Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 6: Vektör Değerli Fonksiyonların Türevini Alma (Makaleler)

Parametrik yüzeylerin kısmi türevleri

Eğer üç boyutlu bir yüzeyi temsil eden bir fonksiyonunuz varsa, bunun kısmi türevini alabilirsiniz. Burada, bunun neye benzediğini ve nasıl yorumlandığını görüyoruz.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

İki boyutlu girdiye ve üç boyutlu çıktıya sahip bir vektör değerli fonksiyonumuz var:
$\vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]$
Bunun kısmi türevleri, her bir bileşenin kısmi türevi alınarak hesaplanır:
$\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
Bu kısmi türevleri start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ile tanımlanan parametrik yüzeye teğet vektörler veriyor gibi düşünebilirsiniz.

Hedef

Size iki boyutlu girdiye ve üç boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyon verdiğimi düşünün, örneğin:

$\vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ 3\sin(t) + \sin(t)\cos(s) \\ \sin(s) \end{array} \right]$

Girdisi çok boyutlu olduğundan bu fonksiyonun normal türevini alamazsınız, ancak kısmi türevini alabilirsiniz. Bu makale, kısmi türevlerin ne olduğunu kavramanızı sağlamaya odaklanmaktadır.

Fonksiyonu bir yüzey olarak yorumlayın

Bu fonksiyonun çok hoş bir geometrik anlamı bulunmaktadır. İki koordinatlı girdisi ve üç koordinatlı çıktısı olduğundan, bunu bir parametrik yüzey olarak görselleştirebiliriz.

Özellikle, 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi ve 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi olan tüm left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis girdilerini düşünün. Bu, "t, s düzleminde" bir kare olarak görülebilir. Daha sonra bazı şeyleri takip etmemizi kolaylaştıracağı için, bunu bir dama tahtası gibi çizeceğim.

Verilen herhangi bir left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis noktası için, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis değeri üç boyutlu uzayda bir noktadır.

Kavram kontrolü: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis değerini bulun. Başka bir deyişle, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonu left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis girdisini nereye götürür?

[v'nin tanımı]

(A şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \end{aligned}$
(B şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$
(C şıkkı)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Cevap]

Eğer bu hesaplamayı karedeki tüm left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis girdileri için yaptığınızı, her seferinde üç boyutlu uzayda bir noktayı elde ettiğinizi düşünürseniz, elde edilen çıktıların tümü üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yüzey oluşturacaktır. Karenin her noktasının uzaydaki uygun konuma gitmesini hayal etmeyi seviyorum.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu sonuç bir çörek şeklindedir. Matematik halkı buna simit der.

Kısmi türevleri yorumlama

start color #0c7f99, t, end color #0c7f99'ye göre türev alma

Bu fonksiyonun bir kısmi türevini hesaplamak için, diyelim ki start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, her bir bileşenin kısmi türevini alırsınız.

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, s) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}} \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ 3\sin(\blueE{t}) + \sin(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ \sin(s) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\sin(\blueE{t}) + \sin(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(\sin(s)) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\sin(t) - \sin(t)\cos(s) \\ \\ 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Yani...bu yeni vektör değerli fonksiyon aslında hangi anlama gelir?

Bu kısmi türevi hesaplamak için, s değişkenine bir sabitmiş gibi davranmak gerekir. Geometrik olarak bunun anlamı nedir?

t, s düzleminde, sabit bir s değeri, yatay bir doğruyla eşleşir. Burada s, equals, pi, slash, 2'yi temsil eden, kırmızıyla çizilmiş böyle bir doğruyu görüyorsunuz:

Bu kare simit şekline eğrildikten sonra, bu kırmızı çizgi simitin etrafındaki uzun yolu kateden bir çembere dönüşür:

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction kısmi türevi, girdiyi t yönünde ittiğimizde çıktının nasıl değiştiğini belirtir. Bu durumda, bu itmeyi temsil eden vektör (aşağıda sarıyla çizilmiştir), yüzeyde sabit bir s değerini temsil eden kırmızı çembere teğet bir vektöre dönüşür:

Özellikle, yukarıdaki resimler için kullanılmış olan girdi noktası left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis'dir. Bu, simitteki noktanın

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\sin(\pi/4) + \sin(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ \sin(\pi/2) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 1 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Teğet vektör şudur

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} -3\sin(\pi/4) - \sin(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Kavram kontrolü: Bu teğet vektörünün z-bileşeninin 0 olması neden mantıklıdır?

(A şıkkı)
s, equals, pi, slash, 2'yi temsil eden kırmızı çemberdeki noktaların z-koordinatı 0'dır.
(B şıkkı)
s, equals, pi, slash, 2'yi temsil eden çember üzerindeki tüm noktaların z-koordinatı değişmez.

start color #bc2612, s, end color #bc2612'ye göre türev alma

s'ye göre kısmi türev benzerdir. Bunu start bold text, v, end bold text, with, vector, on top tanımındaki her bileşenin kısmi türevini alarak hesaplayabilirsiniz:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, \redE{s}) = \dfrac{\partial}{\partial \redE{s}} &\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(\redE{s}) \\ 3\sin(t) + \sin(t)\cos(\redE{s}) \\ \sin(\redE{s}) \end{array} \right] \\ = &\left[ \begin{array}{c} -\cos(t)\sin(s) \\ -\sin(t)\sin(s) \\ \cos(s) \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Bu sefer, t'yi sabit tuttuğumuzu hayal edereki parametre uzayında düşey bir doğru elde edebiliriz.

Sarı ok, bir parçacık bu çizgi boyunca giderken hız vektörünü temsil eder. Yani, t'yi sabit tutarken, s'yi değiştirirseniz. Kare start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonuyla simite dönüştükten sonra, kırmızı çizgi ve sarı sürat vektörü şöyle bir şeye benzeyebilir:

Bu kısmi türev, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, simit üzerinde sonuç hız vektörü olarak yorumlanabilir.

Özet

İki boyutlu girdiye ve üç boyutlu çıktıya sahip bir vektör değerli fonksiyonumuz var:
$\vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]$
Bunun kısmi türevleri, her bir bileşenin kısmi türevi alınarak hesaplanır:
$\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
Bu kısmi türevleri start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ile tanımlanan parametrik yüzeye teğet vektörler veriyor gibi düşünebilirsiniz.
- Örneğin, girdi uzayında bir noktayı start color #0c7f99, t, end color #0c7f99 yönü boyunca, örneğin left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis koordinatlarından belirli küçük bir start color #bc2612, h, end color #bc2612 değeri için left parenthesis, s, comma, t, plus, start color #bc2612, h, end color #bc2612) koordinatlarına doğru ittiğinizi düşünün. Bu, yüzey boyunca çıktıda küçük bir itmeye yol açar; bu da start color #bc2612, h, end color #bc2612, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis vektörü ile temsil edilir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.