Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Çok değişkenli zincir kuralı, basit versiyon

Türevler için zincir kuralı daha yüksek boyutlara genişletilebilir. Burada, tek değişkenli fonksiyonun bileşkesi şeklinde görünen basit bir durum görülmektedir.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Çok değişkenli bir $f (x, y)$ ‍ fonksiyonu ve iki tek değişkenli $x (t)$ ‍ ve $y (t)$ ‍ fonksiyonu verildiğinde, çok değişkenli zincir kuralı bunu söyler:

\underset{Bileşke fonksiyonun türevi}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Vektör gösterimiyle yazıldığında, burada $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, bu zincir kuralı, $f$ ‍'nin gradyanı ile $\vec{v} (t)$ ‍'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

\underset{Bileşke fonksiyonun türevi}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Vektörlerin iç çarpımı}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

Daha genel bir zincir kuralı

Muhtemelen tahmin edebileceğiniz gibi, çok değişkenli zincir kuralı tek değişkenli analizdeki zincir kuralını genelleştirir. Tek değişkenli zincir kuralı size iki fonksiyonun bileşkesinin türevini nasıl alacağınızı söyler:

\frac{d}{d x} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \frac{d g}{d t} = f^{'} (g (t)) g^{'} (t)

Tek boyutlu bir girdi (

t

) yerine, eğer

f

fonksiyonu iki boyutlu bir girdi (

(x, y)

) alsaydı ne olurdu?

f (x, y) = \dots x ve y ’nin bir ifadesi \dots

Bu durumda, bunun skaler değerli bir

g (t)

fonksiyonuyla bileşkesini almak anlamlı olmazdı. Bunun yerine, farklı iki skaler değerli fonksiyon

x (t)

y (t)

olduğunu söyleyelim ve bunları

f

'nin koordinatları olarak yerine koyalım. Bu şemada gösterildiği gibi, toplam bileşke tek sayılı girdisi

t

ve tek sayılı çıktısı

f (x (t), y (t))

olan, tek değişkenli bir fonksiyon olacaktır:

Hala sizin bu yeni tek değişkenli

f (x (t), y (t))

fonksiyonunun türevini hesaplamanızı sağlayan bir zincir kuralı vardır ve bu

f

'nin kısmi türevlerini içerir:

Unutmayın,

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}

gibi bir ifade,

\frac{\partial f}{\partial x} (x (t), y (t)) \frac{d x}{d t} (t)

Yani her ikisi de

t

'nin fonksiyonlarıdır; ancak

\frac{\partial f}{\partial x}

x (t)

y (t)

ara fonksiyonlarıyla hesaplanmıştır.

Vektör gösterimiyle yazıldığında

x (t)

y (t)

'yi ayrı fonksiyonlar olarak düşünmek yerine, genelde bunların birlikte, tek bir vektör değerli fonksiyon olarak paketlenmesi oldukça yaygındır:

\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]

Bu durumda, bileşkeyi

f (x (t), y (t))

olarak yazmak yerine, bunu

f (\vec{v} (t))

olarak yazabilirsiniz.

Bu gösterimle, zincir kuralı

f

'nin gradyanı ile

\vec{v} (t)

'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

Text for Translation

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \underset{Bu toplamı bir iç çarpım olarak yazın}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \frac{d y}{d t}}} \\ = \underset{\nabla f (\vec{v} (t))}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \end{array}]}} \cdot \underset{{\vec{v}}^{'} (t)}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} \end{array}]}} \\ = \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{aligned}

Bu şekilde yazıldığında, tek değişkenli türevle benzerlik daha nettir.

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (g (t)) = f^{'} (g (t)) g^{'} (t) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t} \end{array}

\nabla f

f

'nin türevi görevini görür ve

{\vec{v}}^{'} (t)

vektör türevi

g

'nin sıradan türevi görevini görür.

Zincir kuralının neden işe yaradığının mantığı

Konuya ısınmak için,

f (g (t))

gibi bir bileşke için tek değişkenli zincir kuralını düşünün. Bu bileşkeyi şu şekilde anlamayı seviyorum:

İlk olarak, $g$ ‍ sayı doğrusundaki bir $t$ ‍ noktasını sayı doğrusundaki başka bir $g (t)$ ‍ noktasıyla eşleştirir.
Sonra $f$ ‍ devreye girer ve $g (t)$ ‍ noktasını sayı doğrusundaki başka bir $f (g (t))$ ‍ noktasıyla eşleştirir.

f (g (t))

'nin türevini anlamak,

t

'deki küçük bir değişikliğin nihai çıktıyı nasıl değiştirdiğini anlamayı gerektirir.

