Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Diverjans formülü için sezgi

Bazı kısmi türevleri toplamanın dışa doğru sıvı akışıyla ilişkisi nedir?

Arka plan

Sezgi için ısınma

Son makalede, diverjansın formülünün yanı sıra temsil ettiği fiziksel kavramı da açıkladım. Ancak hala bunların ikisinin nasıl bağlantılı olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Sezgiye dalmadan önce, aşağıdaki sorular vektör alanı bağlamında kısmi türevleri düşünerek ısınmamıza yardımcı olabilir.
Düşünme sorusu: İki boyutlu bir vektör alanı, iki bileşen, v1 ve v2, tarafından tanımlanmış bir v fonksiyonuyla verilmiştir,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Bir (x0,y0) noktası yakınındaki birkaç vektör aşağıda gösterilmiştir:
  • Aşağıdakilerden hangisi v1(x0,y0)'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi v2(x0,y0)'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi v1x(x0,y0)'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

  • Aşağıdakilerden hangisi v2y(x0,y0)'ı tanımlar?
    1 cevap seçin:

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Bakışımızı iki boyutlu bir vektör alanıyla kısıtlayalım,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Hatırlayın, diverjans formülü böyle gözükür:
v=v1x+v2y
v(x,y)'ye göre sıvı akışındaki yoğunluk değişimiyle bu neden ilişkili?
Her bileşene ayrı ayrı bakalım.
Örneğin, v1(x0,y0)=0 olduğunu varsayın; bu (x0,y0)'a bağlı vektörün yatay bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca v1x(x0,y0)'ın pozitif olduğunu düşünelim. Bu, (x0,y0) noktası yakınında, vektör alanının bunun gibi gözükebileceği anlamını taşır.
  • x büyüdüğünde v1(x,y0)'ın değeri yükselir.
  • x küçüldüğünde v1(x,y0)'ın değeri azalır.
Böylece, (x0,y0)'ın solundaki vektörler biraz sola doğru olacaktır ve (x0,y0)'ın sağındaki vektörler biraz sağa doğru olacaktır (yukarıdaki şemaya bakın). En azından x bileşeni söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışı gösterir.
Bunun aksine, eğer v1x(x0,y0) negatifse, böyle gözükür:
  • (x0,y0)'ın solundaki vektörler sağa bakar.
  • (x0,y0)'ın sağındaki vektörler sola bakar.
Bu, x-bileşenine göre, içe doğru bir sıvı akışı belirtir.
v1(x0,y0) sıfırdışı olduğunda da aynı sezgi geçerlidir. Örneğin, v1(x0,y0) pozitifse ve v1x(x0,y0) da pozitifse, bunun anlamı (x0,y0) etrafındaki vektörlerin hepsinin sağa doğru olduğudur, ama soldan sağa baktıkça büyüdüğüdür. Sıvının soldan yavaşça (x0,y0)'a aktığını, ama sağa doğru hızlıca aktığını hayal edebilirsiniz. Girenden fazlası çıktığından dolayı, bu noktadaki yoğunluk azalır.
v2y değerini analiz etmek de benzer şekilde yapılır. Vektör alanında yukarı ve aşağı hareket edildiğinde ve y değeri değiştiğinde, vektörlerin düşey bileşeni, v2'deki değişimi gösterir.
Örneğin, v2(x0,y0)=0 olduğunu varsayın; bu (x0,y0)'a bağlı vektörün düşey bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca v2y(x0,y0)'ın pozitif olduğunu, yani yukarı doğru hareket ettikçe, vektörlerin düşey bileşenlerinin arttığını varsayın.
İşte böyle görünebilir:
  • (x0,y0)'ın altındaki vektörler biraz aşağı bakacak.
  • (x0,y0)'ın üstündeki vektörler biraz yukarı bakacak
y-yönü söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışını belirtir.
Aynı şekilde, v2y(x0,y0) negatifse, y-yönü söz konusu olduğu sürece, (x0,y0) yakınında içe doğru bir sıvı akışı belirtir.

Diverjans bu iki etkiyi ekler

İki bileşeni v1x ile v2y birleştirmek, x ve y yönlerindeki ayrı ayrı etkileri birleştirerek, belirli bir noktanın yakınındaki sıvı yoğunluğunun artıp azalmayacağını belirlememize yardımcı olur.
v=v1xYoğunluktaki değişiklikx-yönünde+v2yYoğunluktaki değişikliky-yönünde

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.