Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Çok değişkenli zincir kuralı, basit versiyon

Türevler için zincir kuralı daha yüksek boyutlara genişletilebilir. Burada, tek değişkenli fonksiyonun bileşkesi şeklinde görünen basit bir durum görülmektedir.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Çok değişkenli bir f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonu ve iki tek değişkenli x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonu verildiğinde, çok değişkenli zincir kuralı bunu söyler:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{Bileşke fonksiyonun türevi}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, B, i, l, e, ş, k, e, space, f, o, n, k, s, i, y, o, n, u, n, space, t, u, with, \", on top, r, e, v, i, end text, end subscript, equals, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #11accd, x, end color #11accd, end fraction, start fraction, d, start color #11accd, x, end color #11accd, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, start fraction, d, start color #bc2612, y, end color #bc2612, divided by, d, t, end fraction

Vektör gösterimiyle yazıldığında, burada $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , bu zincir kuralı, f'nin gradyanı ile start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{Bileşke fonksiyonun türevi}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{Vektörlerin iç çarpımı}}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, B, i, l, e, ş, k, e, space, f, o, n, k, s, i, y, o, n, u, n, space, t, u, with, \", on top, r, e, v, i, end text, end subscript, equals, start overbrace, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, V, e, k, t, o, with, \", on top, r, l, e, r, i, n, space, i, ç, space, ç, a, r, p, ı, m, ı, end text, end superscript

Daha genel bir zincir kuralı

Muhtemelen tahmin edebileceğiniz gibi, çok değişkenli zincir kuralı tek değişkenli analizdeki zincir kuralını genelleştirir. Tek değişkenli zincir kuralı size iki fonksiyonun bileşkesinin türevini nasıl alacağınızı söyler:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, t, right parenthesis

Tek boyutlu bir girdi (t) yerine, eğer f fonksiyonu iki boyutlu bir girdi ( left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis) alsaydı ne olurdu?

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, dots, start text, x, space, v, e, space, y, apostrophe, n, i, n, space, b, i, r, space, i, f, a, d, e, s, i, end text, dots

Bu durumda, bunun skaler değerli bir g, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonuyla bileşkesini almak anlamlı olmazdı. Bunun yerine, farklı iki skaler değerli fonksiyon x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis olduğunu söyleyelim ve bunları f'nin koordinatları olarak yerine koyalım. Bu şemada gösterildiği gibi, toplam bileşke tek sayılı girdisi t ve tek sayılı çıktısı f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis olan, tek değişkenli bir fonksiyon olacaktır:

Hala sizin bu yeni tek değişkenli f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis fonksiyonunun türevini hesaplamanızı sağlayan bir zincir kuralı vardır ve bu f'nin kısmi türevlerini içerir:

Unutmayın, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction gibi bir ifade,

start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, right parenthesis

Yani her ikisi de t'nin fonksiyonlarıdır; ancak start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis ara fonksiyonlarıyla hesaplanmıştır.

Vektör gösterimiyle yazıldığında

x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis'yi ayrı fonksiyonlar olarak düşünmek yerine, genelde bunların birlikte, tek bir vektör değerli fonksiyon olarak paketlenmesi oldukça yaygındır:

\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]

Bu durumda, bileşkeyi f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis olarak yazmak yerine, bunu f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis olarak yazabilirsiniz.

Bu gösterimle, zincir kuralı f'nin gradyanı ile start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

Text for Translation

\begin{aligned} \quad \frac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \underbrace{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dx}{dt}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dy}{dt} }_{\text{Bu toplamı bir iç çarpım olarak yazın}} \\\\ &= \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \\ \end{array} \right] }_{\nabla f(\vec{\textbf{v}}(t))} \cdot \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{dx}{dt} \\\\ \dfrac{dy}{dt} \end{array} \right] }_{\vec{\textbf{v}}'(t)}\\\\ &= \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

Bu şekilde yazıldığında, tek değişkenli türevle benzerlik daha nettir.

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t)) g'(t) = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dt} \end{aligned}

del, f f'nin türevi görevini görür ve start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis vektör türevi g'nin sıradan türevi görevini görür.

