Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Eğrilik

Google Classroom

Bir eğrinin ne kadar eğrildiğini nasıl ölçersiniz?

Arka plan

Vektör değerli fonksiyonların türevleri

Neye ulaşıyoruz

Eğri üzerinde bir noktadaki eğrilik yarıçapı, biçimsel olmayan şekilde ifade edersek, eğriye o noktada uyan çemberin yarıçapıdır.
$κ$ ‍ ile gösterilen eğrilik, bir bölü eğriliğin yarıçapıdır.
Formüllerde, eğrilik bir birim teğet vektör fonksiyonun yay uzunluğuna göre türevinin büyüklüğü olarak tanımlanır:
$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍
Endişelenmeyin, bu değeri hesaplamanın her adımından bahsedeceğim.
Buradaki mantık, birim teğet vektörün size hangi yönde hareket ettiğinizi söylemesi ve bunun eğri boyunca $d s$ ‍ küçük adımlarına göre değiştiği oranın, ne kadar hızlı döndüğünüzün iyi bir göstergesi olmasıdır.

Bir eğri boyunca ilerlemek

x y

düzlemindeki bir eğriyi çizelim. Birazdan her şeyi formüllerle ele alacağız, ancak şimdi sadece bu çizim üstünde düşünelim:

Bu eğri boyunca araba kullandığınızı varsayın ve her noktada direksiyonu ne kadar çevireceğinizi düşünün. Bazı noktalarda, yol kavis yapmamaktadır ve pratikte düz olarak yol alırsınız. Başka noktalarda, direksiyonu biraz çevirmeniz gerekir.

Şimdi, arabayı kullanırken, direksiyonunuzun kilitlendiğini varsayın. Eğer bu çalışmayan direksiyonla yol almaya devam etmeniz gerekseydi, yoldan çıkacağınızı hatırlatmaya gerek dahi yoktur; arabanız aşağıda çizilmiş olan yeşil renkli çembere benzer bir yol izleyecekti:

Eğer donduğu anda direksiyon çok çevrilmiş durumda idiyse, bu çemberin yarıçapı göreceli olarak daha küçük olacaktı. Eğer dönüş yapmıyor idiyseniz, çemberin yarıçapı çok büyük olurdu. Aşağıdaki animasyon, eğrideki farklı noktalarda bu farklı çemberlerin (yeşille çizilmiştir) neye benzeyeceğini göstermektedir. Her çemberin yarıçapı kırmızıyla çizilmiştir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Her noktayla ilişkili çemberin yarıçapını, bu noktadaki eğrilik yarıçapı olarak adlandırırız. Bu, verilen bir noktada bir eğrinin ne kadar eğrildiğini ölçmenin iyi bir yoludur. Bu çemberleri düşünmenin bir diğer yolu, o noktada eğriyle başka herhangi bir çemberden daha iyi eşleşmesidir.

Önemli olan bir başka terim eğriliktir, bu birin eğrinin yarıçapına bölünmesidir. Genelde, garip görünümlü

κ

sembolüyle gösterilir:

κ = \frac{1}{R}

Kavram kontrolü: Bir eğri bir düz çizgi olmaya çok yakın olduğunda, eğrilik

[Açıklamayı göster]

Eğriliği hesaplama

x y

düzlemindeki bir eğriyi tanımlayan bir fonksiyona sahip olduğunuzu varsayın. Örneğin, önceki bölümde kullandığım eğri aşağıdaki vektör değerli fonksiyonla tanımlanmıştır:

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Bu, bunun aşağıdaki parametrik denklemlerle tanımlandığını söylemekle aynıdır:

$\begin{aligned} x (t) & = t - \sin (t) \\ y (t) & = 1 - \cos (t) \end{aligned}$ ‍

Eğriliği hesaplamak, bu iki temel adımı içerir:

Adım 1: Birim teğet vektörü bulun

Bir eğriye bir noktada ''birim teğet vektör''ün, uzunluğu

1

olan bir teğet vektör olması şaşırtıcı değildir.

\vec{s} (t)

ile tanımlanmış bir parametrik eğri bağlamında, ''bir birim teğet vektör bulmak'' neredeyse daima tüm birim teğet vektörleri bulmak anlamını taşır. Yani, aynı parametreyi alan ve eğriye

\vec{s} (t)

noktasında teğet olan bir birim vektör veren bir

T (t)

vektör değerli fonksiyonunu tanımlamak.

Adım 2: $\frac{d T}{d s}$ ‍'yi bulun

\vec{s} (t)

'ye göre eğri boyunca yol aldığınızda, her döndüğünüzde birim vektör yön değiştirir. Sert dönüşlerde oldukça fazla değişir, nispeten düz kısımlarda neredeyse hiç değişmez. Aslında,

κ

eğriliği birim teğet vektör fonksiyonunun türevi olarak tanımlanmıştır.

Bununla birlikte, bu

t

parametresine göre türev değildir; çünkü bu, eğri boyunca ne kadar hızlı hareket ettiğinize bağlı olabilir. Bu yay uzunluğundaki küçük değişikliklere göre türevdir ve genelde

s

harfiyle temsil edilir.

