Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)

Rotasyonel, üç boyutta sıvı döndürme

Google Classroom

Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanının gösterdiği sıvı akışındaki döndürmeyi ölçen bir işlemdir.

Arka plan

Not: Bu makale boyunca şu kuralı kullanacağız

$\hat{i}$ ‍, $x$ ‍ yönündeki birim vektörü temsil eder.
$\hat{j}$ ‍, $y$ ‍ yönündeki birim vektörü temsil eder.
$\hat{k}$ ‍, $z$ ‍ yönündeki birim vektörü temsil eder.

Neye ulaşıyoruz

Rotasyonel, üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının her nokta etrafında dönmesi bir vektör olarak temsil edildiğinde, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
Üç boyutlu vektör değerli bir $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ fonksiyonunun bileşke fonksiyonları $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ ve $v_{3} (x, y, z)$ ‍ ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
$\underset{Notation for curl}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{v}}} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k}$ ‍

Döndürmeyi bir vektörle tanımlama

Eğer bir nesne iki boyutta dönüyor ise, dönüşü tek bir sayıyla tamamen tanımlayabilirsiniz: açısal sürat. Pozitif açısal sürat saat yönünün tersine dönmeyi belirtirken, negatif açısal sürat saat yönünde dönmeyi belirtir. Açısal süratin mutlak değeri, genelde radyan/saniye olarak dönme hızını verir.

Üç boyutta dönen bir nesne için, durum daha karmaşıktır. Nesnenin döndüğü üç boyutlu uzayda hem açısal sürati hem de yönü temsil etmeliyiz.

Bunu yapmak için, üç boyutta dönme genelde tek bir vektör kullanılarak tanımlanır. Vektörün büyüklüğü açısal hızı belirtir ve yön ''sağ el kuralı'' olarak adlandırılan çok önemli bir tanımla belirlenir.

SAĞ EL KURALI: Sağ elinizin parmaklarını dönme yönünde kıvırın ve baş parmağınızı yukarı kaldırın. Tanıma göre, bu üç boyutlu dönmeyi temsil eden vektör baş parmağınızla aynı yöndedir.

Baş parmağınız döndürme ekseni yönünde uzanmalıdır. Sol el yerine sağ eli kullanma kuralını benimsemek, belirli bir üç boyutlu döndürmeyle, tersi döndürme arasındaki farkı kodlamamızı sağlar. Temel olarak, saat yönünde ve saat yönünün tersine fikrini üç boyuta taşır.

Örneğin, dünyanın uzayda dönmesi dünyanın merkezinden kuzey kutbuna doğru, uzunluğu dünyanın açısal dönme süratina eşit (ki bu,

0, 0000729

radyan/saniyedir) bir vektör kullanılarak tanımlanabilir.

İki boyutlu sıvı döndürmeye yeniden bakış

Rotasyonel ısınma makalesi nde sıvının şu fonksiyonla tanımlanmış iki boyutlu bir vektör alanı boyunca nasıl aktığına baktık:

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

Aşağıdaki animasyon, sıvı parçacıklarının (mavi noktalar olarak çizilmiş) her zaman en yakın vektör yönünde hareket ettiği bir simülasyon gösterir. Rotasyoneli incelemek için, çember içindeki ve etrafındaki bölgelere özellikle bakmanızı istiyoruz.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Soldaki ve sağdaki çemberler sıvı saat yönünün tersine, üstteki ve alttaki çemberlerde sıvı saat yönünde döner. Rotasyoneli incelerken, önemli soru budur: Düzlemde her bir $(x_{0}, y_{0})$ ‍ belirli noktasında sıvı ne kadar döner?

Son makalede, bu soruyu cevaplamak için şu formülle verilen

\vec{v}

'nün 2 boyutlu rotasyonelini kullanarak bu soruyu cevaplamanın sezgisini vermiştim:

\begin{array}{r} 2d-curl \vec{v} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

burada

v_{1}

v_{2}

\vec{v}

vektör değerli fonksiyonun bileşenleridir. Örneğin, yukarıda verilen

(y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j}

ile tanımlanmış vektör alanı için bu cevap şöyle olacaktır:

\begin{aligned} \frac{\partial (x^{3} - 9 x)}{\partial x} - \frac{\partial (y^{3} - 9 y)}{\partial y} & = 3 x^{2} - 9 - (3 y^{2} - 9) \\ = 3 x^{2} - 3 y^{2} \end{aligned}

Sonucun bir skaler değerli fonksiyon olduğuna dikkat edin. Örneğin

(2, 1)

gibi bir nokta koyarsınız ve sizin noktanız yakınında sıvının açısal süratini belirten tek bir sayı elde edersiniz,

3 (2)^{2} - 3 (1)^{2} = 12 - 3 = 9

. Görüldüğü üzere, bu sayı nokta yakınındaki açısal hızın iki katını temsil eder, dolayısıyla dönme hızı

4, 5

radyan/saniyedir (bu konuya ileride daha detaylı şekilde değineceğiz). Önemli nokta, dönmeyi tanımlayan tek bir skaler elde etmenizdir.