Zincir kuralının neden işe yaradığının mantığı

Konuya ısınmak için, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis gibi bir bileşke için tek değişkenli zincir kuralını düşünün. Bu bileşkeyi şu şekilde anlamayı seviyorum:

İlk olarak, g sayı doğrusundaki bir t noktasını sayı doğrusundaki başka bir g, left parenthesis, t, right parenthesis noktasıyla eşleştirir.
Sonra f devreye girer ve g, left parenthesis, t, right parenthesis noktasını sayı doğrusundaki başka bir f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis noktasıyla eşleştirir.

f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'nin türevini anlamak, t'deki küçük bir değişikliğin nihai çıktıyı nasıl değiştirdiğini anlamayı gerektirir.

Şimdi, zincir kuralının gerçekten neyi söylediğine bakalım.

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd, dot, start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54

start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 terimi t'deki küçük bir değişimin ara çıktı g, left parenthesis, t, right parenthesis'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Daha detaylı lütfen!]
start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd terimi g'deki küçük bir değişimin sonuç çıktısı f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Daha detaylı lütfen!]
t'deki küçük bir değişimin sonucu olarak f'deki toplam değişim, bu etkilerin çarpımıdır.
[Daha detaylı lütfen!]

Bu sezgiyi daha çok boyuta genişletin

Çok değişkenli zincir kuralı için mantık oldukça benzerdir. start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün sayı doğrusundaki bir noktayı x, y düzlemindeki bir noktayla eşleştirdiğini ve f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'nün o noktayı sayı doğrusunda bir yere geri eşleştirdiğini düşünebilirsiniz. Asıl soru, başlangıçtaki t girdisindeki küçük bir değişikliğin toplam çıktı f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'nü ne şekilde etkilediğidir.

Çok değişkenli zincir kuralının ne söylediğini, bu kuralı bileşke fonksiyonlar x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis cinsinden yazarak ayrıştıralım:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54, plus, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39

start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 terimi t'deki minik bir değişimin ara çıktı x, left parenthesis, t, right parenthesis'yi nasıl etkilediğini temsil eder.
[Özellikle...]
Benzer şekilde, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39 terimi t'deki küçük bir değişikliğin ikinci ara çıktı y, left parenthesis, t, right parenthesis'yi ne şekilde etkilediğini temsil eder.
[Özellikle...]
start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd terimi f'nin bir girdisinin x-bileşenine minik bir değişimin çıktıyı nasıl etkilediğini temsil eder, ve benzer şekilde, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd terimi f'nin bir girdisinin y-bileşenine küçük bir değişimin f'yi nasıl değiştirdiğini gösterir.
[Özellikle...]
t'deki küçük bir değişikliğin f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'yi etkilemesinin bir yolu, bunun önce x, left parenthesis, t, right parenthesis'yi ve sonra f'yi değiştirmesidir. Bu etki start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 çarpımında gözlemlenir.
[Daha detaylı lütfen!]
t'deki bir değişimin f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis'nin çıktısını değiştirmesinin bir diğer yolu, önce ikinci ara çıktı y, left parenthesis, t, right parenthesis'yi değiştirmektir, bu da f'nin çıktısını etkiler. Bu etki start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39 çarpımında yakalanır.
Bu iki çarpımı toplamak, f'deki toplam değişimi verir.

Yönlü türevle bağlantı

Çok değişkenli zincir kuralı için olan iç çarpım ifadenin, bir yönlü türev ile çok benzer olduğunu fark edebilirsiniz:

\begin{aligned} \quad \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

Aslında, tam olarak budur! Belirli bir t, start subscript, 0, end subscript değerindeki türev start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, f'nin girdi uzayında bir vektör verir:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}'(t_0) = \left[ \begin{array}{c} x'(t_0) \\ y'(t_0) \end{array} \right] \end{aligned}

Eğer start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis bu uzayın içindeki bir parametrik yol olarak yorumlanır veya bir parçacığın izlediği yol olarak düşünülürse, t, start subscript, 0, end subscript zamanındaki belirli bir noktanın türevi bu parçacığın o andaki sürat vektörünü verir.

Bu yoruma göre, zincir kuralı f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis bileşkesinin türevinin f'nin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis türevi yönünde yönlü türevi olduğunu belirtir.

