If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Silindirik koordinatlarda üç katlı integraller

Fonksiyonunuz ve sınırlarınız silindirik koordinatlarda ifade edilmişse üç katlı integrali nasıl alacağınız.

Neye ulaşıyoruz

  • Küresel koordinatlarda üç katlı integraller için hatırlamamız gereken esas şey, minik bir hacim parçasını temsil eden start color #bc2612, d, V, end color #bc2612'nin açılımıdır
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
    (r'yi eklemeyi unutmayın)
  • Silindirik koordinatlar kullanımı, integral aldığınız bölgenin z-eksenine göre döndürme simetrisi olduğunda üç katlı bir integrali büyük ölçüde sadeleştirir.

Bir kural

Çift katlı integralleri kutupsal koordinatlarda, uygularken, hatırlamamız gereken önemli nokta, minik start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 birim alanını, d, r ile d, theta cinsinden ifade etmektir
Rf(r,θ)dA=Rf(r,θ)rdθdr\begin{aligned} \iint_R f(r, \theta)\,\redE{dA} = \iint_R f(r, \theta)\,\redE{r\,d\theta\,dr} \end{aligned}
Dikkat ederseniz, r değişkeni bu açılımın bir parçasıdır. Hacmi d, V olan minik birimi, silindirik koordinatlarla açmak, temelde aynı şeydir, ama artık bir d, z terimi de vardır:
Rf(r,θ,z)dV=Rf(r,θ,z)rdθdrdz\begin{aligned} \iiint_R f(r, \theta, z)\,\redE{dV} = \iiint_R f(r, \theta, z)\,\redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Unutmayın, bu küçük r'win kutupsal koordinatlarda ortaya çıkmasının nedeni, radyal ve yuvarlak çizgilerin kestiği minik "dikdörtgenin" kenar uzunluklarının r, d, theta ve d, r olmasıdır.
Burada hatırlanması green önemli şey, theta'nın bir uzunluk brim olmadığıdır, yani d, theta d, r ve d, z gibi minik bir uzunluk temsil etmez. Radyan ölçüsündedir, bu da başlangıç noktasından r uzaklığıyla çarpılarak bir uzunluğa dönüşür.

Örnek 1: Bir kürenin hacmi

Problem: Yarıçapı 1 olan bir kürenin hacmini silindirik koordinatlı üç katlı integral kullanarak bulun.
Öncelikle, hayatlarımızı kolaylaştırmak için, kürenin merkezini başlangıç noktasına koyalım.
Sonra, küreye bir isim vereceğim, S, ve bunun hacmini bulmak için soyut bir üç katlı integral yazacağım.
SdV=Srdθdrdz\begin{aligned} \iiint_S \redE{dV} = \iiint_S \redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Her zaman olduğu gibi, zor kısım integralin sınırlarını koymaktır. Ancak bunu silindirik koordinatlarla yapmak kartezyen koordinatlardan çok daha kolay olur. Özellikle, r ve theta birim diskte dururlar, bunu da kutupsal koordinatlarla tanımlamak çok doğaldır:
Kavram kontrolü: Aşağıdaki r ve theta sınır kümelerinden hangisini birim diskte integral almak için kullanmalıyız?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

z'win sınırları r değerine bağlı olduğundan, içteki integralin z'yi halletmesini, ve dıştaki iki integralin r ve theta ile ilgilenmesini sağlarız. Elimizdekileri yazdığımızda, şunu elde ederiz
02π01??rdzdrdθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{?}^{?} r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
Unutmayın, d, z, d, r ve d, theta diferansiyel terimlerinin sırasının doğru integralle eşleşmesinden emin olmak önemlidir.
Bir sonraki bu soru biraz daha yanıltıcıdır.
Kavram kontrolü: Verilen bir r değeri için, aşağıdakilerden hangisi z için doğru değerler açıklığını gösterir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Bu sınırı en içteki integrale uyguladığımızda, üzerinde çalışacağımız bir şey elde edebiliriz.
Kavram kontrolü: Bu üç katlı integrali çözün.
02π011r21r2rdzdrdθ=\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Böylece, bir birim kürenin hacmini buldunuz!
Ayrıca, bu araç sadece kürenin hacmini bulmaktan fazlasını yapacak güçtedir. Örneğin, kürenin içinde üç değişkenli bir fonksiyonun, f, left parenthesis, r, comma, theta, comma, z, right parenthesis, integralini alabilirsiniz,
02π011r21r2f(r,θ,z)rdzdrdθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} f(r, \theta, z) r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
Sınırları bulmanın zor tarafı değişmez, ama integrallerin hesaplanması (siz veya bilgisayar tarafından yapılan) değişecektir.

