Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2
Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)Vektör değerli fonksiyonların türevleri
Vektör çıktılı bir fonksiyonun türevinin nasıl hesaplanacağı ve daha da önemlisi nasıl yorumlanacağı.
Arka plan
Neye ulaşıyoruz
- Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın:
- Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.
Bir vektör değerli fonksiyonun türevi
Haberler iyi! Vektör değerli bir fonksiyonun değeri yeni bir şey değildir. Onun için, bu makaleyi kısa tutacağım. Ana fikir vektör türevini yorumlamaktır.
Bir örnek ile dalın
Nispeten daha kolay bir vektör değerli fonksiyonla, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis ile başlayalım, sadece iki bileşeni,
start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nin türevini almak için, sadece her bileşenin türevini alın:
Bu türevi start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis olarak da yazabilirsiniz. Bu türev yeni bir vektör değerli fonksiyondur, girdisi start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nin t girdisiyle aynıdır, ve çıktısının boyut sayısı da aynıdır.
Genel olarak, eğer start bold text, s, end bold text, with, vector, on top'nün bileşenlerini x, left parenthesis, t, right parenthesis and y, left parenthesis, t, right parenthesis olarak yazarsak, bunun türevini şöyle yazarız:
Türev bir hız vektörü verir.
Üstteki örnekte, türevin anlamını nasıl görselleştirebiliriz? İlk olarak, görselleştirmek için
çıktının girdiden daha yüksek boyutlu olduğunu fark ediyoruz, onun için parametrik fonksiyon olarak görülmeye uygundur.
Eğrideki her bir nokta belirli bir t, start subscript, 0, end subscript sayısı için, bir vektörün ucunu temsil eder. Örneğin, t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2 olduğunda, şu noktaya bir vektör çizeriz
noktasına bir vektör çizeriz.
Bunu tüm olası t girdileri için yaptığımızda, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vektörlerinin uçları belirli bir eğri çizecektir:
Türeve herhangi bir t değeri, örneğin tekrar 2 koyduğumuzda ne elde ederiz?
Bu da iki boyutlu bir vektördür.
Başlangıç noktasında olduğunda, bu türev vektörün neyi temsil ettiğini görmek zordur; ancak bunu kuyruğu start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis vektörünün ucunda olacak şekilde kaydırdığımızda, çok iyi bir yorum elde ederiz:
- Eğer start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, sürenin bir fonksiyonu olarak hareket eden bir parçacığın konumunu temsil ediyor ise; start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis bu parçacığın t, start subscript, 0, end subscript zamanındaki sürat vektörüdür.
Özellikle, bunun anlamı, vektörün yönünün eğriye teğet olduğudur, ve büyüklüğü t sabit bir hızla artarken (zamanın yaptığı gibi) bu eğri üzerinde gidilen hızı gösterir.
Kavram Kontrolü: Bir parçacığın, zamana göre iki boyutlu konumunun şu fonksiyonla verildiğini varsayın
start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction nedir?
Parçacığın t, equals, 3 zamanındaki hızı nedir?
Özet
- Bir vektör değerli fonksiyonun türevini almak için, her bileşenin türevini alın.
- Başlangıçtaki fonksiyonu bir parçacığın zamana göre konum fonksiyonu olarak yorumlarsak, türev o parçacığın zamana göre hız vektörünü verir.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.