Bu mantıklı olmalı, çünkü "d, t"'nin t'ye yaptığı minik bir değişim, türevin anlamına göre, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis çıktısında d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top minik değişimine yol açmalıdır. Yönlü türevin anlamı, f'nin girdisindeki d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top minik değişiminin d, f minik değişimine start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f olarak belirlendiği şekilde yol açmasıdır.

Örnek 1: Yeni zincir kuralıyla ve yeni zincir kuralı olmadan

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'yi bu şekilde tanımlayın:

\begin{aligned} f(x, y) = x^2y \end{aligned}

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'yi bu şekilde tanımlayın:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Zincir kuralı olmadan çözüm:

Yeni fiyakalı aracımızı probleme atmadan önce, bunun bileşkeyi t cinsinden tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazarak da çözebileceğimiz bir şey olduğunu belirtmek önemlidir:

\begin{aligned} \quad f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= f(\cos(t), \sin(t)) \\ &= \cos(t)^2\sin(t) \end{aligned}

Şimdi normal türevi alabilirsiniz:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \cos(t)^2\sin(t) &= \cos(t)^2(\cos(t)) + 2\cos(t)(-\sin(t))\sin(t) \\ &=\boxed{ \cos^3(t) - 2\cos(t)\sin^2(t)} \end{aligned}

Ama tabii ki, bu örneğin amacı zincir kuralının neye ilişkin olduğunu anlamaktır.

Zincir kuralını kullanarak çözüm:

İlk olarak, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin bileşen fonksiyonlarını açıkça belirtelim:

\begin{aligned} x(t) &= \cos(t) \\ y(t) &= \sin(t) \end{aligned}

Zincir kuralına göre,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} \\ \end{aligned}

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y'nin kısmi türevlerini ve x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, t, right parenthesis'nin normal türevlerini aldığımızda bunu elde ederiz:

\begin{aligned} &\quad \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y) \dfrac{d}{dt}(\cos(t)) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}) \dfrac{d}{dt}(\sin(t)) \\\\ &= (2\blueE{x}y)(-\sin(t)) + (x^2)(\cos(t)) \end{aligned}

Her şeyin t cinsinden olmasını istiyoruz, dolayısıyla x, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, equals, sine, left parenthesis, t, right parenthesis koyuyoruz.

\begin{aligned} &(2\blueE{x}y)(-\sin(t)) + (x^2)(\cos(t)) \\\\ &(2\cos(t)\sin(t))(-\sin(t)) + (\cos(t)^2)\cos(t) \\\\ = &\boxed{-2\cos(t)\sin^2(t) + \cos^3(t)} \end{aligned}

Neyse ki, bu zincir kuralını kullanmadan elde ettiğimiz cevapla aynıdır. Bu yeni zincir kuralının her şeyi gereksiz yere karmaşıklaştırdığını düşünebilirsiniz ve küçük sırrımız, bunun gibi somut hesaplamalar için genelde gerekli olmadığıdır.

Bununla birlikte, bir sonraki örneğin gösterdiği gibi, bilinmeyen bir fonksiyon cinsinden denklemler yazmak için yararlıdır.

Örnek 2: Bilinmeyen fonksiyon

İki boyutlu bir bölgedeki sıcaklığın, bilmediğimiz bir T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonuna göre değiştiğini varsayın. Bu bölgede geziyor ve gezerken sıcaklık örnekleri alıyorsunuz; sürenin fonksiyonu olarak x ve y koordinatlarınız

\begin{aligned}\quad x(t) &= 30\cos(2t) \\ y(t) &= 40\sin(3t) \end{aligned}

Ölçümlerinizi alırken, yolunuz boyunca sıcaklığın hiç değişmediğini fark ediyorsunuz. T'nin kısmi türevleri hakkında ne söyleyebilirsiniz?

[Çözüm]

Özet

Çok değişkenli bir f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonu ve iki tek değişkenli x, left parenthesis, t, right parenthesis ve y, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonu verildiğinde, çok değişkenli zincir kuralı bunu söyler:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{Bileşke fonksiyonun türevi}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

Vektör gösterimiyle yazıldığında, burada $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , bu zincir kuralı, f'nin gradyanı ile start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin vektör türevi arasında bir iç çarpım olarak daha sade bir şekilde yazılabilir.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{Bileşke fonksiyonun türevi}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{Vektörlerin iç çarpımı}}

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.