Bu akla yatkın gelmelidir, çünkü bir nesnenin iki boyutta dönmesi tek bir sayıyla (veya skalarla) temsil edilebilir, dolayısıyla akan bir sıvıdaki tüm olası noktalar etrafındaki dönme bir skalar değerli fonksiyonla temsil edilmelidir.

Düşünme sorusu: Üstte animasyonu bulunan sıvı akışında, sıvının

(0, 0)

başlangıç noktasında döndürmeli bir bileşeni var mıdır?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Evet, saat yönünde
(B şıkkı)
Evet, saat yönünün tersine
(C şıkkı)
Hiçbiri

[Cevap]

Üçüncü boyuta taşıma

Üç boyuta geçmeye hazırlanırken, yukarıdaki sıvı döndürmeyi vektörleri kullanarak ifade edelim. Üstteki animasyonda en sağdaki çember gibi, saat yönünün tersine bir bölgeye odaklanın. Parmaklarınızın bu çemberin etrafında, okların yönünde duracak şekilde büküldüğünü hayal edin (bu durumda saat yönünün tersine) ve baş parmağınızı kıvırmadan düz tutun. Baş parmağınız sayfanın dışına doğru gösteriyor olmalıdır, pozitif

z

-yönünde,

\hat{k}

birim vektörüne paralel.

Bunu her noktada yaptığımızda,

x y

-düzlemindeki her nokta etrafındaki döndürmeye,

2d-rotasyonel \vec{v} (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2}

formülüne göre bir vektör atarsak, şöyle bir şey elde ederiz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Yukarıdaki

x y

düzleminde görüldüğü gibi, pozitif

z

yönünü gösteren vektörler bu nokta yakınında saat yönünün tersine dönmeyi belirtir ve diğer yönü gösteren vektörler saat yönünde dönmeyi belirtir. Her vektörün uzunluğu, bu dönmenin hızını gösterir. Bu vektör sistemini şu ifadeyle tanımlayabilirsiniz:

$(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Bu, neredeyse üç boyutlu bir vektör alanıdır, uzayın tamamında değil, sadece

x y

-düzleminde noktalara bakmamız hariç. Rotasyonelin kendisi sadece üç boyutlu vektör alanlarına uygulanır, onun için aşağıdaki materyal için sahneyi kurmak için, bunu üç boyutlu bir örnek yapalım. Başlangıç olarak, orijinal vektör değerli

\vec{v}

fonksiyonumuzu benzer bir

{\vec{v}}_{3 b o y u t l u}

fonksiyonuna genişletiriz.

\begin{array}{r} {\vec{v}}_{3 d} (x, y, z) = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \\ 0 \end{array}] = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} + (0) \hat{k} \end{array}

Üç boyutlu vektör alanları düşünüldüğünde, bu yine de düz gibi gelir, değil mi? Çünkü

\hat{k}

bileşeni her yerde

0

'dır ve bileşenlerin hiçbiri

z

girdi değerine bağlı değildir. Orijinal iki boyutlu vektör alanını

x y

düzlemine paralel her üç boyutlu uzay kesitine kopyalamış olduk.

Bir sonraki video, (griyle çizilmiş)

x y

-düzlemini ve kırmızı çemberleri referans noktaları olarak tuttuğumuz

{\vec{v}}_{3 d}

vektör alanının neye benzediğini gösterir. Dikkat ederseniz,

x y

-düzlemine paralel her katmandaki vektörler bir önceki bölümdeki tamamen 2 boyutlu

\vec{v}

vektör alanından

x y

-düzleminde duran vektörlerle aynıdır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Yine, bu vektör alanını, bir odadaki hava veya havuzda su gibi bir sıvı akışı temsil ediyor gibi hayal edin. Bu sıvının her noktadaki döndürmesini bu noktaya bağlı bir vektörle temsil edersek, bir sonraki videoda gösterilene benzeyen, yeni bir vektör alanını elde ederiz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu, şu vektör değerli fonksiyonla verilir

$\vec{w} (x, y, z) = (0) \hat{i} + (0) \hat{j} + (3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Bu daha önce elde ettiğimiz formülle,

(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}

, aynıdır; ancak önemli olan nokta şimdi bunu sadece

x y

düzlemindeki

(x, y)

noktalarına değil, uzaydaki tüm

(x, y, z)

noktalarına ugulamamızdır.

