Üç Katlı İntegraller 1

Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak istediğimizi düşünelim. x, küçük eşittir 0 ve küçük eşittir 3 olsun. Diyelim ki, yine y'de küçük eşittir 0 ve küçük eşittir 4 olsun z'de küçük eşittir 0 ve küçük eşittir 2 olsun. Basit bir geometri bilgisiyle, hacmi, en çarpı boy çarpı yükseklik olarak bulabiliriz. Ama, bu örneği, yapmamın sebebi şu; üç katlı bir integralin neye benzediğini görelim ve iki boyutlu bir integralle nasıl ilişkilendiririz onu anlayalım. Bir sonraki videoda daha zor bir örnek yaparız. Şimdi, bu prizmayı çizelim. Bu x ekseni, bu z ekseni, bu da y ekseni. x, y, z.Tamam. x, 0'la 3 arasında. Burası, x eşittir 0.Bu da, x eşittir 1, 2, 3. y, 0'la 4 arasında. 1, 2, 3, 4. xy düzlemi buna benziyor. Prizmamızın tabanı da şöyle olacak. Ve, z de 0 ile 2 arasında ve xy düzleminde, 1, 2. Burası da üst tarafı.Bunu farklı bir renkte çizeyim. Bu da xz düzlemi üzerinde. Burada bir sınır var, ve sonra şöyle geliyor. Burada da bir sınır var, ve şöyle geliyor.Bir sınır da burada. Bu prizmanın hacmini bulmak istiyoruz.Ve şöyle bulabiliriz. Eni 3, boyu 4 diyebiliriz. Yani, taban alanı, 12, çarpı yükseklik.12 çarpı 2 eşittir 24. Yani, hacmi 24 birim küp diyebiliriz. Şimdi, üç katlı integral olarak çözelim. Üç katlı bir integral ne demek ? Anlamı nedir, üç katlı bir integral ? Gofret değil bu değil mi? Çok küçük bir hacim aldığımızı düşünebiliriz.Diyelim ki, çok küçük bir kübün hacmini aldık. Bulacağımız hacmin içinde bir yerde, küçük bir küp. Değişkenli, yüzey, eğri sınırlarımız olduğu zaman, bunun, çok daha anlamlı ve faydalı olduğunu göreceksiniz.Ama, diyelim ki, şu küçük kübün hacmini bulmak istiyoruz.Şuradaki küp. Prizmamın içinde bir yerde duruyor.Bu kübün hacmi nedir? Enine dy diyelim.Yani, şuradaki uzunluk, dy.Boyu dx. Burası dx. Bu da dz. Bu dy. Şimdi, bu büyük hacmin içindeki küçük hacme, dv diyebiliriz. dv, yani hacim diferansiyeli. Bu da eşittir, en çarpı boy çarpı yükseklik.Yani, dx çarpı dy çarpı dz. Sıralarını değiştirebiliyoruz, öyle değil mi? Çarpmanın birleşme özelliği, işlem sırası önemli değil, der değil mi ? Neyse, şimdi ne yapacağız? İntegrali alabiliriz.İntegral, dx dy, dz gibi sonsuz küçüklükteki uzunlukların, sonsuz toplamlarını almamıza yarıyor. Şimdi, önce, bu kübü alıp, z yönünde toplamlarını bulabilirim. Bu kübün z ekseni boyunca toplamlarını alırsak, bir sütunun hacmini bulmuş oluruz.Peki, bu neye benzer? Yukarı veya aşağıyönde gittiğimiz için, toplamı z yönünde almış oluyoruz.Bu da demektir ki, bir integralimiz var. En küçük z değeri nedir? z eşittir 0. Üst sınırı nedir? Bu küpleri toplayarak yukarı çıkarken, üst sınıra rastlarız. Üst sınır nedir? z eşittir 2. Ve, tabii ki, bu dv'lerin toplamlarını alırız. Önce dz yazayım. Bu, bize, ilk olarak z yönünde integral alacağımızı hatırlatsın. Sonra, y yönünde integral alalım. Ve sonra da, x yönünde. . Buna göre, bu integral, herhangi bir x ve y değerindeki sütunun hacmini verecek bize. x ve y cinsinden bir fonksiyon olacak, ama, bu örnekte sadece sabitlerle çalıştığımız için, bu örnekte sonuç, sabit bir değer çıkacak. Sonucumuz sabit bir sonuç olacak. Bu sütunların birinin sabit hacmi olacak. Yani, 2 çarpı dy dx. Çünkü sütunların yüksekliği 2, eni dy ve boyu dx. Şu ana kadar, bir sütunun yüksekliğini bulduk. Tüm hacmi bulmak için ise, şu sütunları y yönünde toplayabiliriz. Eğer, y yönünde toplama yapıyorsak, toplamın y yönünde integralini alabiliriz. y kaçtan kaça gidiyor? 