Şimdi, zincir kuralının gerçekten neyi söylediğine bakalım.

\frac{d}{d x} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t}

$\frac{d g}{d t}$ ‍ terimi $t$ ‍'deki küçük bir değişimin ara çıktı $g (t)$ ‍'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Daha detaylı lütfen!]
$\frac{d f}{d g}$ ‍ terimi $g$ ‍'deki küçük bir değişimin sonuç çıktısı $f (g (t))$ ‍'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Daha detaylı lütfen!]
$t$ ‍'deki küçük bir değişimin sonucu olarak $f$ ‍'deki toplam değişim, bu etkilerin çarpımıdır.
[Daha detaylı lütfen!]

Bu sezgiyi daha çok boyuta genişletin

Çok değişkenli zincir kuralı için mantık oldukça benzerdir.

\vec{v}

'nün sayı doğrusundaki bir noktayı

x y

düzlemindeki bir noktayla eşleştirdiğini ve

f (\vec{v} (t))

'nün o noktayı sayı doğrusunda bir yere geri eşleştirdiğini düşünebilirsiniz. Asıl soru, başlangıçtaki

t

girdisindeki küçük bir değişikliğin toplam çıktı

f (\vec{v} (t))

'nü ne şekilde etkilediğidir.

Çok değişkenli zincir kuralının ne söylediğini, bu kuralı bileşke fonksiyonlar

x (t)

y (t)

cinsinden yazarak ayrıştıralım:

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) = \frac{d}{d t} f (x (t), y (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

$\frac{d x}{d t}$ ‍ terimi $t$ ‍'deki minik bir değişimin ara çıktı $x (t)$ ‍'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Özellikle...]
Benzer şekilde, $\frac{d y}{d t}$ ‍ terimi $t$ ‍'deki küçük bir değişikliğin ikinci ara çıktı $y (t)$ ‍'yi ne şekilde etkilediğini temsil eder.
[Özellikle...]
$\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ terimi $f$ ‍'nin bir girdisinin $x$ ‍-bileşenine minik bir değişimin çıktıyı nasıl etkilediğini temsil eder, ve benzer şekilde, $\frac{\partial f}{\partial y}$ ‍ terimi $f$ ‍'nin bir girdisinin $y$ ‍-bileşenine küçük bir değişimin $f$ ‍'yi nasıl değiştirdiğini gösterir.
[Özellikle...]
$t$ ‍'deki küçük bir değişikliğin $f (x (t), y (t))$ ‍'yi etkilemesinin bir yolu, bunun önce $x (t)$ ‍'yi ve sonra $f$ ‍'yi değiştirmesidir. Bu etki $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}$ ‍ çarpımında gözlemlenir.
[Daha detaylı lütfen!]
$t$ ‍'deki bir değişimin $f (x (t), y (t))$ ‍'nin çıktısını değiştirmesinin bir diğer yolu, önce ikinci ara çıktı $y (t)$ ‍'yi değiştirmektir, bu da $f$ ‍'nin çıktısını etkiler. Bu etki $\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$ ‍ çarpımında yakalanır.
Bu iki çarpımı toplamak, $f$ ‍'deki toplam değişimi verir.

Yönlü türevle bağlantı

Çok değişkenli zincir kuralı için olan iç çarpım ifadenin, bir yönlü türev ile çok benzer olduğunu fark edebilirsiniz:

\begin{array}{r} \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{array}

Aslında, tam olarak budur! Belirli bir

t_{0}

değerindeki türev

{\vec{v}}^{'} (t_{0})

f

'nin girdi uzayında bir vektör verir:

\begin{array}{r} {\vec{v}}^{'} (t_{0}) = [\begin{array}{c} x^{'} (t_{0}) \\ y^{'} (t_{0}) \end{array}] \end{array}

Eğer

\vec{v} (t)

bu uzayın içindeki bir parametrik yol olarak yorumlanır veya bir parçacığın izlediği yol olarak düşünülürse,

t_{0}

zamanındaki belirli bir noktanın türevi bu parçacığın o andaki sürat vektörünü verir.

