If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Diverjans formülü için sezgi

Google Classroom
Bazı kısmi türevleri toplamanın dışa doğru sıvı akışıyla ilişkisi nedir?

Arka plan

Sezgi için ısınma

Son makalede, diverjansın formülünün yanı sıra temsil ettiği fiziksel kavramı da açıkladım. Ancak hala bunların ikisinin nasıl bağlantılı olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Sezgiye dalmadan önce, aşağıdaki sorular vektör alanı bağlamında kısmi türevleri düşünerek ısınmamıza yardımcı olabilir.
Düşünme sorusu: İki boyutlu bir vektör alanı, iki bileşen, v, start subscript, 1, end subscript ve v, start subscript, 2, end subscript, tarafından tanımlanmış bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top fonksiyonuyla verilmiştir,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} v_1(x, y) \\ v_2(x, y) \end{array} \right] \end{aligned}
Bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası yakınındaki birkaç vektör aşağıda gösterilmiştir:
Quiz şeması
  • Aşağıdakilerden hangisi v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Bakışımızı iki boyutlu bir vektör alanıyla kısıtlayalım,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)] \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1}(x, y) \\ \redE{v_2}(x, y) \end{array} \right]
Hatırlayın, diverjans formülü böyle gözükür:
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'ye göre sıvı akışındaki yoğunluk değişimiyle bu neden ilişkili?
Her bileşene ayrı ayrı bakalım.
Örneğin, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0 olduğunu varsayın; bu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'a bağlı vektörün yatay bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın pozitif olduğunu düşünelim. Bu, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası yakınında, vektör alanının bunun gibi gözükebileceği anlamını taşır.
(x'e göre kısmi) > 0
  • start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 büyüdüğünde v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın değeri yükselir.
  • start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 küçüldüğünde v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın değeri azalır.
Böylece, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın solundaki vektörler biraz sola doğru olacaktır ve left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın sağındaki vektörler biraz sağa doğru olacaktır (yukarıdaki şemaya bakın). En azından x bileşeni söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışı gösterir.
Bunun aksine, eğer start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis negatifse, böyle gözükür:
(x'e göre kısmi) < 0
  • left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın solundaki vektörler sağa bakar.
  • left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın sağındaki vektörler sola bakar.
Bu, x-bileşenine göre, içe doğru bir sıvı akışı belirtir.
v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis sıfırdışı olduğunda da aynı sezgi geçerlidir. Örneğin, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis pozitifse ve start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis da pozitifse, bunun anlamı left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis etrafındaki vektörlerin hepsinin sağa doğru olduğudur, ama soldan sağa baktıkça büyüdüğüdür. Sıvının soldan yavaşça left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'a aktığını, ama sağa doğru hızlıca aktığını hayal edebilirsiniz. Girenden fazlası çıktığından dolayı, bu noktadaki yoğunluk azalır.
start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction değerini analiz etmek de benzer şekilde yapılır. Vektör alanında yukarı ve aşağı hareket edildiğinde ve y değeri değiştiğinde, vektörlerin düşey bileşeni, v, start subscript, 2, end subscript'deki değişimi gösterir.
Örneğin, v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0 olduğunu varsayın; bu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'a bağlı vektörün düşey bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis'ın pozitif olduğunu, yani yukarı doğru hareket ettikçe, vektörlerin düşey bileşenlerinin arttığını varsayın.
İşte böyle görünebilir:
(y'ye göre kısmi) > 0
  • left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın altındaki vektörler biraz aşağı bakacak.
  • left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın üstündeki vektörler biraz yukarı bakacak
y-yönü söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışını belirtir.
Aynı şekilde, start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis negatifse, y-yönü söz konusu olduğu sürece, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis yakınında içe doğru bir sıvı akışı belirtir.
(y'ye göre kısmi) < 0

Diverjans bu iki etkiyi ekler

İki bileşeni start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction ile start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction birleştirmek, x ve y yönlerindeki ayrı ayrı etkileri birleştirerek, belirli bir noktanın yakınındaki sıvı yoğunluğunun artıp azalmayacağını belirlememize yardımcı olur.
∇⋅v⃗= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v1∂x⏞Yog˘unluktaki deg˘işiklikx-yo¨nu¨nde ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v2∂y⏟Yog˘unluktaki deg˘işikliky-yo¨nu¨nde\Large \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{\dfrac{\partial v_1}{\partial \blueE{x}}}^{ \substack{ \text{Yoğunluktaki değişiklik} \\ \text{$\blueE{x}$-yönünde} } } \!\!\!\!\!\!\!\! + \!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\dfrac{\partial v_2}{\partial \redE{y}}}_{ \substack{ \text{Yoğunluktaki değişiklik} \\ \text{$\redE{y}$-yönünde} } }

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.