0'dan 4'e. y eşittir 0. y eşittir 4. Bu da bize, zy düzlemine paralel bir kağıt yaprağının hacmini verir. Şimdi, yapmamız gereken, x yönünde bu yaprakları toplamaktır. Ve böylece, prizmamızın hacmini bulucağız. Bu yaprakları toplamak için, x yönünde toplam almamız gerekiyor. O zaman, x eşittir 0'dan, x eşittir 3'e gidiyoruz.Bunu hesaplamak, kolay sayılır. Dolayısıyla, ilk olarak z'ye göre integral alıyoruz. Buraya hiçbir şey yazmadık, ama burada 1 olduğunu varsayabiliriz, öyle değil mi? dz çarpı dy çarpı dx eşittir 1 çarpı dz çarpı dy çarpı dx. Bu integralin değeri nedir? 1'in z'ye göre terstürevi, z'dir, değil mi? Çünkü, z'nin türevi 1. Ve bunu, 2'den 0'a hesaplıyoruz. 2 eksi 0 eşittir 2. Şimdi, bunun y'ye göre 0'dan 4'e integralini alıyoruz. Ve sonra da x var. x eşittir 0'dan x eşittir 3'e. Dikkat ederseniz, z'ye göre integral aldığımızda, sonuç çift katlı bir integral çıktı. Ve önceki çift katlı integral videolarında olduğu gibi, bu integralde de, z için, x ve y cinsinden bir fonksiyon diyebilirdik. Burada, z eşittir 2. Sabit fonksiyon. x ve y'den bağımsız. Eğer z'yi böyle tanımlasaydık, ve z eşittir 2 yüzeyinin altındaki hacmi bulmak isteseydik, bu çift katlı integrali elde ederdik. Yani, üç katlı integral, çift katlı integralden çok da farklı değil. O zaman neden bununla uğraşıyoruz, diye sorabilirsiniz. Birazdan size göstereceğim. Her neyse, bunun değerini bulmak için, y'ye göre terstürevini alırız. 2y çıkar. Ve, 2y'nin 4 ve 0 için değerierini buluruz. Sonra da, 2 çarpı 4, 8, eksi 0, elde ederiz.8 eksi 0. Sonra da, x'e göre 0'dan 3'e integralini alırız.Yani, 8x, 0'dan 3'e. Bu da, 24 birim kübe eşit değil mi. ? Şimdi, bunun ne işe yaradığını merak ettiğinizi biliyorum. Hacmin içinde sabit bir değer olduğu için, çift katlı integral kullanabilirdiniz, haklısınız. Ama, amacımız bu cismin hacmini değil, kütlesini bulmak deseydim. Ve, bu kütlenin dağılımının düzensiz olduğunu söyleseydim. Eğer dağılım düzenli olsaydı, hacimle özgül ağırlığın çarpımı kütleyi verirdi. Diyelim ki, özgül ağırlık değişim gösteriyor. Bir gaz veya içinde farklı bileşikler içeren bir material. Diyelim ki, özgül ağırlığı, x, y ve z cinsinden bir fonksiyon. Özgül ağırlık, yani fizikte kullandığımız ro, x,y ve z cinsinden bir fonksiyon.Şöyle yapalım, x çarpı y çarpı z. Eğer küçük bir parçanın kütlesini bulmak istesem, hacimle özgül ağırlığı çarpardım, öyle değil mi? Çünkü, özgül ağırlık birimi, kilogram bölü metreküp cinsindendir. Yani, bunu metreküple çarparsak, kilogram elde ederiz. O zaman, kütlenin diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlığın, ki bu, x çarpı y çarpı z, küçük kübün hacmiyle çarpımına eşittir. Küçük kübün hacmini d v olarak düşünmüştük. Ve biliyoruz ki, d v eşittir en çarpı boy çarpı yükseklik. d v her zaman dx çarpı dy çarpı dz olmak zorunda değil. Başka koordinat sistemleri kullanıyorsak, mesela, kutupsal koordinat sistemi, biraz farklı bir fonksiyon olabilir.O örneği de ileride yapacağız bu arada. Ama, kütleyi buluyorsak ve kartezyen koordinatlar kullanıyorsak, kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir. Yani, çarpı dx dy dz. Tabii ki, burada işlem sırasını değiştirebiliriz. Bir sonraki videoda kütleyi bulmak için, bu fonksiyonun integralini alacağız.1 yerine bu fonksiyonun z, y ve x'e göre integralini alacağız.Ama bunu bir sonraki videoda yapacağız. Ve göreceksiniz ki, bütün süreç ters türev almaktan ve dikkatsizlik hatası yapmamaktan ibaret o kadar. Bir sonraki videoda görüşürüz.