Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Vektör değerli fonksiyonların türevleri

Google Classroom

Vektör çıktılı bir fonksiyonun türevinin nasıl hesaplanacağı ve daha da önemlisi nasıl yorumlanacağı.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın:
$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.

Bir vektör değerli fonksiyonun türevi

Haberler iyi! Vektör değerli bir fonksiyonun değeri yeni bir şey değildir. Onun için, bu makaleyi kısa tutacağım. Ana fikir vektör türevini yorumlamaktır.

Bir örnek ile dalın

Nispeten daha kolay bir vektör değerli fonksiyonla, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis ile başlayalım, sadece iki bileşeni,

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nin türevini almak için, sadece her bileşenin türevini alın:

$\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}(2 \sin(t)) \\ \frac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2 \cos(t/3) - \frac{2}{3}\sin(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

Bu türevi start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis olarak da yazabilirsiniz. Bu türev yeni bir vektör değerli fonksiyondur, girdisi start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nin t girdisiyle aynıdır, ve çıktısının boyut sayısı da aynıdır.

Genel olarak, eğer start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nün bileşenlerini x, left parenthesis, t, right parenthesis and y, left parenthesis, t, right parenthesis olarak yazarsak, bunun türevini şöyle yazarız:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

Türev bir hız vektörü verir.

Üstteki örnekte, türevin anlamını nasıl görselleştirebiliriz? İlk olarak, görselleştirmek için

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

çıktının girdiden daha yüksek boyutlu olduğunu fark ediyoruz, onun için parametrik fonksiyon olarak görülmeye uygundur.

Eğrideki her bir nokta belirli bir t, start subscript, 0, end subscript sayısı için, bir vektörün ucunu

\left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right]

temsil eder. Örneğin, t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2 olduğunda, şu noktaya bir vektör çizeriz

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(2) \\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1{,}819 \\ 3{,}144 \end{array} \right] \end{aligned}

noktasına bir vektör çizeriz.

Bunu tüm olası t girdileri için yaptığımızda, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vektörlerinin uçları belirli bir eğri çizecektir:

Türeve herhangi bir t değeri, örneğin tekrar 2 koyduğumuzda ne elde ederiz?

\begin{aligned} \quad \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\ 2 \cos(2/3) - \frac{2}{3}\sin(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0,832 \\ 0,747 \end{array} \right] \end{aligned}

Bu da iki boyutlu bir vektördür.

Başlangıç noktasında olduğunda, bu türev vektörün neyi temsil ettiğini görmek zordur; ancak bunu kuyruğu start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis vektörünün ucunda olacak şekilde kaydırdığımızda, çok iyi bir yorum elde ederiz:

Eğer start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, sürenin bir fonksiyonu olarak hareket eden bir parçacığın konumunu temsil ediyor ise; start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis bu parçacığın t, start subscript, 0, end subscript zamanındaki sürat vektörüdür.
Türev, eğriye teğet bir hız vektörüdür.

Özellikle, bunun anlamı, vektörün yönünün eğriye teğet olduğudur, ve büyüklüğü t sabit bir hızla artarken (zamanın yaptığı gibi) bu eğri üzerinde gidilen hızı gösterir.

Kavram Kontrolü: Bir parçacığın, zamana göre iki boyutlu konumunun şu fonksiyonla verildiğini varsayın

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}

start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction nedir?

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 3t^2 \\ 2t \end{array} \right] \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2t \\ 3t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$
(C şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} t \\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Cevap]

Parçacığın t, equals, 3 zamanındaki hızı nedir?

(A şıkkı)
square root of, 6, squared, plus, 27, squared, end square root, approximately equals, 27, comma, 659
(B şıkkı)
6, squared, plus, 27, squared, equals, 765

[Cevap]

Özet

Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın.
Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.