Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Vektör değerli fonksiyonların türevleri

Google Classroom

Vektör çıktılı bir fonksiyonun türevinin nasıl hesaplanacağı ve daha da önemlisi nasıl yorumlanacağı.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın:
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.

Bir vektör değerli fonksiyonun türevi

Haberler iyi! Vektör değerli bir fonksiyonun değeri yeni bir şey değildir. Onun için, bu makaleyi kısa tutacağım. Ana fikir vektör türevini yorumlamaktır.

Bir örnek ile dalın

Nispeten daha kolay bir vektör değerli fonksiyonla,

\vec{s} (t)

ile başlayalım, sadece iki bileşeni,

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

\vec{s}

'nin türevini almak için, sadece her bileşenin türevini alın:

$\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (t) & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (2 \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (2 \cos (t / 3)) t \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \cos (t / 3) - \frac{2}{3} \sin (t / 3) t \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Bu türevi

{\vec{s}}^{'} (t)

olarak da yazabilirsiniz. Bu türev yeni bir vektör değerli fonksiyondur, girdisi

\vec{s}

'nin

t

girdisiyle aynıdır, ve çıktısının boyut sayısı da aynıdır.

Genel olarak, eğer

\vec{s}

'nün bileşenlerini

x (t)

and

y (t)

olarak yazarsak, bunun türevini şöyle yazarız:

$\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Türev bir hız vektörü verir.

Üstteki örnekte, türevin anlamını nasıl görselleştirebiliriz? İlk olarak, görselleştirmek için

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

çıktının girdiden daha yüksek boyutlu olduğunu fark ediyoruz, onun için parametrik fonksiyon olarak görülmeye uygundur.

Eğrideki her bir nokta belirli bir

t_{0}

sayısı için, bir vektörün ucunu

[\begin{matrix} 2 \sin (t_{0}) \\ 2 \cos (t_{0} / 3) t_{0} \end{matrix}]

temsil eder. Örneğin,

t_{0} = 2

olduğunda, şu noktaya bir vektör çizeriz

\begin{array}{r} \vec{s} (2) = [\begin{array}{c} 2 \sin (2) \\ 2 \cos (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \approx [\begin{array}{c} 1,819 \\ 3,144 \end{array}] \end{array}

noktasına bir vektör çizeriz.

Bunu tüm olası

t

girdileri için yaptığımızda,

\vec{s} (t)

vektörlerinin uçları belirli bir eğri çizecektir:

Türeve herhangi bir

t

değeri, örneğin tekrar

2

koyduğumuzda ne elde ederiz?

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (2) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (2) \\ 2 \cos (2 / 3) - \frac{2}{3} \sin (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \\ \approx [\begin{array}{c} - 0, 832 \\ 0, 747 \end{array}] \end{aligned}

Bu da iki boyutlu bir vektördür.

Başlangıç noktasında olduğunda, bu türev vektörün neyi temsil ettiğini görmek zordur; ancak bunu kuyruğu

\vec{s} (2)

vektörünün ucunda olacak şekilde kaydırdığımızda, çok iyi bir yorum elde ederiz:

Eğer $\vec{s} (t)$ ‍, sürenin bir fonksiyonu olarak hareket eden bir parçacığın konumunu temsil ediyor ise; $\frac{d \vec{s}}{d t} (t_{0})$ ‍ bu parçacığın $t_{0}$ ‍ zamanındaki sürat vektörüdür.
Türev, eğriye teğet bir hız vektörüdür.

Özellikle, bunun anlamı, vektörün yönünün eğriye teğet olduğudur, ve büyüklüğü

t

sabit bir hızla artarken (zamanın yaptığı gibi) bu eğri üzerinde gidilen hızı gösterir.

Kavram Kontrolü: Bir parçacığın, zamana göre iki boyutlu konumunun şu fonksiyonla verildiğini varsayın

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{3} \end{array}] \end{array}

\frac{d \vec{s}}{d t}

nedir?

[Cevap]

Parçacığın

t = 3

zamanındaki hızı nedir?

[Cevap]

Özet

Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın.
Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.