Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)

Rotasyonel, üç boyutta sıvı döndürme

Google Classroom

Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanının gösterdiği sıvı akışındaki döndürmeyi ölçen bir işlemdir.

Arka plan

Not: Bu makale boyunca şu kuralı kullanacağız

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, x yönündeki birim vektörü temsil eder.
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, y yönündeki birim vektörü temsil eder.
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, z yönündeki birim vektörü temsil eder.

Neye ulaşıyoruz

Rotasyonel, üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının her nokta etrafında dönmesi bir vektör olarak temsil edildiğinde, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
Üç boyutlu vektör değerli bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis fonksiyonunun bileşke fonksiyonları start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ve start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
$\underbrace{ \nabla \times \vec{\textbf{v}} }_{\text{Notation for curl}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}}$ start underbrace, del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end underbrace, start subscript, start text, N, o, t, a, t, i, o, n, space, f, o, r, space, c, u, r, l, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, z, end fraction, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, z, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Döndürmeyi bir vektörle tanımlama

Eğer bir nesne iki boyutta dönüyor ise, dönüşü tek bir sayıyla tamamen tanımlayabilirsiniz: açısal sürat. Pozitif açısal sürat saat yönünün tersine dönmeyi belirtirken, negatif açısal sürat saat yönünde dönmeyi belirtir. Açısal süratin mutlak değeri, genelde radyan/saniye olarak dönme hızını verir.

Üç boyutta dönen bir nesne için, durum daha karmaşıktır. Nesnenin döndüğü üç boyutlu uzayda hem açısal sürati hem de yönü temsil etmeliyiz.

Bunu yapmak için, üç boyutta dönme genelde tek bir vektör kullanılarak tanımlanır. Vektörün büyüklüğü açısal hızı belirtir ve yön ''sağ el kuralı'' olarak adlandırılan çok önemli bir tanımla belirlenir.

SAĞ EL KURALI: Sağ elinizin parmaklarını dönme yönünde kıvırın ve baş parmağınızı yukarı kaldırın. Tanıma göre, bu üç boyutlu dönmeyi temsil eden vektör baş parmağınızla aynı yöndedir.

Baş parmağınız döndürme ekseni yönünde uzanmalıdır. Sol el yerine sağ eli kullanma kuralını benimsemek, belirli bir üç boyutlu döndürmeyle, tersi döndürme arasındaki farkı kodlamamızı sağlar. Temel olarak, saat yönünde ve saat yönünün tersine fikrini üç boyuta taşır.

Örneğin, dünyanın uzayda dönmesi dünyanın merkezinden kuzey kutbuna doğru, uzunluğu dünyanın açısal dönme süratina eşit (ki bu, 0, comma, 0000729 radyan/saniyedir) bir vektör kullanılarak tanımlanabilir.

İki boyutlu sıvı döndürmeye yeniden bakış

Rotasyonel ısınma makalesi nde sıvının şu fonksiyonla tanımlanmış iki boyutlu bir vektör alanı boyunca nasıl aktığına baktık:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \end{array} \right] \\ &= (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} \end{aligned}

Aşağıdaki animasyon, sıvı parçacıklarının (mavi noktalar olarak çizilmiş) her zaman en yakın vektör yönünde hareket ettiği bir simülasyon gösterir. Rotasyoneli incelemek için, çember içindeki ve etrafındaki bölgelere özellikle bakmanızı istiyoruz.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Soldaki ve sağdaki çemberler sıvı saat yönünün tersine, üstteki ve alttaki çemberlerde sıvı saat yönünde döner. Rotasyoneli incelerken, önemli soru budur: Düzlemde her bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis belirli noktasında sıvı ne kadar döner?

Son makalede, bu soruyu cevaplamak için şu formülle verilen start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün 2 boyutlu rotasyonelini kullanarak bu soruyu cevaplamanın sezgisini vermiştim:

\begin{aligned} \quad \text{2d-curl}\;\vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) = \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0) - \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\redE{\partial y}}(x_0, y_0) \end{aligned}

burada start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 ve start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektör değerli fonksiyonun bileşenleridir. Örneğin, yukarıda verilen left parenthesis, y, cubed, minus, 9, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, x, cubed, minus, 9, x, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top ile tanımlanmış vektör alanı için bu cevap şöyle olacaktır:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial({x^3-9x})}{\partial x} - \dfrac{\partial({y^3-9y})}{\partial y} &= 3x^2 - 9 - (3y^2-9) \\ &= 3x^2-3y^2 \end{aligned}