Bu yoruma göre, zincir kuralı

f (\vec{v} (t))

bileşkesinin türevinin $f$ ‍'nin $\vec{v} (t)$ ‍ türevi yönünde yönlü türevi olduğunu belirtir.

Bu mantıklı olmalı, çünkü "

d t

"'nin

t

'ye yaptığı minik bir değişim, türevin anlamına göre,

\vec{v} (t)

çıktısında

d \vec{v}

minik değişimine yol açmalıdır. Yönlü türevin anlamı,

f

'nin girdisindeki

d \vec{v}

minik değişiminin

d f

minik değişimine

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \nabla_{\vec{v}} f

olarak belirlendiği şekilde yol açmasıdır.

Örnek 1: Yeni zincir kuralıyla ve yeni zincir kuralı olmadan

f (x, y)

'yi bu şekilde tanımlayın:

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} y \end{array}

\vec{v} (t)

'yi bu şekilde tanımlayın:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))

türevini bulun.

Zincir kuralı olmadan çözüm:

Yeni fiyakalı aracımızı probleme atmadan önce, bunun bileşkeyi

t

cinsinden tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazarak da çözebileceğimiz bir şey olduğunu belirtmek önemlidir:

\begin{aligned} f (\vec{v} (t)) & = f (\cos (t), \sin (t)) \\ = \cos (t)^{2} \sin (t) \end{aligned}

Şimdi normal türevi alabilirsiniz:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \cos (t)^{2} \sin (t) & = \cos (t)^{2} (\cos (t)) + 2 \cos (t) (- \sin (t)) \sin (t) \\ = \cos^{3} (t) - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) \end{aligned}

Ama tabii ki, bu örneğin amacı zincir kuralının neye ilişkin olduğunu anlamaktır.

Zincir kuralını kullanarak çözüm:

İlk olarak,

\vec{v} (t)

'nin bileşen fonksiyonlarını açıkça belirtelim:

\begin{aligned} x (t) & = \cos (t) \\ y (t) & = \sin (t) \end{aligned}

Zincir kuralına göre,

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \end{aligned}

f (x, y) = x^{2} y

'nin kısmi türevlerini ve

x (t) = \cos (t)

y (t) = \sin (t)

'nin normal türevlerini aldığımızda bunu elde ederiz:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\sin (t)) \\ = (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \end{aligned}

Her şeyin

t

cinsinden olmasını istiyoruz, dolayısıyla

x = \cos (t)

y = \sin (t)

koyuyoruz.

\begin{aligned} (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \\ (2 \cos (t) \sin (t)) (- \sin (t)) + (\cos (t)^{2}) \cos (t) \\ = & - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) + \cos^{3} (t) \end{aligned}

Neyse ki, bu zincir kuralını kullanmadan elde ettiğimiz cevapla aynıdır. Bu yeni zincir kuralının her şeyi gereksiz yere karmaşıklaştırdığını düşünebilirsiniz ve küçük sırrımız, bunun gibi somut hesaplamalar için genelde gerekli olmadığıdır.

Bununla birlikte, bir sonraki örneğin gösterdiği gibi, bilinmeyen bir fonksiyon cinsinden denklemler yazmak için yararlıdır.

Örnek 2: Bilinmeyen fonksiyon

İki boyutlu bir bölgedeki sıcaklığın, bilmediğimiz bir

T (x, y)

fonksiyonuna göre değiştiğini varsayın. Bu bölgede geziyor ve gezerken sıcaklık örnekleri alıyorsunuz; sürenin fonksiyonu olarak

x

y

koordinatlarınız

\begin{aligned} x (t) & = 30 \cos (2 t) \\ y (t) & = 40 \sin (3 t) \end{aligned}

Ölçümlerinizi alırken, yolunuz boyunca sıcaklığın hiç değişmediğini fark ediyorsunuz.

T

'nin kısmi türevleri hakkında ne söyleyebilirsiniz?

[Çözüm]

Özet

Çok değişkenli bir $f (x, y)$ ‍ fonksiyonu ve iki tek değişkenli $x (t)$ ‍ ve $y (t)$ ‍ fonksiyonu verildiğinde, çok değişkenli zincir kuralı bunu söyler:

\underset{Bileşke fonksiyonun türevi}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Vektör gösterimiyle yazıldığında, burada $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, bu zincir kuralı, $f$ ‍'nin gradyanı ile $\vec{v} (t)$ ‍'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

\underset{Bileşke fonksiyonun türevi}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Vektörlerin iç çarpımı}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.