$z$ ‍-girdisinin çıktıyı etkilemediği bilgisi, sıvı hareketimizin $x y$ ‍-düzlemine paralel tüm uzay kesitlerinde aynı olduğu bilgisini yansıtır.
$\hat{i}$ ‍ ile $\hat{j}$ ‍ bileşenlerinin $0$ ‍ olduğu bilgisi, tüm döndürme vektörlerinin sadece $z$ ‍-yönünde hizalandığı anlamına gelir, yani tüm gerçek sıvı döndürme $x y$ ‍-düzlemine paraleldir.

Bu yeni (mavi) vektör alanına,

\vec{w}

, başlangıçtaki (yeşil) vektör alanının "rotasyonel"i

{\vec{v}}_{3 d}

denir. Bunun bir yazılışı,

\begin{array}{r} \vec{w} = curl {\vec{v}}_{3 d} \end{array}

Bu, gerçek üç boyutlu rotasyonel için ilk örneğimizdir: Matematiksel bir işlem olarak rotasyonel, sıvı akışını temsil ettiği düşünülen üç boyutlu bir vektör değerli fonksiyonu, ${\vec{v}}_{3 d}$ ‍, alır, ve sıvıdaki her noktanın yakınında döndürmeyi temsil eden üç boyutlu başka bir vektör değerli fonksiyon, " $rotasyonel {\vec{v}}_{3 d}$ ‍" verir.

Sıvı döndürmeyi üç boyutta görselleştirme

Üç boyutlu genel bir sıvı akışı için, döndürme her zaman

x y

düzlemine tamamen paralel olmayabilir. Bu olan biteni hayal etmeyi zorlaştırabilir. Çok zorlaştırabilir.

Örneğin, etrafınızdaki havanın kaotik bir hareketle üflendiğini ve döndüğünü hayal edin. Şimdi uzayda belirli bir

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

noktasını seçin. "Bu noktanın yakınında hava döndürmesi"nin anlamının ne olduğunu düşünürsünüz?

İşte size birkaç taktik:

Merkezi $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍ noktasına sabitlenmiş, ama dönmesi serbest küçük bir tenis topu hayal edin. Belki onu orada tutmak için sihir icat ettiniz veya usta bir manyetik süspansiyon aletine sahipsiniz. Etrafında esen hava, bu küçük topun bir yöne veya başka bir yöne dönmesini sağlayabilir. Bu noktaya bağlı rotasyonel vektörü, üstte dünyanın dönmesini bir tek vektörle tanımladığımız gibi, bu küçük tenis topunun dönmesini tanımlayan vektör olacaktır.

Buna alternatif olarak, kalın, güzel tüylü bir oku ele alın. Robin Hood'un attığını hayal ettiğiniz türden. Oku havada, tüyleri $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍ noktasında olacak şekilde konumlandırın. Yine, sihiri icat ettiniz ve okun tabanı bu noktaya bağlı, ancak yönünü istediğiniz gibi döndürdüğünüzü, ve rüzgarın tüylerine üflemesine göre serbest şekilde döndüğünü düşünün.

Okun çeşitli doğrultularını denerseniz ve hava akımlarının okun en hızlı dönmesine yol açtığı bir yönü bulursanız, bu,

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

noktasındaki rotasyonel vektörünün yönüdür.

Bu gradyanın "en hızlı yükseliş" yönünü göstermesiyle benzerdir; rotasyonel "en fazla döndürme yönü"nü gösterir.

[Aslında, "bir noktadaki döndürme" çok daha karmaşıktır]

Rotasyonel için notasyon ve formül

\vec{v}

'yi üç girdili,

(x, y, z)

, ve üç koordinatlı bir çıktılı genel bir vektör değerli fonksiyon olarak yazalım. Bu üç koordinatlı çıktıyı üç skaler değerli fonksiyon cinsinden yazacağız:

v_{1} (x, y, z)

v_{2} (x, y, z)

, ve

v_{3} (x, y, z)

\begin{aligned} \vec{v} (x, y, z) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = v_{1} (x, y, z) \hat{i} + v_{2} (x, y, z) \hat{j} + v_{3} (x, y, z) \hat{k} \end{aligned}

Rotasyonelin notasyonu, gradyan ve diverjans ifadelerinde kullanılan

\nabla

" sembolünü kullanır, ve yine bunu kısmi türev işlemcilerinin bir vektörü olarak düşünürüz:

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \end{array}

Rotasyonel, bu "vektör" ile

\vec{v}

fonksiyonunun vektör çarpımı olarak düşünülür, her zamanki gibi determinant kullanılarak hesaplanır:

\begin{aligned} curl \vec{v} & = \nabla \times \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}]) \\ = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}

Ne düşündüğünüzü biliyorum: "Bu gördüğüm en çılgın determinant. Öğelerin hiçbiri sayı bile değil! Bir satırda vektörler var, birinde işlemciler, ve birinde fonksiyonlar. Bunu yapabilir miyiz?" Biraz garip olduğu kesin, ama başka bir şey değilse de, notasyon hilesi olarak ortaya çıkıyor.