Sonucun bir skaler değerli fonksiyon olduğuna dikkat edin. Örneğin left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis gibi bir nokta koyarsınız ve sizin noktanız yakınında sıvının açısal süratini belirten tek bir sayı elde edersiniz, 3, left parenthesis, 2, right parenthesis, squared, minus, 3, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 12, minus, 3, equals, 9. Görüldüğü üzere, bu sayı nokta yakınındaki açısal hızın iki katını temsil eder, dolayısıyla dönme hızı 4, comma, 5 radyan/saniyedir (bu konuya ileride daha detaylı şekilde değineceğiz). Önemli nokta, dönmeyi tanımlayan tek bir skaler elde etmenizdir.

Bu akla yatkın gelmelidir, çünkü bir nesnenin iki boyutta dönmesi tek bir sayıyla (veya skalarla) temsil edilebilir, dolayısıyla akan bir sıvıdaki tüm olası noktalar etrafındaki dönme bir skalar değerli fonksiyonla temsil edilmelidir.

Düşünme sorusu: Üstte animasyonu bulunan sıvı akışında, sıvının left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis başlangıç noktasında döndürmeli bir bileşeni var mıdır?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Evet, saat yönünde
(B şıkkı)
Evet, saat yönünün tersine
(C şıkkı)
Hayır

[Cevap]

Üçüncü boyuta taşıma

Üç boyuta geçmeye hazırlanırken, yukarıdaki sıvı döndürmeyi vektörleri kullanarak ifade edelim. Üstteki animasyonda en sağdaki çember gibi, saat yönünün tersine bir bölgeye odaklanın. Parmaklarınızın bu çemberin etrafında, okların yönünde duracak şekilde büküldüğünü hayal edin (bu durumda saat yönünün tersine) ve baş parmağınızı kıvırmadan düz tutun. Baş parmağınız sayfanın dışına doğru gösteriyor olmalıdır, pozitif z-yönünde, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top birim vektörüne paralel.

Bunu her noktada yaptığımızda, x, y-düzlemindeki her nokta etrafındaki döndürmeye, start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 3, y, squared formülüne göre bir vektör atarsak, şöyle bir şey elde ederiz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Yukarıdaki x, y düzleminde görüldüğü gibi, pozitif z yönünü gösteren vektörler bu nokta yakınında saat yönünün tersine dönmeyi belirtir ve diğer yönü gösteren vektörler saat yönünde dönmeyi belirtir. Her vektörün uzunluğu, bu dönmenin hızını gösterir. Bu vektör sistemini şu ifadeyle tanımlayabilirsiniz:

left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Bu, neredeyse üç boyutlu bir vektör alanıdır, uzayın tamamında değil, sadece x, y-düzleminde noktalara bakmamız hariç. Rotasyonelin kendisi sadece üç boyutlu vektör alanlarına uygulanır, onun için aşağıdaki materyal için sahneyi kurmak için, bunu üç boyutlu bir örnek yapalım. Başlangıç olarak, orijinal vektör değerli start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonumuzu benzer bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, b, o, y, u, t, l, u, end subscript fonksiyonuna genişletiriz.

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}_{3d}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \\ \greenE{0} \end{array} \right] = (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} + (\greenE{0})\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Üç boyutlu vektör alanları düşünüldüğünde, bu yine de düz gibi gelir, değil mi? Çünkü start bold text, k, end bold text, with, hat, on top bileşeni her yerde 0'dır ve bileşenlerin hiçbiri z girdi değerine bağlı değildir. Orijinal iki boyutlu vektör alanını x, y düzlemine paralel her üç boyutlu uzay kesitine kopyalamış olduk.

Bir sonraki video, (griyle çizilmiş) x, y-düzlemini ve kırmızı çemberleri referans noktaları olarak tuttuğumuz start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript vektör alanının neye benzediğini gösterir. Dikkat ederseniz, x, y-düzlemine paralel her katmandaki vektörler bir önceki bölümdeki tamamen 2 boyutlu start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektör alanından x, y-düzleminde duran vektörlerle aynıdır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Yine, bu vektör alanını, bir odadaki hava veya havuzda su gibi bir sıvı akışı temsil ediyor gibi hayal edin. Bu sıvının her noktadaki döndürmesini bu noktaya bağlı bir vektörle temsil edersek, bir sonraki videoda gösterilene benzeyen, yeni bir vektör alanını elde ederiz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu, şu vektör değerli fonksiyonla verilir

start bold text, w, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Bu daha önce elde ettiğimiz formülle, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, aynıdır; ancak önemli olan nokta şimdi bunu sadece x, y düzlemindeki left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktalarına değil, uzaydaki tüm left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis noktalarına ugulamamızdır.

