If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Üç Katlı İntegraller 2

Yoğunluğu değişken olan bir hacmin kütlesini bulmak için üç katlı integral kullanımı. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

Bir önceki videoda, şöyle bir dikdörtgenler prizmamız vardı ve hacmini bulmak için üç katlı integral kullandık. Eminim ki, şöyle düşünüyorsunuz: Temel geometri bilgimi kullanarak yükseklik çarpı en çarpı boy olarak hacmi bulabilirdim. Evet, çünkü fonksiyonumuz, sabit bir fonksiyondu. Ve, z'ye göre integral aldığımızda, çift katlı bir integral elde ettik. Zaten, önceki videolarda da yüzey altındaki hacmi hesaplarken, aynı duruma rastlamıştık. Ama, videonun sonuna bir sürpriz eklemiştik. Peki, bu dikdörtgen tanım kümesi üzerinde hacmi bulmak kolay. Ama, ya amacımız, hacmi değil kütleyi bulmak olsaydı? Ve, elimizdeki materyal, bir gaz veya özgül ağırlığı değişen bir madde olsaydı? Bu durumda, kütleyi bulmak baya ilginçleşir, değil mi? Böylece, bir özgül ağırlık fonksiyonu tanımladık. Bize her noktadaki özgül ağırlığı veren bu fonksiyona, ro, dedik. Bir önceki videonun sonunda, kütle nedir, diye sorduk. Kütle özgül ağırlıkla hacmin çarpımıdır. Veya, şöyle düşünebilirsiniz. Özgül ağırlık kütlenin hacme bölümüdür. Buna göre, bir noktadaki kütle diferansiyeli o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir, dedik. Önceki videoda gördüğümüz gibi, Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsak bu hacim diferansiyeli, dx çarpı dy çarpı dz'ye eşit. Özgül ağırlık eşittir x çarpı y çarpı z. Ve, bu cismin kütlesini bulmak istiyoruz. x, y, z koordinatlarımızın birimi metre olsun ve özgül ağırlığımızın birimi de kilogram bölü metreküp olsun. Buna göre, cevabımız kilogram cinsinden olacak. Şimdi, bu cismin kütlesini bulalım Elimizde zaten bu integral var. Bu değer, kütle diferansiyeli. Onu yazalım. xyz çarpı önce z'ye göre integral alacağım. Aslında, sırayı değiştirebilirsiniz. Belki bir sonraki videoda öyle yaparız, neyse. Önce z'ye göre integral alalım. Sonra, y'ye göre. En son da x'e göre. Tekrar edersek, bu, herhangi bir hacim diferansiyelindeki kütle. Şimdi, z'ye göre integral alırsak, z kaçtan kaça gidiyor? z'nin limitleri 0 ve 2 idi. y'nin limitleri 0 ve 4 idi. x de, 0'dan 3'e gidiyordu. Şimdi, bunun değerini nasıl bulacağız? z'ye göre integral alırken, terstürev nedir? xyz'nin z'ye göre terstürevi nedir? Bakalım. Bu yalnızca bir sabit, dolayısıyla x y z kare bölü 2. Tamam. Bunu 0'dan 2'ye hesaplayacağız. 2 kare, yani 4, bölü 2, bu da 2 eder. 2 x y eksi 0. Bunun değerini bulduğumuzda 2 x y elde ettik. Ve iki integralimiz kalıyor. Diğer iki integrali daha yazmamıştım. Şİmdi yazalım. İki integralim daha kalmıştı. dy ve dx. y, 0'dan 4'e gidiyor ve x'de 0'dan 3'e gidiyor. Şimdi bunun y'ye göre terstürevini alalım. Şurayı biraz silelim. Şimdi, y'ye göre terstürev alıyoruz. İşlemi şurada yapalım. 2 x y'nin y'ye göre terstürevi y kare bölü 2 2'ler sadeleşir. x y kare. y, 0'dan 4'e gidiyor. Şimdi, en dıştaki integrali yapmamız lazım. x, 0'dan 3'e gidiyor. y eşittir 4. Bize 16 x verir. y 0 olduğunda, burası 0 olur. Dolayısıyla 16 x'in 0'dan 3'e integralini alacağız. Bunun terstürevi nedir? 8 x karedir. 0'dan 3'e değerini bulalım. 3'e eşit olduğunda, 9 kere 8, 72. 0 kere 8 de 0. Cismimizin hacmini, geçen videoda, 24 metreküp bulmuştuk. Kütlesi de 72 kilogram. Kütleyi, bu üç değişkenli fonksiyonun integralini alarak bulduk. Üç boyutta, bunu bir skaler alan olarak da düşünebiliriz, öyle değil mi? Herhangi bir noktada, bir sayı elde ediyoruz ama yön bulmuyoruz. Elde ettiğimiz değer özgül ağırlık. Bu skaler alanın integralini almış olduk. Üç katlı integralle bu yeni beceriyi edinmiş olduk. Bir sonraki videoda, size daha karışık üç katlı integraller kurmayı öğreteceğim. Eğer şekliniz çok kolay değilse sınırınız veya fonksiyonununuz karmaşık ise integraliniz bir anda çok zorlaşabilir. Ve bu integrali, analiz becerinizi kullanarak çözmek, ya çok zor olur ya da çok uzun sürer. Bu sebeple analiz sınavlarında, yalnızca üç katlı integrali kurmanız istenir. Yeterince integral aldığınız için, terstürevde de problem yaşamayacağınız varsayılabilir. Ve eğer daha zor bir soru sormak istenirse, işlem sırasını değiştirmeniz söylenebilir. Mesela, z'ye, ve sonra y'ye, ve son olarak da x'e göre integral verilir sıra değişince bu integralin neye dönüştüğünü yazın denilebilir. Evet, bunu bir sonraki videoda yapacağız. Görüşmek üzere.