Üç Katlı İntegraller 3

Şimdi yeni bir üç katlı integral kuralım, ama bu sefer, integralin değerini bulmayacağız.Bu defa, integrali tanımlayacağız. İkinci videoda, özgül ağırlık fonksiyonunu kullanarak, kütle bulmuştuk. Buna benzer bir örnek yapacağız. Bu videoda size, şeklimiz biraz daha karmaşık olduğunda, sınırları nasıl tanımlayacağımızı göstermek istiyorum. Eğer zamanımız kalırsa, işlem sırasını değiştirmeye de çalışırız. Diyelim ki, yüzeyimizin denklemi, 2x artı 3z artı y eşittir 6. Bu yüzeyi çizelim. Şöyle bir şey. Bu, x ekseni. Bu, z ekseni. Bu da, y ekseni. Eksenleri çiziyoruz x, y ve z. Yüzeyin, birinci bölgedeki kısmıyla ilgileniyorum. Üç boyutta, uzayı sekiz kısma bölüyoruz. Biz, x, y ve z'nin pozitif olduğu bölgeyle ilgileniyoruz. Şimdi, x ekseni kesim noktası nedir? y ve z'nin 0 olduğu yerdir. Burası, x ekseni kesim noktası. 2x eşittir 6, yani x eşittir 3. 1, 2, 3. x ekseni kesim noktası burasıymış. y ekseni kesim noktası için, y ekseni üzerinde, x ve z'nin 0 olduğu noktayı buluyorum. Buna göre, y eşittir 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6. y ekseni kesim noktası.Ve, son olarak, z ekseni kesim noktası için, x ve y'nin 0 olması gerekiyor. Bu sefer z ekseni üzerindeyiz. 3z eşittir 6. Yani z eşittir 2. 1, 2. İstediğimiz yüzey, şu eğik yüzey. Birinci bölgede. Bu fonksiyonun tanımladığı yüzey, böyle. Diyelim ki, hacmini bulmak istiyoruz.Biraz da soruyu karmaşıklaştıralım. Örneğin, yüzeyle, x y düzlemi arasındaki hacmi bulalım. Biraz daha karmaşık hale getirelim. Yüzeyle, z eşittir 2 düzlemi arasındaki hacmi bulalım. Buna göre, hacmini aldığımız bölge, buna benzeyecek. Bakalım, bunu çizmeyi becerebilecek miyim. Bakalım yukarı doğru 2 gidersek, üst kısmı yeşille çizeyim. Bu, zy düzlemi üzerinde.Diğer ayrıt da şöyle olacak.Çizmek, olayın en zor kısmı zaten. Yukarı 2 çıkarsak, bu, zx düzlemi üzerinde. Şu ikisini bir başka doğruyla birleştireyim. Bu yeşil üçgen, z eşittir 2 düzleminin bir alt kümesi. Bulmak istediğimiz hacim, şu üstteki yeşil düzlem ile, 2x artı 3z artı y eşittir 6 diye tanımlanan eğik düzlem arasındaki bölüm. Biraz daha netleştirmeye çalışayım. Çünkü, bunu görsellemek, sorunun en zor kısmı. Şurada bir ön duvar, şurada da bir arka duvar varmış gibi düşünüyorum. Bir de şurada duvar var. Ve tabanı, pembeyle çizersem, bu düzlem olacak.Alt kısmı, bu düzlem. Şimdi hacmi bulmaya çalışıyoruz. Üç katlı bir integral kullanacağımız için, hacim yerine, yine değişen özgül ağırlıklı bir kütle hesabı yapalım. Diyelim ki, özgül ağırlık fonksiyonu, x, y ve z cinsinden bir fonksiyon. Herhangi bir fonksiyon olabilir. x kare y z diyelim. Amacımız, integrali kurmak. Şimdi, küçük bir küp kurmak istiyorum. Kübü kahverengi çizeyim. Bu kübün hacmini dv, yani hacim diferansiyeli, olarak düşünelim. Şurayı yeşille çizeyim. dv eşittir dy çarpı dx çarpı dz.Bu, küçük kübün hacmi. Kübün kütlesini bulmak istersek, o noktadaki özgül ağırlık fonksiyonuyla dv'yi çarparız. Buna göre, kütle diferansiyeli, eşittir, bu çarpı bu.Yani, x kare y z çarpı dy, dx ve dz. Normalde, hangi sırayla integral alacağımıza göre, bunların sırasını değiştiririz. Şimdi bu integrali . kurmaya çalışalım.Önceki birkaç integralde, önce z'ye göre integral aldık. Şimdi de öyle yapalım. Önce z'ye göre integral alacağız. Bu demektir ki, bu kübün z ekseni yönünde toplamlarını alıyoruz. Önce yukarı ve aşağı, öyle değil mi? Eğer böyle olursa, alt sınır nedir? Yukarı ve aşağı toplam aldığımızda, bu küpler sütunlara dönüşür. O zaman, sütunun alt sınırı nedir? Yüzeyimiz neydi? Şurada tanımlamıştık. Bu alt sınırı z cinsinden tanımlamak istiyorsak, z'yi yalnız bırakalım. Çıkaralım. Ne elde ediyoruz? 