z-girdisinin çıktıyı etkilemediği bilgisi, sıvı hareketimizin x, y-düzlemine paralel tüm uzay kesitlerinde aynı olduğu bilgisini yansıtır.
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top ile start bold text, j, end bold text, with, hat, on top bileşenlerinin 0 olduğu bilgisi, tüm döndürme vektörlerinin sadece z-yönünde hizalandığı anlamına gelir, yani tüm gerçek sıvı döndürme x, y-düzlemine paraleldir.

Bu yeni (mavi) vektör alanına, start bold text, w, end bold text, with, vector, on top, başlangıçtaki (yeşil) vektör alanının "rotasyonel"i start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript denir. Bunun bir yazılışı,

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{w}} = \text{curl}\,\vec{\textbf{v}}_{3d} \end{aligned}

Bu, gerçek üç boyutlu rotasyonel için ilk örneğimizdir: Matematiksel bir işlem olarak rotasyonel, sıvı akışını temsil ettiği düşünülen üç boyutlu bir vektör değerli fonksiyonu, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript, alır, ve sıvıdaki her noktanın yakınında döndürmeyi temsil eden üç boyutlu başka bir vektör değerli fonksiyon, "start text, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript" verir.

Sıvı döndürmeyi üç boyutta görselleştirme

Üç boyutlu genel bir sıvı akışı için, döndürme her zaman x, y düzlemine tamamen paralel olmayabilir. Bu olan biteni hayal etmeyi zorlaştırabilir. Çok zorlaştırabilir.

Örneğin, etrafınızdaki havanın kaotik bir hareketle üflendiğini ve döndüğünü hayal edin. Şimdi uzayda belirli bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasını seçin. "Bu noktanın yakınında hava döndürmesi"nin anlamının ne olduğunu düşünürsünüz?

İşte size birkaç taktik:

Merkezi left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasına sabitlenmiş, ama dönmesi serbest küçük bir tenis topu hayal edin. Belki onu orada tutmak için sihir icat ettiniz veya usta bir manyetik süspansiyon aletine sahipsiniz. Etrafında esen hava, bu küçük topun bir yöne veya başka bir yöne dönmesini sağlayabilir. Bu noktaya bağlı rotasyonel vektörü, üstte dünyanın dönmesini bir tek vektörle tanımladığımız gibi, bu küçük tenis topunun dönmesini tanımlayan vektör olacaktır.

Buna alternatif olarak, kalın, güzel tüylü bir oku ele alın. Robin Hood'un attığını hayal ettiğiniz türden. Oku havada, tüyleri left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında olacak şekilde konumlandırın. Yine, sihiri icat ettiniz ve okun tabanı bu noktaya bağlı, ancak yönünü istediğiniz gibi döndürdüğünüzü, ve rüzgarın tüylerine üflemesine göre serbest şekilde döndüğünü düşünün.

Okun çeşitli doğrultularını denerseniz ve hava akımlarının okun en hızlı dönmesine yol açtığı bir yönü bulursanız, bu, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasındaki rotasyonel vektörünün yönüdür.

Bu gradyanın "en hızlı yükseliş" yönünü göstermesiyle benzerdir; rotasyonel "en fazla döndürme yönü"nü gösterir.

[Aslında, "bir noktadaki döndürme" çok daha karmaşıktır]

Rotasyonel için notasyon ve formül

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'yi üç girdili, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, ve üç koordinatlı bir çıktılı genel bir vektör değerli fonksiyon olarak yazalım. Bu üç koordinatlı çıktıyı üç skaler değerli fonksiyon cinsinden yazacağız: start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #bc2612, ve start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f.