$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍

Genel olarak, bunu hesaplamanın yolu, önce

T

'nin

t

'ye göre türevini almak ve sonra bunu

| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |

ile bölmektir.

$| | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Birim teğet vektörü bulma

Yukarıdaki fonksiyona bakalım:

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Eğer vektör değerli fonksiyonların türevleri makalesini okuduysanız, bu fonksiyonun türevinin bir sürat vektörü olarak düşünülebileceğini bilirsiniz.

$\frac{d \vec{s}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t - \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (1 - \cos (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Örneğin, belirli bir anda, diyelim ki

t = π

'de hesapladığımız türevi hesaplarsak, aşağıdaki vektörü elde ederiz:

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 - \cos (π) \\ \sin (π) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}] \end{array}

Bu vektörü, kuyruğu parçacığın

t = π

anında bulunduğu

\vec{s} (π)

noktasında olacak şekilde konumlandırırsak, bu parçacığın o anki süratini temsil eder.

Bununla birlikte, bu fonksiyonu değiştirmeliyiz, çünkü birim teğet vektörler istiyoruz. Örneğin, bu belirli teğet vektörün uzunluğu

2

'dir ve

2 \neq 1^{[açıklama gerekli]}

'dir.

Kavram kontrolü:

{\vec{s}}^{'} (t)

için az önce gösterdiğim formüle göre,

\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

(sürenin bir fonksiyonu olarak) bu vektörün büyüklüğü nedir?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\sqrt{\cos (t)^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍
(B şıkkı)
$\sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍
(C şıkkı)
$\sqrt{1^{2} - \cos (t)^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍

[Cevap]

Kavram kontrolü:

\vec{v} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

ile aynı yönü gösteren birim vektör nedir? (Bu belirli vektör üzerinde çalıştığımız problemle ilgili değildir, bu sadece birim vektörlere ilişkin bir alıştırmadır).

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$[\begin{matrix} 2 / \sqrt{5} \\ 1 / \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍
(B şıkkı)
$[\begin{matrix} 2 \sqrt{5} \\ 1 \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍

[Cevap]

Önemli soru: Aşağıdakilerden hangisi

\vec{s}

ile parametrelendirilmiş (sürenin bir fonksiyonu olarak) bir eğrinin birim teğet vektörünü temsil eder?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
(B şıkkı)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{\vec{s} (t) + {\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍

[Cevap]

Birim teğet vektörden eğriliği elde etme

Şimdi sürenin bir fonksiyonu olarak birim teğet vektör için bir ifade elde ettik, bunu teğet kelimesini hatırlatacak şekilde büyük

T

harfiyle göstereceğim, (zamanı belirten küçük

t

harfiyle karıştırmayın):

\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}

κ

eğriliği, bu birim teğet vektörün

t

parametresine göre değil,

s

yay uzunluğuna göre türevinin büyüklüğüdür.

\begin{array}{r} κ = | | \frac{d T}{d s} | | \end{array}

Bununla birlikte, bunu hesaplamanın tipik yolu, önce

t

'ye göre

T

türevi almak, sonra

| | {\vec{s}}^{'} (t) | |

büyüklüğüyle bölmektir, bunu

\frac{d s}{d t}

olarak düşünebilirsiniz.

$κ = | | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Sezgi

Burada bir an için duralım ve bunu sezgisel olarak kavrayalım.

T (t)

'nin türevi bize birim teğet vektörün zaman geçtikçe nasıl değiştiğini söyler. Bu daima bir birim vektör olduğundan uzunluğu asla değişmez ve sadece yön değiştirir.

Belirli bir

t_{0}

anında,

\frac{d T}{d t} (t_{0})

vektörünü

T (t_{0})

vektörünün ucunda oturuyor gibi düşünebilirsiniz. Türev vektörün

T (t_{0})

vektörünü bir yönde veya diğer yöne çekmeye çalıştığını ve buna "Hey! Gel bu yönü göster." dediğini hayal edin.

T (t_{0})

'ın uzunluğu asla değişmediğinden, bu türev vektör daima

T (t_{0})

'a dik olmalıdır; diğer durumlarda bunu daha uzun veya daha kısa ''çekecektir''.

Bu türev vektör uzun olduğunda, yönünü değiştirmesi için birim teğet vektörü gerçekten çok çekmektedir. Bunun bir sonucu olarak, eğri daha ani şekilde yön değiştirecektir, yani eğrilik yarıçapı daha küçük olacaktır ve dolayısıyla eğriliği çok büyük olacaktır. Bunun aksine, eğer türev vektör çok kısaysa, teğet vektörü gönülsüzce çeker. Bu çok yumuşak bir dönüş sağlar, dolayısıyla eğrilik yarıçapı çok büyük ve eğrilik çok küçük olur.

