Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2
Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)Rotasyonel, üç boyutta sıvı döndürme
Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanının gösterdiği sıvı akışındaki döndürmeyi ölçen bir işlemdir.
Arka plan
Not: Bu makale boyunca şu kuralı kullanacağız
, yönündeki birim vektörü temsil eder. , yönündeki birim vektörü temsil eder. , yönündeki birim vektörü temsil eder.
Neye ulaşıyoruz
- Rotasyonel, üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
- Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının her nokta etrafında dönmesi bir vektör olarak temsil edildiğinde, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
- Üç boyutlu vektör değerli bir
fonksiyonunun bileşke fonksiyonları , ve ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
Döndürmeyi bir vektörle tanımlama
Eğer bir nesne iki boyutta dönüyor ise, dönüşü tek bir sayıyla tamamen tanımlayabilirsiniz: açısal sürat. Pozitif açısal sürat saat yönünün tersine dönmeyi belirtirken, negatif açısal sürat saat yönünde dönmeyi belirtir. Açısal süratin mutlak değeri, genelde radyan/saniye olarak dönme hızını verir.
Üç boyutta dönen bir nesne için, durum daha karmaşıktır. Nesnenin döndüğü üç boyutlu uzayda hem açısal sürati hem de yönü temsil etmeliyiz.
Bunu yapmak için, üç boyutta dönme genelde tek bir vektör kullanılarak tanımlanır. Vektörün büyüklüğü açısal hızı belirtir ve yön ''sağ el kuralı'' olarak adlandırılan çok önemli bir tanımla belirlenir.
- SAĞ EL KURALI: Sağ elinizin parmaklarını dönme yönünde kıvırın ve baş parmağınızı yukarı kaldırın. Tanıma göre, bu üç boyutlu dönmeyi temsil eden vektör baş parmağınızla aynı yöndedir.
Baş parmağınız döndürme ekseni yönünde uzanmalıdır. Sol el yerine sağ eli kullanma kuralını benimsemek, belirli bir üç boyutlu döndürmeyle, tersi döndürme arasındaki farkı kodlamamızı sağlar. Temel olarak, saat yönünde ve saat yönünün tersine fikrini üç boyuta taşır.
Örneğin, dünyanın uzayda dönmesi dünyanın merkezinden kuzey kutbuna doğru, uzunluğu dünyanın açısal dönme süratina eşit (ki bu, radyan/saniyedir) bir vektör kullanılarak tanımlanabilir.
İki boyutlu sıvı döndürmeye yeniden bakış
Rotasyonel ısınma makalesi nde sıvının şu fonksiyonla tanımlanmış iki boyutlu bir vektör alanı boyunca nasıl aktığına baktık:
Aşağıdaki animasyon, sıvı parçacıklarının (mavi noktalar olarak çizilmiş) her zaman en yakın vektör yönünde hareket ettiği bir simülasyon gösterir. Rotasyoneli incelemek için, çember içindeki ve etrafındaki bölgelere özellikle bakmanızı istiyoruz.
Soldaki ve sağdaki çemberler sıvı saat yönünün tersine, üstteki ve alttaki çemberlerde sıvı saat yönünde döner. Rotasyoneli incelerken, önemli soru budur: Düzlemde her bir belirli noktasında sıvı ne kadar döner?
Son makalede, bu soruyu cevaplamak için şu formülle verilen 'nün 2 boyutlu rotasyonelini kullanarak bu soruyu cevaplamanın sezgisini vermiştim:
burada ve , vektör değerli fonksiyonun bileşenleridir. Örneğin, yukarıda verilen ile tanımlanmış vektör alanı için bu cevap şöyle olacaktır:
Sonucun bir skaler değerli fonksiyon olduğuna dikkat edin. Örneğin gibi bir nokta koyarsınız ve sizin noktanız yakınında sıvının açısal süratini belirten tek bir sayı elde edersiniz, . Görüldüğü üzere, bu sayı nokta yakınındaki açısal hızın iki katını temsil eder, dolayısıyla dönme hızı radyan/saniyedir (bu konuya ileride daha detaylı şekilde değineceğiz). Önemli nokta, dönmeyi tanımlayan tek bir skaler elde etmenizdir.
Bu akla yatkın gelmelidir, çünkü bir nesnenin iki boyutta dönmesi tek bir sayıyla (veya skalarla) temsil edilebilir, dolayısıyla akan bir sıvıdaki tüm olası noktalar etrafındaki dönme bir skalar değerli fonksiyonla temsil edilmelidir.