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y, z) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\\\&= \blueE{v_1(x, y, z)}\hat{\textbf{i}} + \redE{v_2(x, y, z)}\hat{\textbf{j}} + \greenE{v_3(x, y, z)}\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Rotasyonelin notasyonu, gradyan ve diverjans ifadelerinde kullanılan del" sembolünü kullanır, ve yine bunu kısmi türev işlemcilerinin bir vektörü olarak düşünürüz:

\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \\ \end{array} \right] \end{aligned}

Rotasyonel, bu "vektör" ile start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonunun vektör çarpımı olarak düşünülür, her zamanki gibi determinant kullanılarak hesaplanır:

\begin{aligned} \quad \text{curl}\,\vec{\textbf{v}} &= \nabla \times \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\ \\ &= \text{det}\left(\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \blueE{v_1} & \redE{v_2} & \greenE{v_3} \end{array} \right]\right) \\ \\ &= \boxed{ \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} } \end{aligned}

Ne düşündüğünüzü biliyorum: "Bu gördüğüm en çılgın determinant. Öğelerin hiçbiri sayı bile değil! Bir satırda vektörler var, birinde işlemciler, ve birinde fonksiyonlar. Bunu yapabilir miyiz?" Biraz garip olduğu kesin, ama başka bir şey değilse de, notasyon hilesi olarak ortaya çıkıyor.

[Bu determinantın her bir parçası nasıl hesaplanır?]

Formülün arkasındaki sezgi

Bu son sonuca daha yakından bakalım:

\begin{aligned} \quad \text{curl}\,\vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Dikkat ederseniz, her bir bileşen, rotasyonel ısınma makalesi nde bulduğumuz start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text işlemcisine benzer. Aslında, start bold text, k, end bold text, with, vector, on top bileşeninin formülü, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end textle aynıdır. Bu mantıklıdır, çünkü rotasyonelin start bold text, k, end bold text, with, vector, on top bileşeni sıvı döndürmenin x, y düzlemine paralel bileşenini ölçmelidir.

Aynı şekilde, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top ile start bold text, j, end bold text, with, hat, on top bileşenleri, sıvı döndürmenin, sırasıyla, y, z ve x, z düzlemlerine paralel bileşenlerini ölçerler.

\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Döndürme bileşeni $\redE{y}\greenE{z}$-düzlemiyle paralel }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Döndürme bileşeni $\blueE{x}\greenE{z}$-düzlemiyle paralel }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Döndürme bileşeni $\blueE{x}\redE{y}$-düzlemiyle paralel }}} \\ \\ \end{aligned}

Belirtmem gereken küçük bir nüans, bir noktanın yakınında rotasyoneli hesaplayarak (döndürme vektörü olarak düşünülen) bir vektör elde ettiğimize, bu vektörün büyüklüğü bu noktanın yakınındaki hayal edilen sıvının açısal hızına eşit değildir. Bunun yerine, büyüklük sıvının açısal hızının iki katıdır.

[Neden açısal hızın iki katı?]

Örnek: Üç boyutlu bir vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürme bulma

Problem: Diyelim ki, bir sıvı üç boyutta aşağıdaki vektör alanına göre akıyor:

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, x, cubed, plus, y, squared, plus, z, end color #0c7f99, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #bc2612, z, e, start superscript, x, end superscript, end color #bc2612, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #0d923f, x, y, z, minus, 9, x, z, end color #0d923f, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Sıvının left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis noktası yakınındaki döndürmesini tanımlayın

Adım 1: Rotasyoneli hesaplayın (bunun için biraz kağıt kalem kullanmanız gerekebilir).

del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Cevap]

Adım 2: left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis'yi koyun

del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Cevap]

Adım 3 : Yorumlayın

left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis noktası yakınında, sıvı dönüşü yaklaşık
radyan/saniyedir ve dönme
ile neredeyse paraleldir.

[Cevap]

Özet

Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan, ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının bir vektör olarak temsil edilen her nokta etrafında dönmesi, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
Üç boyutlu vektör değerli bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis fonksiyonunun bileşke fonksiyonu start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ve start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
$\begin{aligned} \quad \nabla \times \vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}$

Sadece eğlence için

Makalenin en başında gösterdiğim sıvı akışının bir animasyonunu burada bulabilirsiniz, ama bu sefer her nokta daha doğru bir şekilde bir su damlacığı olarak gösterilir, vektör alanının damlacıktaki her parçacığı çekmesine göre, esnemekte ve bükülmektedir. Sıvını nasıl hareket ettiğini daha kolay görmeniz için, vektörleri de vektör alanından çıkardım. Umarım, bu, vektör alanlarının sıvı-akışı anlayışının ne kadar karmaşık ve güzel olduğunu anlamanız için bir izlenim sağlar.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.