV
Zorluğun tamamı R bölgesini doğru kodlamak için bu üç integralin sınırlarını doğru almaktadır.
R'nin tanımından, z'nin sınırlarını kolayca elde ederiz:
x2+y2z2(x+y+1)
z'nin sınırları x ve y'nin fonksiyonları olarak verilmiştir; bu, üç katlı integralimizin en içteki integralinin z'ye göre olması gerektiğini belirtir. Üç katlı integrali aşağıdaki gibi yazarak başlayabiliriz:
????x2+y22(x+y+1)dzİçteki integral z’ye göredirdxdy
Ama dıştaki iki integralin sınırı olarak neyi koyarız? x ve y ne kadar uzağa gidebilir? Bunun için, R'yi tanımlayan iki yüzeyin nerede kesiştiğini incelememiz gerekir. Bu kesişim üç boyutlu uzayda kapalı bir eğridir, aşağı kırmızı bir çizgiyle gösterilmiştir.
Şimdi tüm R bölgesinin xy-düzlemine izdüşümünü aldığınızı hayal edin, bu da sadece önemli olan x ve y değerlerine odaklanmanın bir yoludur.
Khan Akademi video wrapper
z=x2+y2 ve z=2(x+y+1) arasındaki kesişimi gösteren kırmızı döngü, xy düzleminde ilgilendiğimiz bölgenin sınırı olur.
Bu tamamen görseldir; ancak bu eğrinin analitik tanımını bulmak için, iki yüzeyimizin her birisini tanımlayan denklemleri birbirine eşitleyin:
x2+y2=2(x+y+1)
Hem x hem y için kareyi tamamlayarak, geometik olarak yorumlaması daha kolay bir ifade elde edebiliriz.
x2+y2=2(x+y+1)x22x+y22y=2x22x+1tam kare+y22y+1tam kare=2+2(x1)2+(y1)2=4çember denklemi
Kavram kontrolü: Bu denklem hangi şekli tanımlar?
1 cevap seçin:

Bu bölgede x ve y'nin nasıl değiştiğini tanımlamak için, bunu düşey şeritlere veya yatay şeritlere ayırabilirsiniz. Ben yatay şeritleri tercih edeceğim, ancak bunun belirli bir sebebi yok.
Şeritlerin düşey konumlarının 1 ila 3 arasında olduğunu kodlamak için, bunları y'nin sınırları yaparız.
13??x2+y22(x+y+1)dzdxdy
Çemberimizdeki her yatay şeridin sol ve sağ bitimlerini tanımlayan, x için sınırlar, çemberi tanımlayan denklemde x'in iki çözümüdür:
(x1)2+(y1)2=4(x1)2=4(y1)2(x1)=±4(y1)2x=1±4(y1)2
Bu, nihai integralimizin böyle gözükeceği anlamını taşır:
1314(y1)21+4(y1)2x2+y22(x+y+1)dzdxdy
Bu saçma, değil mi? Üç katlı integrallerin dünyasına hoş geldiniz.
Hatırlatma olarak, diferansiyel terimleri doğru sırada yazmak süper önemlidir, bu durumda, sıralama dzdxdy olur. İçteki integralin sınırları z-değerlerini tanımlar, onun için dz ilk olarak yazılır, bir sonraki integral x-değerlerini kapsar, onu için dx ikinci sıradadır, vs.
Burada uygulamasını yaptığımız ana beceri, bizim yaptığımız gibi integrali kurmaktır. Bundan sonrasını bir bilgisayar tamamlayabilir. Ama bu üç katlı integrallerden birinin hesaplanması pratiğini yapmak istiyorsunuz, tabii ki yapın. Bu integral çabucak çok zor bir hal alır.

örnek 3: Konik bir bölgenin hacmi

Problem: Aşağıdaki özelliklerle tanımlanan bir R bölgesinin hacmini bulan üç katlı bir integral kurunuz:
  • y0
  • y2x2+z2
Bölge böyle gözükür:
Khan Akademi video wrapper
"Ama bir dakika,"
Şunu dediğinizi duyuyorum,
"Bir koninin hacminin nasıl hesaplandığını zaten biliyorum!"
Sorun değil, ama bu hacmi üç katlı integralle bulma yolu üç katlı integral kaslarımızı germenin iyi bir yolu olur.
Kavram kontrolü: R bölgesi y'win sınırlarını kullanarak tanımlanır, öyleyse aşağıdakilerden hangisi integrali kurmak için geçerli bir yoldur?
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bölgemizi tanımlayan iki koşula göre, y0 ve y2x2+y2, R'nin içinde x ve z değerlerini nasıl bulabilirsiniz?
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Bir önceki sorunun cevabına göre, aşağıdakilerden hangisi, xz-düzleminde üç katlı integralimizin kapsaması gereken tüm x ve z değerlerinden oluşan bölgeyi tanımlar.
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi hacim integralini kurmanın doğru yolunu gösterir?
1 cevap seçin:

Özet

  • Üç katlı integraller soyut olarak şu şekilde yazılır
    RfdV
    burada
    • R üç boyutlu uzaydaki bir bölgedir.
    • f(x,y,z) üç boyutlu uzaydaki noktaları girdi olarak alan skaler değerli bir fonksiyondur.
    • dV küçük bir hacim birimidir. Bu, kartezyen koordinatlarda dV=dxdydz olarak yazılır.
  • Somut olarak, bunlar iç içe üç integral olarak hesaplanır:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y,z)x2(y,z)f(x,y,z)dxBu tamamen y ve z’nin bir fonksiyonudurdyBu tamamen z’nin bir fonksiyonudurdz
    Çift katlı integrallerle olduğu gibi, içteki integrallerin sınırları dıştaki değişkenler cinsinden fonksiyonlar olabilir.
  • Üç boyutlu bir bölgeyi sonsuz sayıda parçaya ayırmak istediğimizde, her bir parçayı bir değerle birleştirdiğimizde, ve bunları topladığımızda, üç boyutlu bir integral kullanırız. Bunun şaşırtıcı derecede faydalı olduğu bir yer ise, minik dV hacimlerini toplayarak üç boyutlu bölgelerin hacmini bulmaktır.
  • Çift katlı integrallerde olduğu gibi, zor taraf bölgenizi kodlayan doğru sınırları bulmaktadır. Bu biraz pratik, ve kollarınızı sıvayıp sorunun zorluğuna dalma isteği gerektirir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.