Diverjans formülü için sezgi (Makale)

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Bakışımızı iki boyutlu bir vektör alanıyla kısıtlayalım,

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} v_{1} (x, y) \\ v_{2} (x, y) \end{matrix}]$ ‍

Hatırlayın, diverjans formülü böyle gözükür:

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y}$ ‍

\vec{v} (x, y)

'ye göre sıvı akışındaki yoğunluk değişimiyle bu neden ilişkili?

Her bileşene ayrı ayrı bakalım.

Örneğin,

v_{1} (x_{0}, y_{0}) = 0

olduğunu varsayın; bu

(x_{0}, y_{0})

'a bağlı vektörün yatay bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

'ın pozitif olduğunu düşünelim. Bu,

(x_{0}, y_{0})

noktası yakınında, vektör alanının bunun gibi gözükebileceği anlamını taşır.

$x$ ‍ büyüdüğünde $v_{1} (x, y_{0})$ ‍'ın değeri yükselir.
$x$ ‍ küçüldüğünde $v_{1} (x, y_{0})$ ‍'ın değeri azalır.

Böylece,

(x_{0}, y_{0})

'ın solundaki vektörler biraz sola doğru olacaktır ve

(x_{0}, y_{0})

'ın sağındaki vektörler biraz sağa doğru olacaktır (yukarıdaki şemaya bakın). En azından

x

bileşeni söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışı gösterir.

Bunun aksine, eğer

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

negatifse, böyle gözükür:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın solundaki vektörler sağa bakar.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın sağındaki vektörler sola bakar.

Bu,

x

-bileşenine göre, içe doğru bir sıvı akışı belirtir.

v_{1} (x_{0}, y_{0})

sıfırdışı olduğunda da aynı sezgi geçerlidir. Örneğin,

v_{1} (x_{0}, y_{0})

pozitifse ve

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

da pozitifse, bunun anlamı

(x_{0}, y_{0})

etrafındaki vektörlerin hepsinin sağa doğru olduğudur, ama soldan sağa baktıkça büyüdüğüdür. Sıvının soldan yavaşça

(x_{0}, y_{0})

'a aktığını, ama sağa doğru hızlıca aktığını hayal edebilirsiniz. Girenden fazlası çıktığından dolayı, bu noktadaki yoğunluk azalır.

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

değerini analiz etmek de benzer şekilde yapılır. Vektör alanında yukarı ve aşağı hareket edildiğinde ve

y

değeri değiştiğinde, vektörlerin düşey bileşeni,

v_{2}

'deki değişimi gösterir.

Örneğin,

v_{2} (x_{0}, y_{0}) = 0

olduğunu varsayın; bu

(x_{0}, y_{0})

'a bağlı vektörün düşey bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

'ın pozitif olduğunu, yani yukarı doğru hareket ettikçe, vektörlerin düşey bileşenlerinin arttığını varsayın.

İşte böyle görünebilir:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın altındaki vektörler biraz aşağı bakacak.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın üstündeki vektörler biraz yukarı bakacak

y

-yönü söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışını belirtir.

Aynı şekilde,

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

negatifse,

y

-yönü söz konusu olduğu sürece,

(x_{0}, y_{0})

yakınında içe doğru bir sıvı akışı belirtir.

Diverjans bu iki etkiyi ekler

İki bileşeni

\frac{\partial v_{1}}{\partial x}

ile

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

birleştirmek,

x

y

yönlerindeki ayrı ayrı etkileri birleştirerek, belirli bir noktanın yakınındaki sıvı yoğunluğunun artıp azalmayacağını belirlememize yardımcı olur.

\nabla \cdot \vec{v} = \overset{\begin{matrix} Yoğunluktaki değişiklik \\ x -yönünde \end{matrix}}{\overset{⏞}{\frac{\partial v_{1}}{\partial x}}} + \underset{\begin{matrix} Yoğunluktaki değişiklik \\ y -yönünde \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{\partial v_{2}}{\partial y}}}

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Diverjans formülü için sezgi

Arka plan

Sezgi için ısınma

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Diverjans bu iki etkiyi ekler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?