Örnek 2: Bir turta diliminin integralini alma

Bu örnekte, eğimli bir turta dilimi gibi görünen bir bölgede integral alacağız:
Khan Akademi video wrapper
Bir problemde, bu bölge size aşağıdaki özellik listesi ile tanımlanabilir:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • z, is greater than or equal to, 0
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Bu sefer, bu bölgenin sadece hacmini bulmuyoruz. Bunun yerine, görevimiz aşağıdaki üç değişkenli fonksiyonun integralini almaktır:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, z, minus, x, squared, minus, y, squared
Bu, silindirik koordinatlarla integral almayla ilgili bir makalede yersiz gibi görülebilir, çünkü burada her şey kartezyen koordinatlarda verilmiştir. Gerçekten de, isterseniz kartezyen koordinatları kullanarak üç katlı integral kurabilirsiniz. Ancak, ilk olarak silindirik koordinatlara dönüştürerek hayatımızın önemli ölçüde kolaylaşabileceğini düşündüren anahtar bir gerçek bulunur:
  • x, squared, plus, y, squared f fonksiyonunun yanısıra, sınırların tanımında da ortaya çıkar. Bu z-ekseni etrafında döndürme simetrisine işaret eder ki, silindirik koordinatlar burada işe yarar.
Örneğin, x ve y değerlerimiz için açıklığa bakın:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
Bunu d, x ve d, y'de bir çift integralle tanımlamak çok zordur. Ancak, kutupsal koordinatlarda çok basitleşir:
  • 0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction
  • 0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, 2
Bu, d, theta ve d, r'yi ilgilendiren integrallerin sınırlarının sabitler olacağı anlamını taşır. Bundan daha iyisini yapamazdınız!
Diğer kriterle hakkında ne söylenebilir, örneğin:
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Kutupsal koordinatlara çevirmek
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, y, divided by, x, end fraction özelliğini içerdiğinden,
z'nin sınırları şöyle çevirilebilir
  • 0, is less than or equal to, z, is less than or equal to, tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
Bunları bir araya koyduğumuzda, üç katlı integralimiz böyle gözükür:
0π/4020tan(θ)fdV\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\tan(\theta)} f\,\redE{dV} \end{aligned}
Sınırların ne kadar basit olduğuna dikkat edin. Biraz ağrı isterseniz, kartezyen koordinatlarında uygun üç katlı integral sınırlarını bulmaya çalışarak, ne kadar daha çirkin olduğunu görebilirsiniz.
Şimdi, f fonksiyonunu kutupsal koordinatları kullanarak yazıyoruz.
f(x,y,z)=zx2y2f(r,θ,z)=zr2\begin{aligned} f(x, y, z) &= z - x^2 - y^2 \\ &\Downarrow \\ f(r, \theta, z) &= z - r^2 \end{aligned}
Ve tabii ki, bu makalenin ana fikri olan, start color #bc2612, d, V, end color #bc2612'yi kutupsal koordinatlarda yazmayı kullanıyoruz:
start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
Bunların tümünü bir araya koyarsak, üçlü integralimizin çözülebilir nihai halini elde ederiz.
Daha fazla alıştırma yapın: Bu integrali çözün
0π/4020tan(θ)(zr2)rdzdrdθ=\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\tan(\theta)} (z - r^2)r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Özet

  • Küresel koordinatlarda üç katlı integraller için hatırlamamız gereken esas şey, minik bir hacim parçasını temsil eden start color #bc2612, d, V, end color #bc2612'nin açılımıdır
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, start color #bc2612, r, d, theta, d, r, d, z, end color #bc2612
    (r'yi eklemeyi unutmayın)
  • Silindirik koordinatlar kullanımı, integral aldığınız bölgenin z-eksenine göre döndürme simetrisi olduğunda üç katlı bir integrali büyük ölçüde sadeleştirir.