Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2
Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)Diverjans formülü için sezgi
Bazı kısmi türevleri toplamanın dışa doğru sıvı akışıyla ilişkisi nedir?
Arka plan
Sezgi için ısınma
Son makalede, diverjansın formülünün yanı sıra temsil ettiği fiziksel kavramı da açıkladım. Ancak hala bunların ikisinin nasıl bağlantılı olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Sezgiye dalmadan önce, aşağıdaki sorular vektör alanı bağlamında kısmi türevleri düşünerek ısınmamıza yardımcı olabilir.
Düşünme sorusu: İki boyutlu bir vektör alanı, iki bileşen, ve , tarafından tanımlanmış bir fonksiyonuyla verilmiştir,
Bir noktası yakınındaki birkaç vektör aşağıda gösterilmiştir:
- Aşağıdakilerden hangisi
'ı tanımlar? - Aşağıdakilerden hangisi
'ı tanımlar? - Aşağıdakilerden hangisi
'ı tanımlar? - Aşağıdakilerden hangisi
'ı tanımlar?
Diverjans formülünün arkasındaki sezgi
Bakışımızı iki boyutlu bir vektör alanıyla kısıtlayalım,
Hatırlayın, diverjans formülü böyle gözükür:
Her bileşene ayrı ayrı bakalım.
Örneğin, olduğunu varsayın; bu 'a bağlı vektörün yatay bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca 'ın pozitif olduğunu düşünelim. Bu, noktası yakınında, vektör alanının bunun gibi gözükebileceği anlamını taşır.
büyüdüğünde 'ın değeri yükselir. küçüldüğünde 'ın değeri azalır.
Böylece, 'ın solundaki vektörler biraz sola doğru olacaktır ve 'ın sağındaki vektörler biraz sağa doğru olacaktır (yukarıdaki şemaya bakın). En azından bileşeni söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışı gösterir.
Bunun aksine, eğer negatifse, böyle gözükür:
'ın solundaki vektörler sağa bakar. 'ın sağındaki vektörler sola bakar.
Bu, -bileşenine göre, içe doğru bir sıvı akışı belirtir.
Örneğin, olduğunu varsayın; bu 'a bağlı vektörün düşey bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca 'ın pozitif olduğunu, yani yukarı doğru hareket ettikçe, vektörlerin düşey bileşenlerinin arttığını varsayın.
İşte böyle görünebilir:
'ın altındaki vektörler biraz aşağı bakacak. 'ın üstündeki vektörler biraz yukarı bakacak
Aynı şekilde, negatifse, -yönü söz konusu olduğu sürece, yakınında içe doğru bir sıvı akışı belirtir.
Diverjans bu iki etkiyi ekler
İki bileşeni ile birleştirmek, ve yönlerindeki ayrı ayrı etkileri birleştirerek, belirli bir noktanın yakınındaki sıvı yoğunluğunun artıp azalmayacağını belirlememize yardımcı olur.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.