Ancak, eğri boyunca hareket ettiğimiz hızdaki farkların eğrilik değerini etkilemesini istemiyoruz, çünkü bu, eğrinin geometrisiyle ilgili bir ifadedir, ve onun üzerinden geçen parçacığın zamana bağlı yörüngesiyle ilgisi yoktur. Bu nedenle, eğrilik

T

'nin

t

parametresi yerine

s

yay uzunluğuna göre türevinin alınmasını gerektirir.

Örnek: Bir sarmalın eğriliği

Yaptıklarımızla ilgili, iki boyutta özel bir şey yoktur. Örneğin, aşağıdaki üç boyutlu fonksiyon için eğriliği bulalım:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

Aşağıdaki animasyon, sarmal olarak bilinen bu eğrinin şeklini gösterir. Ayrıca, eğriyi her bir noktada en yakından "saran" çemberi (yeşille çizilmiş) göstererek, her bir çemberin yarıçapı da kırmızıyla çizilmiş olarak, her bir noktadaki eğrilik yarıçapını belirtir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Ah evet, bunu "vektör analizi hulahop dansı" olarak adlandırırım.

Farkına varabileceğiniz bir şey, bu çemberlerin boyutlarının değişmediğidir. Birçok üç boyutlu eğri için bu doğru değildir, bu da örneğimizi özel kılar.

Kavram kontrolü: Üstteki çemberlerin boyutunun değişmediğini görerek,

κ (t)

eğrilik fonksiyonumuzla ilgili neyin doğru olmasını beklersiniz?

Bu tür problemle alıştırma yapmak isterseniz, kalem kağıt çıkarmanın tam zamanı. Bunu birlikte yapacağız, ama cevabı göstermeden her adımı denemeniz için size bir şans vereceğim.

Adım 1: Türevi hesaplayın

Eğriliği bulmanın ilk adımı fonksiyonumuzun türevini almaktır,

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

Bu, birim teğet vektöre çevireceğimiz bir teğet vektör verir. Bu türevi hesaplayın.

[Cevap]

Adım 2: Türevi normalleştirin

Birim teğet vektör elde etmek için, bu türev vektörünü normalize etmemiz, yani büyüklüğüne bölmemiz gerekir. Bu türevin büyüklüğü nedir?

[Cevap]

Şükürler olsun ki, bu bir sabittir. Sabit olmadığında, durum gerçekten üzücü olur. Daha önceki iki cevabı kullanırsak, sürenin bir fonksiyonu olarak teğet birim vektörümüz

T (t)

nedir?

[Cevap]

Adım 3: Birim teğetin türevini alın

Eğriliği elde etmek için, bu fonksiyonun zamana göre türevini bulmamız, ve sonra da büyüklüğünü almamız gerekir. Bu durumda

T (t)

'nin türevi nedir?

[Cevap]

Adım 4: Bu değerin büyüklüğünü bulun

Bu vektörün büyüklüğü nedir?

[Cevap]

Adım 5: Bu değeri $| | {\vec{v}}^{'} (t) | |$ ‍ ile bölün

\frac{d T}{d t}

'den

\frac{d T}{d s}

'ye gitmek için, bunu orijinal parametrik fonksiyonun türevinin büyüklüğüyle bölmeliyiz.

[Cevap]

Dikkat ederseniz, bu bir sabittir, onun için eğrilik eğrinin tüm noktaları için aynıdır.

Özet

Eğri üzerinde bir noktadaki eğrilik yarıçapı, biçimsel olmayan şekilde ifade edersek, eğriye o noktada uyan çemberin yarıçapıdır.
$κ$ ‍ ile gösterilen eğrilik, bir bölü eğriliğin yarıçapıdır.
Bir eğriyi tanımlayan $\vec{s}$ ‍ parametrik fonksiyonu verildiğinde, eğriliği bulmak için:
- $\vec{s}$ ‍'nün türevini normalize ederek birim teğet vektörü bulun:
  $\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
- Eğrilik, $s$ ‍ yay uzunluğuna göre bu değerin türevinin büyüklüğü olarak tanımlanmıştır. Bunu aşağıdaki gibi hesaplayabilirsiniz:

$κ = | | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Buradaki mantık, birim teğet vektörün size hangi yönde hareket ettiğinizi söylemesi ve bunun eğri boyunca $d s$ ‍ küçük adımlarına göre değiştiği oranın, ne kadar hızlı döndüğünüzün iyi bir göstergesi olmasıdır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Bir eğri boyunca ilerlemek

Eğriliği hesaplama

Adım 1: Birim teğet vektörü bulun

Adım 2: dTds‍ 'yi bulun

Birim teğet vektörü bulma

Birim teğet vektörden eğriliği elde etme

Sezgi

Örnek: Bir sarmalın eğriliği

Adım 1: Türevi hesaplayın

Adım 2: Türevi normalleştirin

Adım 3: Birim teğetin türevini alın

Adım 4: Bu değerin büyüklüğünü bulun

Adım 5: Bu değeri ||v→′(t)||‍ ile bölün

Özet

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Adım 2: $\frac{d T}{d s}$ ‍'yi bulun

Adım 5: Bu değeri $| | {\vec{v}}^{'} (t) | |$ ‍ ile bölün