If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Rotasyonel ısınma, iki boyutta sıvı döndürme

Google Classroom
Rotasyonel bir vector alanı boyunca bir sıvının döndürmesini ölçer.  Biçimsel olarak, rotasyonel sadece üç boyutta geçerlidir, ama burada ısınma için kavramı iki boyutta yapıyoruz.

Arka plan

Not: Bu makale boyunca şu kuralı kullanacağım:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, x yönündeki birim vektörü temsil eder.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, y yönündeki birim vektörü temsil eder.

Neye ulaşıyoruz

  • Rotasyonel bir vektör alanındaki "döndürme"yi ölçer.
  • İki boyutta, eğer bir vektör alanı start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top fonksiyonuyla verilirse, bu döndürme şu formülle verilir:
    start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Sıvı akışında döndürme

İçinde küçük girdaplar olan, hoş bir vektör alanımız olduğunu düşünün:
Bu belirli vektör alanı aşağıdaki fonksiyonla tanımlanmıştır:
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} y^3 - 9y \\ x^3 - 9x \end{array} \right] \\\\ &= (y^3 - 9y) \hat{\textbf{i}} + (x^3 - 9x)\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Şimdi bu vektör alanının bir sıvı akışını, belki d bir nehrin kaotik bir kısmındaki sıvı akışını, tanımladığını hayal etmenizi istiyorum. Aşağıdaki video bunun neye benzediğinin bir simülasyonunu gösterir. Mavi noktalarla gösterilen bir sıvı parçacığı grubu, bu vektör alanı boyunca akacaktır. Bunun anlamı, herhangi bir zamanda, her noktanın en yakınındaki ok boyunca hareket edeceğidir. Çember içindeki dört bölgede neler olduğuna odaklanın.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Tüm kaosun ortasında, sıvının çember içindeki bölgelerde döndüğünü fark edebilirsiniz. Sol ve sağdaki çemberlerde, döndürme saat yönünün tersinedir, ve üstteki ve alttaki çemberlerde, döndürme saat yönündedir.
  • Önemli Soru: Bize bir vektör alanını tanımlayan bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonuyla, uzayda belirli bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesisnoktası verildiğinde, vektör alanında akan bir sıvı left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında ne kadar döner?
Vektör analizi işlemi rotasyonel, bu sıvı döndürme fikrini bir formüle dönüştürerek bu soruyu cevaplar. Bir vektör alanını tanımlayan bir fonksiyonu alan ve her noktada bu vektör alanının verdiği sıvı döndürmeyi tanımlayan bir fonksiyon veren bir işlemcidir.
Teknik olarak, rotasyonel işlemi sadece üç boyutta geçerlidir. Bunun ne anlama geldiğini ve nasıl hesaplandığını bir sonraki makalede görebilirsiniz, ama bu makalede iki boyutta sıvı döndürmeyi bir formülle tanımlayarak ısınıyoruz.

İki-boyutlu döndürmeyi bir formülle yakalama

Dönen bir sıvıyı tanımlayan vektör alanlarının en basit örneklerinden biri
v⃗(x,y)=[−yx]=−yi^+xj^.\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] = -y \hat{\textbf{i}} + x\hat{\textbf{j}}. \end{aligned}
Bu şöyle görünür:
Döndürmeli vektör alanı
Hareketlendirildiğinde, sıvı parçacıklarının hepsi çemberler çizer.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bir anlamda, bu saat yönünün tersine dönmenin en mükemmel örneğidir ve sadece start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top fonksiyonunun neden saat yönünde dönme verdiğini anlayarak iki boyutlu bir vektör alanındaki dönmenin genel formülünü anlayabilirsiniz.

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top bileşeni

İlk olarak, minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top bileşeninin neden saat yönünün tersine döndürme belirttiğini anlayalım. Sıvımızda, y eksenine paralel doğrultuda bulunan küçük bir dal olduğunu düşünelim. Daha da ayrıntılı olarak, bir ucunun başlangıç noktasında, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, ve diğerinin left parenthesis, 0, comma, 2, right parenthesis noktasında olduğunu söyleyelim. Bu vektör alanının minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top bileşeni, bu daldaki noktalardaki sıvı süratine ilişkin olarak neyi belirtir?
Bunun anlamı dalın üstündeki hızın minus, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, sola doğru bir vektör, ve dalın altındaki hızın 0 olduğudur.
Bu dal için, bunun anlamı, saat yönünün tersine döndürmenin önemli etkeninin vektör alanında yukarı hareket ettikçe vektörlerin daha sola doğru olmasıdır. Daha çok sembolle ifade edersek, buradaki önemli nokta, y, start subscript, 0, end subscript artıkça, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasına bağlı bir vektörün start bold text, i, end bold text, with, hat, on top bileşeninin azalmasıdır.
Daha çok sembolle söylersek,
start fraction, \partial, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, minus, y, right parenthesis, equals, minus, 1, is less than, 0
Şimdi bu fikri biraz genelleştirelim.
  • Soru: Daha genel bir vektör alanını düşünün.
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 ve start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 bileşenleri herhangi skaler değerli fonksiyonlardır. Küçük bir dalı bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasına, y eksenine paralel bir doğrultuda koyarsanız, sadece start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 ve left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'a bakarak dalın dönüp dönmeyeceğini nasıl belirleyebilirsiniz?
  • Cevap: start color #bc2612, y, end color #bc2612 ilgilendiğimiz noktanın, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, yakınında değiştikçe, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99'in değişim hızına bakın:
    start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left arrow, start color gray, start text, space, E, g, with, \u, on top, e, r, space, n, e, g, a, t, i, f, s, e, space, s, a, a, t, space, y, o, with, \", on top, n, u, with, \", on top, n, u, with, \", on top, n, space, t, e, r, s, i, n, e, space, d, o, with, \", on top, n, d, u, with, \", on top, r, m, e, y, i, space, g, o, with, \", on top, s, t, e, r, i, r, space, end text, end color gray
    Bu negatifse, y, start subscript, 0, end subscript arttıkça, vektörlerin daha sola doğru olduğunu gösterir, yani döndürme saat yönünün tersine olur. Pozitifse, y, start subscript, 0, end subscript arttıkça vektörler daha sağa doğru olur, yani döndürme saat yönündedir.