[Bu determinantın her bir parçası nasıl hesaplanır?]

Formülün arkasındaki sezgi

Bu son sonuca daha yakından bakalım:

\begin{array}{r} curl \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}

Dikkat ederseniz, her bir bileşen, rotasyonel ısınma makalesi nde bulduğumuz

2 boyutlu rotasyonel

işlemcisine benzer. Aslında,

\vec{k}

bileşeninin formülü,

2 boyutlu rotasyonel

le aynıdır. Bu mantıklıdır, çünkü rotasyonelin

\vec{k}

bileşeni sıvı döndürmenin

x y

düzlemine paralel bileşenini ölçmelidir.

Aynı şekilde,

\hat{i}

ile

\hat{j}

bileşenleri, sıvı döndürmenin, sırasıyla,

y z

x z

düzlemlerine paralel bileşenlerini ölçerler.

\begin{array}{r} (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} \leftarrow Döndürme bileşeni y z -düzlemiyle paralel \\ (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} \leftarrow Döndürme bileşeni x z -düzlemiyle paralel \\ (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \leftarrow Döndürme bileşeni x y -düzlemiyle paralel \end{array}

Belirtmem gereken küçük bir nüans, bir noktanın yakınında rotasyoneli hesaplayarak (döndürme vektörü olarak düşünülen) bir vektör elde ettiğimize, bu vektörün büyüklüğü bu noktanın yakınındaki hayal edilen sıvının açısal hızına eşit değildir. Bunun yerine, büyüklük sıvının açısal hızının iki katıdır.

[Neden açısal hızın iki katı?]

Örnek: Üç boyutlu bir vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürme bulma

Problem: Diyelim ki, bir sıvı üç boyutta aşağıdaki vektör alanına göre akıyor:

$\vec{v} (x, y, z) = (x^{3} + y^{2} + z) \hat{i} + (z e^{x}) \hat{j} + (x y z - 9 x z) \hat{k}$ ‍

Sıvının

(0, 1, 2)

noktası yakınındaki döndürmesini tanımlayın

Adım 1: Rotasyoneli hesaplayın (bunun için biraz kağıt kalem kullanmanız gerekebilir).

$\nabla \times \vec{v} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Adım 2:

(0, 1, 2)

'yi koyun

$\nabla \times \vec{v} (0, 1, 2) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Cevap]

Adım 3 : Yorumlayın

$(0, 1, 2)$ ‍ noktası yakınında, sıvı dönüşü yaklaşık
radyan/saniyedir ve dönme
ile neredeyse paraleldir.

[Cevap]

Özet

Rotasyonel üç boyutlu bir vektör alanını temsil eden bir fonksiyonu alan, ve farklı bir üç boyutlu vektör alanını temsil eden başka bir fonksiyon veren bir işlemdir.
Bir sıvı üç boyutlu uzayda bir vektör alanı boyunca akarsa, bu sıvının bir vektör olarak temsil edilen her nokta etrafında dönmesi, bu noktada değeri bulunan orijinal vektör alanının rotasyoneliyle verilir. Rotasyonel vektörlerinin büyüklüğünün sıvının döndürme hızına eşit olmasını istiyorsanız, rotasyonel vektör alanı yarımla ölçeklenmelidir.
Üç boyutlu vektör değerli bir $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ fonksiyonunun bileşke fonksiyonu $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ ve $v_{3} (x, y, z)$ ‍ ise, rotasyonel şöyle hesaplanır:
$\begin{array}{r} \nabla \times \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}$ ‍

Sadece eğlence için

Makalenin en başında gösterdiğim sıvı akışının bir animasyonunu burada bulabilirsiniz, ama bu sefer her nokta daha doğru bir şekilde bir su damlacığı olarak gösterilir, vektör alanının damlacıktaki her parçacığı çekmesine göre, esnemekte ve bükülmektedir. Sıvını nasıl hareket ettiğini daha kolay görmeniz için, vektörleri de vektör alanından çıkardım. Umarım, bu, vektör alanlarının sıvı-akışı anlayışının ne kadar karmaşık ve güzel olduğunu anlamanız için bir izlenim sağlar.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.