3z eşittir 6 eksi 2x eksi y. Yani, z eşittir 2 eksi 2 bölü 3 x eksi y bölü 3. Bu ikisi aynı. Cebirsel olarak z'yi böyle tek başına bırakıyoruz. Şimdi, alt sınırı hayalimizde canlandırabiliyoruz, öyle değil mi? Bu sütunları yukarı ve aşağı yönde toplayacağız. Bunu gözünüzde canlandırın. Alt sınır, bu yüzey olacak. z eşittir 2 eksi 2 bölü 3 x eksi y bölü 3. Peki, üst sınır nedir? Sütunun üstü, şu yeşil düzlem demiştik, düzlemin denklemi nedir? z eşittir 2. Şuradaki düzlem, z eşittir 2. O zaman, bu sütunun değeri nedir? x kare y z çarpı hacim diferansiyelinin önce z'ye göre integralini alalım. Şuraya dz yazalım. İkinci olarak da, x'e göre integral alıcağız. Önceki videolarda, ikinci sırada y'ye göre integral almıştım. Şimdi x'e göre integral alalım ki, işlem sırasının fark yaratmadığını size ispatlamış olayım. Yani, x'e göre integral alıyoruz. Bu sütunları görmüştük. z'ye göre integral aldığımızda, üst sınırı bu düzlem olan sütunların herbirinin değerini buluruz. Bunları düzgün bir şekilde çizmeye çalışayım. Bu düzlem, üst sınırımız. Bu yüzey de alt sınırımız. Şimdi, x'e göre integral alıyorum. Bütün dx'leri topluyorum. x'lerin alt sınırı nedir? Yüzey, x eşittir 0'a kadar tanımlanmış. Kafanız karışabilir, üç boyutu gözünüzde canlandırırken kafanızın karışması doğaldır. Şöyle düşünün, z'ye göre integral aldım. Yalnızca, iki değişkenim, x ve y, kaldı. Yüzeyimin xy düzlemine izdüşümünü çizeyim şimdi. Bunu çizmek, işleri basitleştirecek. Şimdi, y'yi şöyle çevirsek, ve x'i böyle çevirsek, cebirde öğrendiğimiz gibi bir şeyler elde ederiz. xy düzlemi. Bu x, bu da y. O zaman bu nokta nedir? Veya, şu nokta nedir? Burada x eşittir 3. 1, 2, 3. Bu, x eşittir 3. Şu nokta ise, y eşittir 6 değil mi. ? 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dolayısıyla, xy düzleminde şöyle bir şey çizebilirim. Yani, şöyle düşünebiliriz: Eğer xy düzlemine üstten bakıyorsanız, sütunlar ekrandan size doğru, z yönünde, fırlar, öne çıkar. Ama, her sütunun tabanı dx ve dy yönünde de uzanmaktadır, öyle değil mi? x yönünde integral almaya karar verdiğimize göre, bu sütunları x yönünde, yani yatay yönde, toplayacağız. Şimdi sorumuz: Alt sınır nedir? x yönündeki alt sınır nedir? x eşittir 0'dır. Burada bir doğru olsaydı, bu doğrunun y'ye göre denklemini bulurduk. Dolayısıyla, alt sınırımız, x eşittir 0. Üst sınırımız nedir? Sınırlarımızı biraz zorladığımın farkındayım.Üst sınırımız bu bağıntı, ve x cinsinden yazılmış olmak sorunda, öyle değil mi? Peki bu bağıntı nedir? Yani, şöyle de düşünebiliriz: z eşittir 0 ise, bu doğrunun denklemi nedir? Bu doğrunun denklemi nedir? z eşittir 0. O zaman, 2x artı y eşittir 6. x'i tek başına bırakmak istiyoruz. 2x eşittir 6 eksi y; x eşittir 3 eksi y bölü 2. En son olarak da, y'ye göre integral alıyoruz. Bu, işin kolay kısmı. Sütun elde etmek için z yönünde integral aldık. Bunlar sütunların tabanları, onun için x yönünde integral aldık. Ve, şimdi de y yönünde integral almam lazım. y'nin alt sınırı nedir? 0 y eşittir 0. y'nin üst sınırı da 6. İşte. İntegrali kurduk ve sayısal işlemlerini yaparsak cevabı buluruz. Ama, bu arada yine sürem de bitti ve burada bırakıyorum. Bir sonraki videoda görüşürüz.