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top bileşeni

Daha sonra, orijinal vektör alanının x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top bileşeninin de neden saat yönünün tersine döndürme belirttiğini görelim. Bu sefer, x-eksenine paralel bir dal hayal edelim. Özellikle, dalın bir ucunu başlangıç noktasına left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, ve diğer ucunu left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktasına koyun.
Başlangıç noktasına bağlı vektör 0'dır, ancak diğer uç olan left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis'a bağlı vektör 2, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, yukarı doğru bir vektördür. Böylece, sıvı sopanın sağ ucunu yukarı iter ve soldaki uca kuvvet uygulanmaz, onun için saat yönünün tersine döndürme oluşacaktır.
Bu ikinci dal için, sağa gittikçe vektörlerin düşey bileşeni artar, bu da saat yönünün tersine döndürme belirtir. Yani, x, start subscript, 0, end subscript arttıkça, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasındaki vektörün y bileşeni artar.
Daha genel bir vektör alanı fonksiyonu söz konusu olduğunda,
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 değişirken start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612'deki değişikliğe bakarak, bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası yakınında bu etkiyi ölçebiliriz.
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left arrow, start color gray, start text, space, E, g, with, \u, on top, e, r, space, p, o, z, i, t, i, f, s, e, space, s, a, a, t, space, y, o, with, \", on top, n, u, with, \", on top, n, u, with, \", on top, n, space, t, e, r, s, i, n, e, space, d, o, with, \", on top, n, d, u, with, \", on top, r, m, e, y, i, space, g, o, with, \", on top, s, t, e, r, i, r, space, end text, end color gray

Bileşenleri birleştirme

Bu iki bileşeni bir araya koyduğumuzda, bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası yakınında bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektör alanı boyunca akan sıvının dönmesi, aşağıdaki miktar kullanılarak ölçülebilir:
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Bu miktarı hesapladığınızda, pozitif bir sayı left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis etrafında saat yönünün tersine dönmeyi belirtecektir, negatif bir miktar bunun tersini yani saat yönünde dönmeyi belirtir. Eğer bu miktar 0'a eşitse, sıvıda left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis etrafında dönme yoktur. Eğer tam olarak hesaplamakla ilgileniyorsanız, bu formül sıvının left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis yakınındaki açısal süratinin tam olarak iki katını verir.
Bazı yazarlar buna start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nin "iki-boyutlu rotasyonel" derler. Bu standart değildir, ama bu formülü "2d-rotasyonel" bir işlemmiş gibi yazalım.
start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Örnek: 2d vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürmeyi inceleme

Problem: Şu fonksiyonun tanımladığı vektör alanı düşünün
v⃗(x,y)=[cos⁡(x+y)sin⁡(xy)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x+y) \\ \sin(xy) \end{array} \right] \end{aligned}
Bu vektör alanına göre akan bir sıvının noktada saat yönünde mi, yoksa saat yönünün tersine mi döndürmesi olduğunu belirleme
p=(0,π2)\begin{aligned} \quad p &= \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \end{aligned}
Adım 1: Bu fonksiyonun start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end textini hesaplayın.
start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals

Adım 2: left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis noktasını koyun.
start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis, equals

Adım 3: Yorumlayın. Sıvı bu noktanın etrafında ne şekilde dönmeye meyillidir?
1 cevap seçin:

Bu sıvı akışında bir parçacık örneğini izleyelim:
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Tüm parçacıkların toplandığı üste doğru olan nokta, p, equals, left parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis ile eşleşir. start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text hesaplamalarımızla tutarlı olarak, parçacıklar bu bölgede saat yönünün tersine döner.

Özet

  • Rotasyonel bir vektör alanındaki ''döndürme''yi ölçer.
  • İki boyutta, eğer bir vektör alanı start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top fonksiyonuyla verilirse, bu döndürme şu formülle verilir:
    start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Üçüncü boyuta!

Bir sonraki makalede anlatılan gerçek rotasyonel işlemi, bu fikri ve formülü üç boyuta taşır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.