Düşünme sorusu: Üstte animasyonu bulunan sıvı akışında, sıvının başlangıç noktasında döndürmeli bir bileşeni var mıdır?
Üçüncü boyuta taşıma
Üç boyuta geçmeye hazırlanırken, yukarıdaki sıvı döndürmeyi vektörleri kullanarak ifade edelim. Üstteki animasyonda en sağdaki çember gibi, saat yönünün tersine bir bölgeye odaklanın. Parmaklarınızın bu çemberin etrafında, okların yönünde duracak şekilde büküldüğünü hayal edin (bu durumda saat yönünün tersine) ve baş parmağınızı kıvırmadan düz tutun. Baş parmağınız sayfanın dışına doğru gösteriyor olmalıdır, pozitif -yönünde, birim vektörüne paralel.
Bunu her noktada yaptığımızda, -düzlemindeki her nokta etrafındaki döndürmeye, formülüne göre bir vektör atarsak, şöyle bir şey elde ederiz:
Yukarıdaki düzleminde görüldüğü gibi, pozitif yönünü gösteren vektörler bu nokta yakınında saat yönünün tersine dönmeyi belirtir ve diğer yönü gösteren vektörler saat yönünde dönmeyi belirtir. Her vektörün uzunluğu, bu dönmenin hızını gösterir. Bu vektör sistemini şu ifadeyle tanımlayabilirsiniz:
Bu, neredeyse üç boyutlu bir vektör alanıdır, uzayın tamamında değil, sadece -düzleminde noktalara bakmamız hariç. Rotasyonelin kendisi sadece üç boyutlu vektör alanlarına uygulanır, onun için aşağıdaki materyal için sahneyi kurmak için, bunu üç boyutlu bir örnek yapalım. Başlangıç olarak, orijinal vektör değerli fonksiyonumuzu benzer bir fonksiyonuna genişletiriz.
Üç boyutlu vektör alanları düşünüldüğünde, bu yine de düz gibi gelir, değil mi? Çünkü bileşeni her yerde 'dır ve bileşenlerin hiçbiri girdi değerine bağlı değildir. Orijinal iki boyutlu vektör alanını düzlemine paralel her üç boyutlu uzay kesitine kopyalamış olduk.
Bir sonraki video, (griyle çizilmiş) -düzlemini ve kırmızı çemberleri referans noktaları olarak tuttuğumuz vektör alanının neye benzediğini gösterir. Dikkat ederseniz, -düzlemine paralel her katmandaki vektörler bir önceki bölümdeki tamamen 2 boyutlu vektör alanından -düzleminde duran vektörlerle aynıdır.
Yine, bu vektör alanını, bir odadaki hava veya havuzda su gibi bir sıvı akışı temsil ediyor gibi hayal edin. Bu sıvının her noktadaki döndürmesini bu noktaya bağlı bir vektörle temsil edersek, bir sonraki videoda gösterilene benzeyen, yeni bir vektör alanını elde ederiz:
Bu, şu vektör değerli fonksiyonla verilir
Bu daha önce elde ettiğimiz formülle, , aynıdır; ancak önemli olan nokta şimdi bunu sadece düzlemindeki noktalarına değil, uzaydaki tüm noktalarına ugulamamızdır.
-girdisinin çıktıyı etkilemediği bilgisi, sıvı hareketimizin -düzlemine paralel tüm uzay kesitlerinde aynı olduğu bilgisini yansıtır. ile bileşenlerinin olduğu bilgisi, tüm döndürme vektörlerinin sadece -yönünde hizalandığı anlamına gelir, yani tüm gerçek sıvı döndürme -düzlemine paraleldir.
Bu yeni (mavi) vektör alanına, , başlangıçtaki (yeşil) vektör alanının "rotasyonel"i denir. Bunun bir yazılışı,
Bu, gerçek üç boyutlu rotasyonel için ilk örneğimizdir: Matematiksel bir işlem olarak rotasyonel, sıvı akışını temsil ettiği düşünülen üç boyutlu bir vektör değerli fonksiyonu, , alır, ve sıvıdaki her noktanın yakınında döndürmeyi temsil eden üç boyutlu başka bir vektör değerli fonksiyon, " " verir.
Sıvı döndürmeyi üç boyutta görselleştirme
Üç boyutlu genel bir sıvı akışı için, döndürme her zaman düzlemine tamamen paralel olmayabilir. Bu olan biteni hayal etmeyi zorlaştırabilir. Çok zorlaştırabilir.
Örneğin, etrafınızdaki havanın kaotik bir hareketle üflendiğini ve döndüğünü hayal edin. Şimdi uzayda belirli bir noktasını seçin. "Bu noktanın yakınında hava döndürmesi"nin anlamının ne olduğunu düşünürsünüz?
İşte size birkaç taktik:
- Merkezi
noktasına sabitlenmiş, ama dönmesi serbest küçük bir tenis topu hayal edin. Belki onu orada tutmak için sihir icat ettiniz veya usta bir manyetik süspansiyon aletine sahipsiniz. Etrafında esen hava, bu küçük topun bir yöne veya başka bir yöne dönmesini sağlayabilir. Bu noktaya bağlı rotasyonel vektörü, üstte dünyanın dönmesini bir tek vektörle tanımladığımız gibi, bu küçük tenis topunun dönmesini tanımlayan vektör olacaktır.
- Buna alternatif olarak, kalın, güzel tüylü bir oku ele alın. Robin Hood'un attığını hayal ettiğiniz türden. Oku havada, tüyleri
noktasında olacak şekilde konumlandırın. Yine, sihiri icat ettiniz ve okun tabanı bu noktaya bağlı, ancak yönünü istediğiniz gibi döndürdüğünüzü, ve rüzgarın tüylerine üflemesine göre serbest şekilde döndüğünü düşünün.
Okun çeşitli doğrultularını denerseniz ve hava akımlarının okun en hızlı dönmesine yol açtığı bir yönü bulursanız, bu, noktasındaki rotasyonel vektörünün yönüdür.
Bu gradyanın "en hızlı yükseliş" yönünü göstermesiyle benzerdir; rotasyonel "en fazla döndürme yönü"nü gösterir.
Rotasyonel için notasyon ve formül
Rotasyonel, bu "vektör" ile fonksiyonunun vektör çarpımı olarak düşünülür, her zamanki gibi determinant kullanılarak hesaplanır:
Ne düşündüğünüzü biliyorum: "Bu gördüğüm en çılgın determinant. Öğelerin hiçbiri sayı bile değil! Bir satırda vektörler var, birinde işlemciler, ve birinde fonksiyonlar. Bunu yapabilir miyiz?" Biraz garip olduğu kesin, ama başka bir şey değilse de, notasyon hilesi olarak ortaya çıkıyor.
Formülün arkasındaki sezgi
Bu son sonuca daha yakından bakalım:
Dikkat ederseniz, her bir bileşen, rotasyonel ısınma makalesi nde bulduğumuz işlemcisine benzer. Aslında, bileşeninin formülü, le aynıdır. Bu mantıklıdır, çünkü rotasyonelin bileşeni sıvı döndürmenin düzlemine paralel bileşenini ölçmelidir.
Aynı şekilde, ile bileşenleri, sıvı döndürmenin, sırasıyla, ve düzlemlerine paralel bileşenlerini ölçerler.
Belirtmem gereken küçük bir nüans, bir noktanın yakınında rotasyoneli hesaplayarak (döndürme vektörü olarak düşünülen) bir vektör elde ettiğimize, bu vektörün büyüklüğü bu noktanın yakınındaki hayal edilen sıvının açısal hızına eşit değildir. Bunun yerine, büyüklük sıvının açısal hızının iki katıdır.
Örnek: Üç boyutlu bir vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürme bulma
Problem: Diyelim ki, bir sıvı üç boyutta aşağıdaki vektör alanına göre akıyor:
Sıvının noktası yakınındaki döndürmesini tanımlayın
Adım 1: Rotasyoneli hesaplayın (bunun için biraz kağıt kalem kullanmanız gerekebilir).
Adım 2: 'yi koyun
Adım 3 : Yorumlayın
Özet
- Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan, ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
- Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının bir vektör olarak temsil edilen her nokta etrafında dönmesi, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
- Üç boyutlu vektör değerli bir
fonksiyonunun bileşke fonksiyonu , ve ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
Sadece eğlence için
Makalenin en başında gösterdiğim sıvı akışının bir animasyonunu burada bulabilirsiniz, ama bu sefer her nokta daha doğru bir şekilde bir su damlacığı olarak gösterilir, vektör alanının damlacıktaki her parçacığı çekmesine göre, esnemekte ve bükülmektedir. Sıvını nasıl hareket ettiğini daha kolay görmeniz için, vektörleri de vektör alanından çıkardım. Umarım, bu, vektör alanlarının sıvı-akışı anlayışının ne kadar karmaşık ve güzel olduğunu anlamanız için bir izlenim sağlar.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.